理法融合，以法促律
——談有關計算教學的幾類計算課

浙江省義烏市新絲路學校龍回校區 方健偉

計算是小學數學的基礎內容，計算教學貫穿于小學數學教學的全過程。運算通常來自對生活原型的抽象，抽象產生意義，意義產生算理，算理概括成為算法，不斷運用算法就有了算律。反過來，算律是對算法的熟能生巧，算法是對算理的經驗概括，算理是對意義的理解，意義來自生活原型的支撐。算理是算法的理論依據，算法是算理所蘊含的行為的整理與提煉，算律則是在算法的支持下理解運算的合規性，是算法的靈活運用。在理解算理的前提下構建算法，在熟練算法的基礎上明晰算律，三者既相輔相成，又各有千秋。

一、以“意”明“理”，讓“算理型”計算課更厚實

小學數學中低段的計算教學內容一般比較簡單，通常會以簡單計算或口算作為引路課。從掌握技能的角度看，學生都掌握得比較好。正因為內容簡單，有的老師在實踐教學中往往不愿花時間展開“說理”過程。計算的理論依據是算理，它的內涵包括了運算的意義、運算的性質和運算律，為計算提供正確、可靠的思維依據。這一類課正是“講理”的課，也就是感知算理，為后續學習筆算做好鋪墊。

【課例1】整十、整百數乘一位數

1.創設情境，提出問題。

讀懂信息，提出問題：楊樹每捆20 棵，3 捆共有幾棵？

2.學生先獨立思考，嘗試列式并計算，然后同桌交流。

把20×3 的結果算出來并不困難，學生借助已有的知識經驗會用多種方法得出答案。但對于算理的理解，學生往往是模糊的，這時直觀模型就能很好地幫助學生明確計算的意義，理解其中的算理。

3.師生交流，借助直觀模型來明確計算的意義，理解乘法的算理。

師：完成的同學，請四人小組討論一下，將你的想法跟大家分享。

生1：算式“20×3”表示3 個20 相加，所以我用20+20+20=60。

生2：我是先畫一條線，再跳3 次，每次是20，最后跳到了60。

師：你為什么要跳3 次？

生2：因為20×3 表示3 個20，所以我跳了3 次。

生3：因為2×3=6，那20×3 就等于60。我先把20 的0 去掉，乘法口訣二三得六，再把0 加回去，就是60 了。

生4：我同意這種看法。20 就是2 捆十根的小棒，乘3 表示這樣的有3 份。2 乘3 表示一共有6 份，每一份是10 根，6 份就是60 根。

師：也就是10 表示一個十，6 乘10 表示6 個十，是60。

試著讓學生將自己的方法在投影上匯報交流。學生借助算式意義，運用口算方法，或是用直觀數線方法理解乘法意義，明白計算方法。整十整百數乘一位數的口算乘法，如“20×3”“500×5”并不難，即使不上，學生也能很好很快地掌握口算乘法，教學中教師不能只求“快節奏”，而應采用“慢拍子”，選擇多樣化的教學的方式，用好直觀模型（數線、點子圖、列表）、實物原型（小棒、計數器）等促進學生理解算理。讓學生充分調取經驗，建立起足夠多的原型，感知運算的道理。

二、循“理”入“法”，讓“算法型”計算課更豐厚

計算方法是依據有關的運算意義和性質將計算過程中的推理系統化和程序化，是一種比較先進的邏輯推理。課堂教學中學生不清楚算理，知識遷移范圍就會受限，如果不及時總結方法，歸納算法，也不利于運算能力的真正提高。因此，計算教學中，要力求循“理”入“法”，真正做到“理”“法”融合。

【課例2】乘數是兩位數的乘法（筆算乘法）

計算“12×14”，出示學習要求：在點子圖上圈一圈、算一算，在表格里填一填，嘗試寫出你的計算過程。學生借助點子圖嘗試計算。

生1：先圈10 個12，再圈4 個12,120+48=168。

生2：還可以先圈10 個14，再圈2 個14，140+28=168。

生3：12×14 可以理解成10 個14 加上2 個14，其實與上面的方法一樣。

生4：我是分成四份，把12 分成了10+2，把14 分成了10+4。最大的那塊是10×10=100，還有10×4=40；下面的兩塊分別是10×2=20和2×4=8。最后把這四塊相加：100+20+40+8=168。（圖1）

