邊積分析法證明孿生素數猜想

楊哲

【摘 要】本文采用邊積分析法證明了孿生素數猜想，即此法證明了孿生素數有無限多個。

【關鍵詞】孿生素數猜想;張益唐;孿生素數無限定理;邊際區間;邊積分析法

一、引言

張益唐論文“素數間的有界距離[1]”稱證明了孿生素數猜想一個弱化形式。

本文另辟蹊徑，采用“邊際分析法”證明了孿生素數猜想。

二、定理

設p為孿生素數對中比較小的那一個孿生素數，用x（p，p+2）表示孿生素數對的個數。

孿生素數無限定理：使得p+2仍然為素數的素數p有無窮多個。

表達式：x（p，p+2）→+∞.

三、方法

1.分析

設n，k均為正整數，對于任意一個偶數2n都存在一個邊際區間[2n，2（n+k）]，只要這個區間足夠大（即只要k足夠大），總是存在有孿生素數對。

（1）邊際區間（12，24]：

在12的邊際區間（12，24]，可以找到一個孿生素數對（11，13）

14=7+7=（7-1）+（7+1）=6+8，，16=8+8=（8-1）+（8+1）=7+9，

18=9+9=（9-1）+（9+1）=8+10，20=10+10=（10-1）+（10+1）=9+11，

22=11+11=（11-1）+（11+1）=10+12，

24=12+12=（12-1）+（12+1）=11+13（是孿生素數對）

（2）邊際區間（24，38]：

在24的邊際區間（24，38]，可以找到一個孿生素數對（17，19）

26=13+13=（13-1）+（13+1）=12+14，28=14+14=（14-1）+（14+1）=13+15，

30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，30=15+15=（15-1）+（15+1）=14+16，

32=16+16=（16-1）+（16+10=15+17，34=17+17=（17-1）+（17+1）=16+18，

36=18+18=（18-1）+（18+1）=17+19（是孿生素數對）

（3）邊際區間（38，60]：

在38的邊際區間（38，60]，可以找到一個孿生素數對（29，31）

38=19+19=（19-1）+（19+1）=18+20

40=20+20=（20-1）+（20+1）=19+21

42=21+21=（21-1）+（21+1）=20+22

44=22+22=（22-1）+（22+1）=21+23

46=23+23=（23-1）+（23+1）=22+24

48=24+24=（24-1）+（24+1）=23+25

50=25+25=（25-1）+（25+1）=24+26

52=26+26=（26-1）+（26+1）=25+27

54=27+27=（27-1）+（27+1）=26+28

56=28+28=（28-1）+（28+1）=27+29

58=29+29=（29-1）+（29+1）=28+30

60=30+30=（30-1）+（30+1）=29+31（是孿生素數對）

（4）邊際區間（60，84]：

在60的邊際區間（60，84]，可以找到一個孿生素數對（41，43）

62=31+31=（31-1）+（31+1）=30+32

64=32+32=（32-1）+（32+1）=31+33

66=33+33=（33-1）+（33+1）=32+34

68=34+34=（34-1）+（34+1）=33+35

70=35+35=（35-1）+（35+1）=34+36

72=36+36=（36-1）+（36+1）=35+37

74=37+37=（37-1）+（37+1）=36+38

76=38+38=（38-1）+（38+1）=37+39

78=39+39=（39-1）+（39+1）=38+40

80=40+40=（40-1）+（40+1）=39+41

82=41+41=（41-1）+（41+1）=40+42

84=42+42=（42-1）+（42+1）=41+43（是孿生素數對）

只要k足夠大，在2n的邊際區間總存在有孿生素數對。

2.定理

邊際定理：對于任意一個正整數n總是存在有足夠大的正整數k，使得偶數2n的邊際區間[2n，2（n+k）]都存在有一個孿生素數對（p，p+2）.

表達式：2（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2），其中：p=n+k-1，p+2=n+k+1.

證明：

設p為素數并且使得p+2仍然為素數，設m=n+k為等差數列p，m，p+2的等差中項。

有：m=n+k=p+1.

則：m-1=p=n+k-1，m+1=p'+1+1=p+2=（n+k-1）+2=n+k+1，

即：p=n+k-1，p+2=n+k+1.

所以，只要正整數k足夠大，對于任意一個偶數2n的邊際區間[2n，2（n+k）]總是有：

2（n+k）=（n+k）+（n+k）=（n+k-1）+（n+k+1）=p+（p+2）等式成立。

所以，只要正整數k足夠大，在任意一個偶數2n的邊際區間[2n，2（n+k）]總是有孿生素數對（P=n+k-1，p+2=n+k+1）存在。

所以，邊際定理成立。

四、證明

證明孿生素數猜想，就是證明孿生素數無限定理。

依據邊際定理，只要正整數k足夠大，在任意一個偶數2n的邊際區間[2n，2（n+k）]都存在有孿生素數對（p=n+k-1，p+2=n+k+1）。

而且當n無限大時任意偶數2n的邊際區間[2n，2（n+k）]有無限多個，所以它使得孿生素數對（p=n+k-1，p+2=n+k+1）有無限多個。

所以孿生素數對（p，p+2）有無限多個，即使得p+2仍然為素數的素數p有無限多個。

于是，孿生素數猜想得到證明，即孿生素數無限定理得到證明。

【參考文獻】

[1]張益唐，素數間的有界距離，（美國）數學年刊，179（2014）：1121-1174.