促進高階思維發展的習題變式策略探究

浙江杭州市上城區時代小學 唐彩斌

山東煙臺市芝罘區魯峰小學 慕振亮

我國著名教育改革專家顧泠沅教授于1990年和2007年兩次做了教學目標的大樣本測試，對布魯姆的教學目標分類進行了批判性的建設。 根據教學目標分類的層次性、分類的連續性與等距性，把認知目標及其對應能力表現水平描述為大致等距的四層次框架，分別是“操作、了解、領會和探究”四類目標，并給出了具體描述，形成了指向四個數學水平層次的框架。

在筆者組織的大樣本區域小學數學質量監測的過程中，有一個發現：學生對于操作、了解類的低識知水平目標達成度較好，對于領會和探究類的高認知水平目標相對不足。 也就是說：我們常在低水平的層次高頻訓練，卻在高階思維水平層次低頻發展。 適當降低這種低階思維水平的“高頻訓練”，讓學生有更多機會、更多時間去經歷“高階思維水平”的挑戰，應該成為教學改進的方向。 也恰如郭華教授的觀點：基于挑戰、基于探究，是實現深度學習的主要途徑之一。

那么，逐漸地從水平一“操作”、水平二“了解”向水平三“領會”、水平四“探究”過渡，這個轉變的過程需要一種重要的策略就是“變式”。 《華人如何學數學》曾系統總結了中國特色的變式教學，把它視為“促進有效的數學學習的中國方式”，2020年國際數學教育大會將在上海舉行，屆時華東師范大學博士生導師顧泠沅教授將做大會報告， 可以預見“變式教學”將再一次被國際數學教育界聚焦。

那么，在新時代背景下，在國際視野下，作為一線的小學數學教育工作者，我們到底可以在實踐層面如何更好地踐行“變式教學”就變得更有意義，本文選擇習題設計的小切口，提出幾種常見的實踐策略，努力將“變式”的思想付諸實施。

一、從直接變間接

思維具有兩個基本特點，一個是概括性，一個是間接性。 在小學數學的習題設計中，由原來標準樣式中的條件， 直接告知的條件改為間接條件，讓學生在解決問題的過程中，自覺主動地把間接的條件變成直接的條件，溝通“間接”與“直接”之間的關系，從而解決問題。

比如，求長方形的周長。 已知：長方形的長是15厘米，寬是10厘米，周長是多少？ 這是一個標準樣式的問題，學生的通過率在95%以上。把“寬為10厘米”改為“寬比長短5厘米”，問題變為：長方形的長是15厘米，寬比長短5厘米，周長是多少？ 就有學生會列式“（15+5）×2”求周長，因為在部分學生的認知水平里，求長方形的周長就是形如“（□+□）×2”可以求得的。 這就是水平一階段，模仿性的操作，學生甚至不明白算理也在“依葫蘆畫瓢”。

除了把直接的條件改為間接的條件，間接性還表現在，將給出的信息轉變成解決問題真正需要的條件。

比如有一條豎直的線段長20厘米， 以每秒5厘米的速度向右平移，1分鐘后線段掃過的部分有多大？ 面對這個問題，需要學生自己識別“是求周長還是面積”？ 如果是求“面積”，那么是一個“什么圖形的面積”？ 表象地思考出是一個長方形，那么還需要進而思考：“這個長方形的長是多少，寬是多少？ ”更有細節處還需要把1分鐘轉化為60秒，比起“一個長方形， 長300厘米， 寬20厘米， 面積是多少平方厘米”，間接的程度越高，對學生形成的挑戰也越大。但是本著發展學生的空間觀念和運算能力，以及綜合解決問題的能力來說，顯然，越是有挑戰的問題學生的收獲會越大。

二、從正向到逆向

20世紀80年代，趙裕春教授和張天孝老師等在全國組織了小學生數學能力的大規模檢測。 當時就提出小學生重要的數學能力， 其中有一條就是：可逆性思考。 逆向思維的培養也是當下學生的一種重要思維素養。

