基于Voronoi圖理論的微體積成形數值建模及驗證

席道英鄭偉

(山東建筑大學工程力學研究所，山東濟南250101)

0 引言

隨著科學技術的快速發展，人們對微型零件的需求正逐漸增加，微塑性成形技術成為材料加工領域的研究熱點。微塑性成形技術是指通過材料發生一定的形變，制造出二維或三維方向上尺寸＜1 mm零件的技術[1-4]，具有高生產效率、性能好、誤差小及無污染等優點。微塑成形技術在微機械及微電子等領域具有十分重要的應用前景，近幾十年在市場因素的推動下迅速發展成為材料加工領域的熱點。

數值模擬方法是研究微塑性成形的主要手段之一，在生產工藝中，可以減少工藝設計的時間和降低生產成本。目前提出的微塑性成形理論中的區域化模型不包含各種尺度參數，因此基于成形理論的數值模擬不能直接使用現有的有限元軟件。很多學者都基于實驗數據推導本構關系及研究微塑性成形過程中的尺度效應現象，但缺少一些理論依據[5-6]。彭林法[7]考慮了表面層模型理論的情況，將表面層晶粒看作單晶，從而改進了Hall-Petch公式，建立了一種復合材料區域化模型并實現了微塑性成形過程的數值模擬。但在微尺度下，變形區域只有幾個或十幾個晶粒時，不能忽視單個晶粒取向對整個變形的影響，因此需要對整個材料模型進行晶粒化處理，以便更清晰地實現對微塑性成形過程的數值模擬分析。常妍妍[8]在研究微成形工藝時引用一種新的數值模擬方法，將所用的多晶體材料看作由正六邊形組成的晶粒，每個晶粒代表一個特殊作用的有限單元，其每個晶粒單元由晶粒邊界單元連接，這些晶粒邊界單元用來描述晶粒之間的剪切變形。王廣春等[9]將模型中的每個晶粒單元視為由6個節點組成，在具體的網格劃分中將其分為2個四邊形單元。將該模型引入到研究激光微拉深和脹形的過程中，雖然模型有局限性，但為在連續介質力學框架下有限元模擬微塑性成形提供了有效的建模思路。Zheng等[10]利用二維Voronoi多晶簡化模型數值研究了微成形過程中試樣晶粒分布對摩擦行為的影響，為后來建立基于Voronoi圖的三維多晶模型奠定了基礎。由于二維的多晶模型不能精確地反映晶粒取向分布不同對微塑性成形過程中摩擦因子和流動應力的影響，因此建立三維的多晶幾何模型并進行數值模擬，可以更清晰地反映變形過程中的尺寸效應現象。Jiang等[11]基于Voronoi圖理論建立了一種適用于微尺度下塑性成形的材料多晶模型，在此模型中每個晶粒的材料流動應力與晶粒的尺寸和成形溫度有關。此外，考慮晶界強化作用并簡化晶粒為立方體，提出了一種多晶幾何模型，從而實現了微尺度下鐓粗過程的數值模擬[12]。

文章研究尺寸為微尺度，不能忽視坯料中單個晶粒取向對整個變形的影響，因此基于Voronoi圖理論，建立考慮表面層理論的三維幾何模型，根據各個晶粒的取向不同，將區域分為3類，賦予其不同的本構關系，得到三維材料本構模型。利用有限元軟件ABAQUS實現微鐓粗過程的數值模擬，得到的流動應力結果與實驗數據相對比，以驗證該模型的可行性。

1 微尺度下基于Voronoi圖的數值模型建立

1.1 多晶幾何模型的建立

在三維空間中，過去很多研究學者一般在多晶體模型中以六面體單元代表晶粒，但模擬結果不能準確地反映晶粒的形狀不規則性和對材料變形過程的影響，因此并不是最好的模型選擇。研究發現，Voronoi圖從種子點生成六邊形的過程與真實多晶體材料的結晶過程具有一定的相似性[13-14]。基于Voronoi圖理論在有限元軟件ABAUQS中建立三維多晶幾何模型的具體過程如下:

(1)通過第三方軟件MATLAB，在Mpt工具箱中生成多晶體內所有晶粒表示點的幾何信息。

(2)將多晶體中的每個晶粒所包含點的幾何信息與周圍其他晶粒相交，得到共同的幾何信息集合。若結果≥3個點，則得到了晶粒每個面所包含點的幾何信息；若結果為2個點，則得到了晶粒每個面所包含邊的信息。再將多晶體中晶粒所包含面和邊的全部幾何信息按照格式一并輸出為txt文本并保存。

(3)Python作為ABAQUS/CAE的腳本語言，可以實現模型的前處理過程。通過ABAQUS的腳本接口讀取 MATLAB中生成的數據，通過WirePloyLine命令自動生成晶粒每個面的邊，用AddFaces命令將晶粒的邊生成面。

(4)在Assembly模塊中將晶粒的面通過布爾運算生成晶粒的殼，然后選中生成的殼和實體進行移動到重合，再利用Assembly模塊中cut geometry功能，通過生成晶粒的殼和目標實體可得到任意形狀的多晶幾何模型。

文章主要以圓柱體來建立材料多晶模型，如圖1所示。

圖1 基于Voronoi圖理論的三維多晶幾何模型圖

1.2 區域化本構模型的建立

與單晶體相比，受位錯塞積影響的多晶體的晶粒在塑性變形過程中會在晶界附近產生很大的應力場[15]。其中，多晶體中的晶粒遵循Hall-Petch公式，由式(1)表示為