生5：我是運用表格的方法來計算的。結合點子圖來說明，這和前面分成四部分的意思其實是一樣的。看點子圖，100 就是10×10=100，40 就 是10×4，20 表 示 的 是10×2， 最 后 是2×4=8。下面算式表示的是把這四部分相加。（圖2）

圖1

圖2

在點子圖上圈和在表格上填空需要給學生足夠時間，那為什么還要引入這些直觀模型？價值就在于把靜態的知識激活了，讓學生研究計算方法有抓手。運用直觀模型理解算理和乘法的意義，在探究算法時引導學生動手操作，在圈畫、拆分點子圖時清晰地呈現學生不同的算法。

師：請結合點子圖，指著表格中的算式，同桌之間互相說一說。

師：有一位同學是用列豎式的方法解答的，說一說每一步的意思，再想想乘數是兩位數的乘法列豎式計算的方法是怎樣的？

從上述教學中，我們發現學生不自覺地把豎式與前面的點子圖、表格聯系起來，利用點子圖和表格理解乘法豎式。這樣，學生在理解豎式中每一步的含義時，能將直觀的算理和抽象的算法有效結合，也就能水到渠成地歸納筆算方法了。

三、依“法”見“律”，讓“算律型”計算課更厚重

計算本身發展的必然需要體現在運算律上，它是在計算過程中根據需要所產生的簡約規則。無論是整數的運算，還是后續小數、分數的運算，這幾個運算律都是適用的。運算律的教學要在理解運算意義的基礎上基于算法去建立認知，從運算律的本質出發，建立算法之間的相互聯系，拓寬運算律的形成渠道，這樣教學，學生對于運算律的理解是深刻，教學才能取得事半功倍的效果。

【課例3】乘法分配律

1.引入情境，列出算式。

（1）出示具體生活情境：貼瓷磚，學生嘗試用不同的方法解決問題。

（2）反饋學生解決問題的情況。

① 3×10+5×10； ②（3+5）×10；

③ 4×8+6×8； ④（4+6）×8。

師：說一說每個算式的含義，比一比4 個算式，你有什么發現？

生1：答案都是80。

生2：3×10+5×10=（3+5）×10，4×8+6×8=（4+6）×8。

師：為什么①和②、③和④可以寫成等式？

生3：等號兩邊都是求同一個問題，只不過計算時的運算順序不同，計算的結果都相同，所以可以用等號連接寫成等式。

在學習乘法分配律之前，學生已經熟練掌握了運算的順序和運算的方法。上述過程是借助“貼瓷磚”情境，讓學生體會到乘法分配律兩種算式形態的正確性，充分運用乘法意義建立的兩類算式雖然形態不一樣，但結果指向是相同的。借助問題情境指導下的學習活動，讓學生感知乘法分配律的本質。

2.發現規律，驗證規律。

（1）舉例驗證。

師：類似這樣的式子你能寫出一組嗎？它們為什么相等？

生：36×5+34×5 =（36+34）×5，左邊是36 個5 加上34 個5，得出70 個5，右邊也是70 個5，所以左右兩邊相等。

師：還能舉嗎？再寫一組。

（2）小結：類似“36×5+34×5 =（36+34）×5”這樣的等式不是個別現象，是一種普遍存在現象，是一種規律。

3.建立模型，梳理規律屬性。

師：請大家想一想、寫一寫，用自己的話表達這種規律。（反饋學生的表述情況）板書：○×△+○×☆=○×（△+☆），a×b+a×y=a×（b+y）。

師（小結）：一般情況下，我們可以用字母式“（a+b）×c=a×c+b×c”來表示這樣的規律，這就是乘法分配律。

引導學生加強對乘法分配律外在形式的認識，利用靜態的表達式歸納總結出乘法分配律，初步建立乘法分配律的模型。

4.追根溯源，凸顯規律本質。

師：乘法分配律其實我們并不陌生，從二年級開始，你們就已經接觸了，只是那時我們不知道它就是乘法分配律。你們看，能用自己的方法解釋“7×8”和“長方形周長”嗎？

教學中，重視運算律意義的理解，把前后知識有序勾連。溝通知識之間的內在聯系，習得的知識也將實現更高層次的鞏固。提倡讓學生經歷知識的發生過程，明白“為什么學”“怎么學”。上述課例的教學有運算意義作支撐，溝通算法之間的聯系，能更好地觸發對運算律意義的感知。通過這樣的學習，不僅能讓學生對所學的知識有深刻的理解，更能激發他們學習數學的積極性，體會到所學知識的意義和價值。