“雙8字”型無碳小車循跡原理中的幾何關系研究

宋愷殷 金凱樂 李發元

摘要：“雙8字”型無碳小車的循跡過程沒有電子控制設備的參與，完全由機械結構實現，因此各機構的尺寸、形狀、安裝位置等幾何條件對于軌跡有重要影響。以基于蝸輪蝸桿結構的“雙8字”型無碳小車為基礎，總結其中對軌跡有重要影響的幾何關系，得出數學模型，給出控制“雙8字”型無碳小車的軌跡的方法，從而能更加科學地根據要求來調整軌跡。

Abstract： The tracking process of double-8-character carbon-free car is completely realized by mechanical structure without the participation of electronic control equipment， so geometric conditions such as size， shape and installation position of each mechanism have an important impact on the trajectory. The double-8-character type of worm wheel and worm structure is taken as an example to summarize the geometric relationship which has an important impact on the trajectory. The method of controlling the trajectory of the double-8-character type carbon-free car is explored， so that the trajectory can be adjusted more scientifically according to the requirements.

關鍵詞：無碳小車;雙8字;循跡;蝸輪蝸桿;軌跡調整;幾何關系;數學模型

Key words： carbon-free car;double-8-character;tracking process;worm wheel and worm structure;trajectory adjustment; geometric relations;mathematical model

中圖分類號：TP23? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1006-4311（2019）34-0238-04

0 引言

無碳小車是一種僅僅依靠4焦耳（重力加速度g取10m/s2）重力勢能作為能量來源的三輪結構小車[1]，旨在實現重力勢能的高效利用，節能環保。無碳小車需要實現按照指定路徑行進的功能，由于其沒有電子控制系統，循跡過程完全由機械結構實現[2]，一些機構的幾何特征對于軌跡有關鍵影響。“雙8字”型無碳小車在循跡過程中需要繞樁行進，樁距為變量（350±50mm）軌跡如圖1所示。如何根據不同的的樁距來調整小車機械結構中的參數使之能最大限度地完成循跡過程是文中討論的主要問題。

1? 研究背景

目前比較常用的無碳小車的轉向微調機構有螺旋測微頭機構[3]和蝸輪蝸桿機構[4]。目前的研究主要通過MATLAB進行仿真[5]，能得出理想化的結果。但是無碳小車中的各部分具有耦合關系，各自由度均為不直接可控自由度，并且整車系統中沒有反饋使之形成閉環，系統發散。[6]在實際操作過程中，由零件磨損、二次裝配精度和場地條件等因素的影響，實際情況可能會與仿真結果有較大的出入，需要進行調整。因此，本文以自主設計的基于蝸輪蝸桿和凸輪機構的“雙8字”形無碳小車為研究基礎（該構型小車在第六屆全國大學生工程能力競賽中獲得了國家級一等獎，證書編號：2019021002）;總結無碳小車在行進過程中的幾何關系和幾何要素，建立相關數學模型，指導無碳小車的微調過程，使之更好地跑出預期軌跡。研究所用的無碳小車如圖2、圖3所示。

2? 結構方案

2.1 傳動機構方案

小車的傳動機構如圖4所示。重錘繞在定滑輪的小圓上，重錘下落，通過定滑輪轉向，從而通過繩子帶動凸輪軸旋轉。凸輪與大齒輪均與凸輪軸固連，因此凸輪軸轉動時大齒輪和凸輪同步轉動。大齒輪與小齒輪嚙合，大齒輪轉動時帶動小齒輪轉動，小齒輪帶動主動輪轉動，從而驅動小車前進。從動輪與后輪軸之間安裝有軸承，以此來實現差速轉向。

2.2 轉向機構方案

研究基于自主設計的基于蝸輪蝸桿機構的轉向微調機構，使微調過程更清晰直觀。利用凸輪機構配合蝸輪蝸桿結果實現轉向[7]。轉動手擰螺絲將帶動蝸桿旋轉，從而帶動蝸輪旋轉。蝸輪和前叉均通過頂絲固連在前輪轉向軸上，前輪與前輪軸一起固定在前叉上。蝸輪蝸桿機構具有較高的傳動比，能夠縮小調節的幅度從而實現更精細的調節。因此可以通過旋轉手擰螺絲來實現前輪的初始偏角的微調。

3? 幾何關系分析

3.1 車定滑輪-凸輪軸傳動比與小車最大行進圈數的關系

小車每完成一個“雙8”字軌跡的行駛會進行4次變向，即軌跡的曲率中心的所在側發生四次變化。因此，小車每行駛過一個“雙8”字，凸輪必須旋轉兩圈來完成四次變向。如圖4所示，H代表重錘最大的下落距離。則定滑輪旋轉的最大圈數凸輪旋轉的最大圈數設定滑輪-凸輪軸傳動比為P，則于是小車能行駛的最大圈數可以看出，在結構不變和給定重錘下落高度的情況下，定滑輪-凸輪軸的傳動比P越大，小車能行駛的圈數越多，且二者成正比關系。