記得筆者在英國訪學期間，經常在英國的中小學聽課，英國老師的課堂是這樣的：7+6=？ ，8+4=？ ，9+7=？聽著挺簡單，突然提問：□+□=13。瞬間，學生的思維開放了。 這就是正向變逆向的最簡單運用。還記得有一次筆者和美國的一位教師一起交流，他提到了數學課上的選擇題，67+26，正確的答案是多少呢？ 學生說93，雷夫說：是的，正確答案是93。 那么，這個選擇題的其他選項可以怎么填呢？ 可能是什么答案呢？ 學生補充說83，因為我有時會忘記“進位的”；馬上又有學生補充41，因為有時會把加法看成減法的。 沒想到明明知道了答案的選擇題，逆向追問，也可以蘊含多種不同思考，依然有很好的教學價值。

在計算教學中， 帶余數除法的正向習題，如13÷3=□……□，49÷8=□……□；正向變逆向，被除數和除數已知變未知，答案未知變已知，如□÷□=5……3，反而可以引發學生更多思考。

在圖形與空間領域，絕大多數教師都有下面的教學感受：要求三角形的面積，正向題：三角形的底是15厘米，高是10厘米，面積是多少？ 逆向題：三角形的面積是150平方厘米，高是10厘米，底是多少厘米？ 顯然，逆向題的挑戰更大，正確率會降低10%。

最令人印象深刻的是應用問題，正向題：科技書有20本，故事書比科技書的2倍還多2本，故事書有多少本？ 逆向題：科技書有20本，比故事書的2倍還多2本，故事書有多少本？ 在逆向問題解決中，更需要學生的結構化思考以及更加復雜的推理，在這個過程中， 自然能增強學生更強的邏輯思維能力。

三、從封閉到開放

有學者研究，我們一般將數學開放性問題主要分為3類：（1）給出的問題條件是開放的；（2）問題的解題過程是開放的；（3）問題的最終結果是開放的。當然， 開放題也可以是這3種類型的綜合情況。 比如，（1）條件開放題：問題的條件不完備或滿足結論的條件不唯一：兩個數相加為20，這兩個數是多少？（2）結論開放題。 在給定條件下，結論不唯一：尋找13元6角的硬幣組合？ （3）解題策略開放題。 思維策略與解題方法不唯一：圍著火爐一圏，一次可以烤10個紅薯，烤熟一個要5分鐘，兩面都烤熟才完全烤熟，現在烤15個紅薯，至少需多長時間？ （4）綜合型。在條件、結論、策略中至少有兩項是開放的：一個長方形，剪掉一個角，剩下的部分還有幾個角？

最為經典的開放題，是日本學者介紹的。 有一塊長4米、寬3米的園地，現要在園地上辟出一個花圃，使花圃的面積是原來的園地面積的一半，問如何設計？ （日本開放題）：

教學中讓學生盡可能多設計不同的圖案并且獨特、新穎，這就需要充分調用已有的知識和經驗，突破原有的認知和思維定式。 顯然這樣的解題過程和最后的結果體現了數學開放題不同的開放類型，不同的開放程度能讓不同能力和興趣的學生得到不同的發展。 給予了學生表達自己數學觀念的機會，使學生懂得了思維是一個過程而不是選擇一個簡單的答案， 開放題推動學生對問題的深層次理解，鼓勵學生用不同的方法表示一半。 不同年級的學生都可以參與，并且可以有不同的表現。

筆者在教學“三角形面積練習”時，設計了一道開放題。

有兩個正方形ABCD和FECG， 邊長分別為8厘米和4厘米，G是CD的中點，E在BC邊的延長線上。選擇三個不同的三角形（非直角三角形）計算出面積。（最大的、最小的、中等大小的）

學生的作品中有簡單的，有復雜的，低起點，人人可以參與，高落點，挑戰性的三角形蘊含其中。 在找最小的三角形中，學生連起來三角形AGE,除了用整體減去部分來計算面積以外，還激發學生用“等積變形”的策略來解決，連接AC，AC∥GE，三角形GEA與GEC，同底等高，面積相等，而三角形GEC的面積方便可得：4×4÷2=8（平方厘米）。 一個問題情境中，引導學生深度思考，獲得不同的發展。 提供這樣具有適度開放性的問題情境，讓學生可以從不同角度展開思考，進而提出不同的數學問題，培養思維的靈活性和發散性。