式中:σpoly為多晶體變形中的流動應力，MPa；M為多晶體晶粒的取向因子；τ為塑性變形中的總應力，MPa；τi為沿滑移面滑動時產生的摩擦切應力，MPa；ε為塑性變形中的應變；為晶界附近由于位錯塞積對位錯運動所產生的抵抗切應力，MPa；d為平均晶粒尺寸，μm。考慮塑性變形過程中的硬化作用，K′和τi都是應變的函數。

由于傳統的多晶體包含晶粒數量非常大，單個晶粒對整個變形的影響可忽略，取其各個晶粒取向因子的平均值，對于面心立方晶格的多晶體，內部晶粒取向因子的平均值為3.06。然而在微尺度下，變形區域只有幾個或十幾個晶粒，單個晶粒取向對整個變形的影響作用不能忽視。Huang[15]對多晶銅拉伸試樣的顯微組織進行了分析。在純銅試樣的模擬中，每個三維模型均由上百個晶粒組成，可以根據二維的圖像反映三維空間晶粒的分布。根據在三維空間的不同取向分布，將晶粒大致分為3大類，如圖2所示。第1類晶粒主要分布在反極圖三角形的中間部分，以[411]為代表；第 2類晶粒大致分布在[100]周圍15°內，并以[100]為代表；第3類晶粒分布在[111]周圍20°內，作為[111]類型。課題組前期對純銅試樣晶粒位向分布進行了測試[16]，電子背散射衍射技術測試的結果如圖3所示。

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圖2 變形方向上純銅晶粒取向的分布圖[15]

圖3 前期測得純銅試樣電子背散射衍射反極圖

為了研究多晶與單晶純銅塑性變形行為的相關性，Huang等[15]分別將取向平行于[411]、[100]和[111]的晶粒作為面心立方多晶中出現的3種類型晶粒的代表，其取向因子M和體積分數f見表1。

表1 3種不同類型晶粒的取向因子M及體積分數f表[15]

在連續介質力學理論的框架下，考慮到微塑性成形的變形機理，需要對建立的有限元多晶模型做以下假設:

(1)表面層晶粒的位錯可以在外應力作用下沿最有利滑移系統滑移，其取向因子M為2。

(2)在變形方向上，只有[411]和[100]及[111]3種具有代表性取向的晶粒屬于不存在自由表面的內部晶粒，建模過程中3種晶粒按照1∶2∶7的比例進行分配。

(3)在變形過程中不考慮晶粒轉動。

簡化流動應力僅為應變的冪指數，對文獻[1]給出的CuZn15單向壓縮實驗數據進行回歸分析，求解得到Hall-Petch公式中的待定系數，由式(2)表示為在變形方向上，不同取向晶粒的流動應力應變曲線如圖4所示。3種類型的代表晶粒的流動應力都大于表面層晶粒，[111]方向上的晶粒的流動應力最大。可以用表面層模型理論解釋:在試樣微小的情況下，表面層的晶粒相對較多，在試樣變形時，與內部的各種類型晶粒比較，表面層晶粒受到的約束較小，在較低的流動應力下就能發生變形，由此可得，微塑性成形中試樣的流動應力隨尺寸的減小而減小。根據這些應力—應變數據可以定義在三維多晶模型的屬性上，使其進行數值模擬分析。

圖4 不同取向晶粒的流動應力—應變曲線圖

2 微體積成型的模擬及驗證

根據晶粒取向分布的體積分數，隨機生成了3種不同晶粒取向分布的有限單元法模型(分別為模型1、模型2和模型3)。壓縮后3個模型剖面變形結果如圖6所示。在3種不同晶粒取向的多晶模型中，2側均出現了不同程度的凹凸不平，這與實驗結果相吻合。其產生原因為:由于隨著試樣尺寸的減小，試樣中包含的晶粒個數也隨之減小，晶粒與晶粒之間由于晶粒取向的差異引起的力學性能的差異也愈加明顯，最終造成了試樣在變形過程中的不均勻性。

通過模擬結果及流動應力—應變關系可以得到3種不同晶粒取向隨機生成的多晶模型的應力—應變曲線，如圖7所示。在微鐓粗的過程中，由于尺寸發生微小的變化，材料產生了明顯的尺寸效應。由于晶粒的分布和取向不同，最終由3種有限單元法模型得到的流動應力也有所不同。相同應變下，模型1的流動應力較大，但三者相差不大，最大相差為4.33%。

圖5 微尺度下試樣單向壓縮的模擬過程圖

圖6 不同晶粒取向分布的有限單元法模型的剖面變形圖

圖7 由3種有限單元法模型得到的應力—應變關系圖

將3種FEM模型模擬得到的流動應力的平均值與文獻[1]中的實驗結果進行對比，如圖8所示。模擬得到的流動應力要略高于實驗中得到的流動應力，分析認為是受模擬過程中選取的[111]取向的晶粒的影響，其加工硬化率要高于其他取向的晶粒，造成模擬結果中內部多晶的流動應力要高于實際情況。因此，所建立的三維有限元模型具有一定的可行性，能夠準確地反映微鐓粗過程中的尺寸效應現象。

圖8 模擬結果與實驗結果的對比圖

3 結論

通過研究，得到以下結論:

(1)基于Voronoi圖理論，在ABAQUS中生成了圓柱體和立方體的三維多晶幾何模型，能夠更真實地反映試樣的晶粒形狀，修正了宏觀的Hall-Petch公式，得到了微尺度下的有限元多晶模型，證實了尺寸效應現象及表面層晶粒的流動應力小于內部晶粒。

(2)通過對三維有限元模型進行微鐓粗過程的數值模擬，晶粒分布不同對變形后的形貌產生不同的結果。數值模擬的數據與實驗的結果相吻合，實現了實驗與模擬的一致性，驗證了三維多晶幾何模型和本構模型的可行性。并且，此建模方法能更廣泛地分析微塑性成形中尺寸效應現象。