3.2 凸輪安裝位置與推桿擺角的關系坐標系和轉向機構簡化模型如圖6所示，凸輪安裝位置到前輪轉向軸中軸線的Y向距離為d，凸輪軸到前輪轉向軸的中心距離為e。由可以求得cosα的值，又角α與β為平行線間對錯角，因此cosα=cosβ。又在⊿def中由勾股定理知設推桿的最大x向推進距離為c，則c=b-a。因此在⊿fgc中，依據余弦定理有再對⊿fgc使用一次余弦定理有從而可以求出角θ的值其中a，b，e均為固定量，只有凸輪安裝位置到前輪轉向軸中軸線的Y向距離d為變量，因此，推桿擺角θ是凸輪安裝位置d的單值函數

3.3 軌跡曲率半徑與前輪初始偏角和凸輪安裝位置的關系?如圖7所示建立坐標系。設小車前輪與Y軸的初始夾角為Φ，到達B處時小車前輪與X軸的夾角為ξ，前輪轉向軸到后輪軸的中心距離為h（定值），小車行駛到A處時的的曲率半徑為i，小車行駛到B處時的曲率半徑為j。可以看出而推桿與前輪通過前輪軸固連在一起，因此結合3.2的結論，ξ與Φ具有如下關系于是有即兩端的圓弧軌跡的曲率半徑僅有前輪的初始偏角決定，而中段圓弧的曲率半徑由前輪的初始偏角和凸輪的安裝位置共同決定。

3.4 軌跡周長約束關系

小車的前輪軌跡、主動輪軌跡、從動輪軌跡是一組等距曲線。以小車走完一個完整 “雙8字”為一周，根據傳動關系，每一周凸輪轉動兩圈，則主動輪轉過的圈數設主動輪的軌跡周長為m，結合3.3的分析可知設主動輪的直徑為l，軌跡周長應與主動輪行駛距離相等從而有根據張連兆，劉富成，王碩，曹丹丹[8]等人的研究，軌跡的中段圓弧和端段圓弧的曲率半徑j和i對于軌跡的形狀有影響，軌跡的具體表達式的求解在數學上具有困難，導致Φ和d的關系無法求解。但是通過實驗驗證得知，在可調范圍內，對于給定的d值，僅有唯一的Φ值使軌跡符合要求，即對于給定的d，方程m（？準，d）=c具有唯一解Φ0，因此可以進行函數插值來近似求解d與Φ的關系。

3.5 前輪初始偏角、凸輪安裝位置、最適樁距三者間的近似關系

根據3.4的分析，每個d值僅對應一個Φ值使軌跡符合正“雙8字”，通過實驗可以得到一組映射。

而根據3.3的分析，每一組（di，Φi）都對應一個不同的軌跡，即每一組（di，Φi）對應一個最合適的樁距ki，于是得到映射。

利用拉格朗日插值多項式進行函數插值[9]由此即可以建立Φ關于d的插值多項式Φn（d）和k關于d的插值多項式kn（d）。其插值余項

4? 實際測試

以西北工業大學無碳小車創新實踐基地中基礎基本相同兩組成員為實驗樣本，兩組成員使用相同“雙8字”型無碳小車，該小車與本研究所基于的無碳小車構型相同。告知其中一組成員上述內容并指導其結合實際數據進行計算與調整，另一組給予相同的時間條件，但不提供理論指導。實驗結果以行進的最大圈數為指標，每完成一個“雙8”字軌跡的行駛記為完成一圈，圈數越多代表成績越好。每組測試三次，測試結果見表1。

組2在測試中重錘均未能下落到最底端，在重錘下落完全之前小車便撞樁停止行進，造成了重力勢能的大量浪費。而組1則在被告知和指導使用本分析后跑出了42圈的成績，重錘下落至最底端。可見，本分析對于無碳小車軌跡調整的指導意義顯著。

5? 結束語

本研究對“雙8字”型無碳小車進行了一系列的幾何關系分析，揭示了“雙8字”型小車的循跡原理，著重分析了凸輪安裝位置和前輪初始偏角對軌跡的影響，利用函數插值的方法進行擬合，指出了如何調整凸輪的初始位置和前輪的初始偏角使軌跡與給定的障礙樁距相適應的方法。經過實驗驗證，該方法對于無碳小車的軌跡調整的指導作用顯著，使之能夠有效地利用重力勢能。

參考文獻：

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[6]陳曉航，劉德鋒，左傳，徐敏.基于ADAMS的空間RSSR機構軌跡仿真探究[J].機械研究與應用，2017，30（01）：69-71.

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