四、從單一到綜合

從教學設計的角度來說，今天學的是A，練習的時候不能總是AAA,而是應該出現一個B，這樣反而能加深對A的認識。學習周長之后，可以把面積結合起來；學習了進位加法之后，可以把退位減法結合起來；學習了歸一問題后，可以把歸總的結合起來。綜合不是原有單一問題的簡單羅列和堆砌，而是有機地融合。 比如，用一條長24米的籬笆，圍出一個長方形花園。 要圍出盡可能大的花園，長和寬分別可能是多少？面積是多少？此題中，既考查了學生對長方形周長的理解，也考查對面積的應用，這與傳統意義上的已知邊長求周長和面積相比，更加能提升學生的綜合素養方面的能力。

比如，用下面五塊玻璃做一個魚缸，這個魚缸的底面積是多少？ 它能裝多少升的水?(玻璃的厚度不計)

傳統單一的問題都是直接提供長方體長、 寬、高的長度，求長方體的表面積和體積各是多少？ 這種問題就是平行疊加的“綜合”，即A是A，B是B，將A和B融合起來綜合考慮， 對于發展學生的思維能力助益不少。 單一的羅列變深度的融合，考慮問題的方面多了，篩選有用信息的層面高了，可以更好地鍛煉學生的空間思維能力。

五、從靜態到動態

從靜態到動態，從變化到不變，要常常盯準變化之中不變的東西。 正是這些不變的東西，把變化中的不同鏡頭聯系起來，從靜態中衍生動態，在變化、變式過程中認識變化過程的本質，幫助我們去解決各種變化的問題。 要實現從靜態到動態的變化， 對同一類數學問題我們不妨采用變換條件、變換問題、變換內容、變換形式、變換位置、變換敘述方式、變換解題思路等組成一道或幾道新題讓學生練習。

比如，在下面4個圖形中，畫出A向對邊的高。

這4個三角形，問題都是畫高，圖（1）是標準圖形圖（2）（3）（4）變換了位置或形狀，這是圖（1）的變式練習，學生容易犯錯。 通過把三角形移動頂點位置或變化形狀， 通過標準圖形生長出變式圖形，在不斷的變化中看到不變， 發現高概念的本質屬性，深度理解垂直的兩條線的位置關系，發展學生的空間觀念。

比如，新圖形的表面積有變化嗎？

拿走一個小正方體，表面積比原來增加了還是減少了？

一個完整的長方體拿走一個小正方體，變化的不僅僅是體積單位，還有表面積的變化。 雖然從數量上看有變化，但變化是有規律可循的，前三種變化更多的是基于拿走不同位置的角塊而實現學生思維從靜態到動態的轉變和思考。 從形式上看可以是多樣的，而最后一種體積沒有變化，但是表面積仍舊發生改變，變化的是物體的位置和面積，不變的是物體的體積。

六、從數學到生活

數學源自生活，又與生活處處相關，比如，某單位的圍墻是正方形，外邊長是200米，由石磚砌成，高度為3米，甲、乙兩人分別從兩個頂點出發，沿著外墻按逆時針方向步行， 如果甲每分鐘走75米，乙每分鐘走65米， 那么至少經過多少時間甲能看到乙？ 先按照追擊問題來思考，距離差=一條邊÷速度差=200÷（75-65）=20（分鐘）。 這類問題的設計，就不同于傳統的追擊問題， 也不同于生活中簡單的看見。 問題如此創設，挑戰就增加了不少，思考空間增長很多。

比如，在教學“植樹問題”時補充不是植樹的植樹問題：建德白沙大橋，全長約390米，在橋的兩側欄桿上每隔3米就有一頭石獅子，橋頭橋尾呼應，形態各異。 橋上一共有多少頭石獅子？ 結合實際生活解決數學問題，學生常常疏忽“橋的兩側”。 聯系了生活，提高了數學層面的挑戰。

核心素養的一端連著現實世界，一端連著完整的人，在數學學習過程中，我們也要努力創設各種現實問題，引導學生在現實生活中應用數學解決問題，提升綜合素養。