四軸飛行器的歐拉動(dòng)力學(xué)方程

劉彥超

（包頭輕工職業(yè)技術(shù)學(xué)院，包頭 014030）

隨著小型無人機(jī)在航拍、測繪勘查、電力巡線、災(zāi)難救援以及突發(fā)事件應(yīng)急處理等領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛，小型無人機(jī)的研究已逐漸成為一個(gè)熱點(diǎn)領(lǐng)域。

圖1 四軸飛行器結(jié)構(gòu)簡圖

四軸飛行器有十字型和X型兩種，其中十字形結(jié)構(gòu)如圖1所示，四個(gè)電機(jī)和螺旋槳分別對稱分布在機(jī)體的前、后、左、右支架末端，且處于同一高度，電機(jī)型號和螺旋槳的尺寸均相同，其中1號和3號電機(jī)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，2號和4號電機(jī)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（規(guī)定1#電機(jī)所指方向?yàn)閤軸正方向，2#電機(jī)所指方向?yàn)閥軸正方向）。當(dāng)四個(gè)旋翼的角速度ω1、ω2、ω3、ω4相等時(shí)，（理想狀態(tài)下）其對應(yīng)的升力F1、F2、F3、F4也相等，進(jìn)而在升力與重力的共同作用下，機(jī)體可懸?；蚱鸾?；當(dāng)ω1≠ω3時(shí)，F(xiàn)1和F3的差分變化產(chǎn)生俯仰力矩Ty，使得αy角變化；當(dāng)ω2≠ω4時(shí)，F(xiàn)2和F4的差分變化產(chǎn)生滾轉(zhuǎn)力矩Tx，使得αx角變化；當(dāng) ω1+ω3≠ω2+ω4時(shí)，四個(gè)旋翼的反扭合力矩Tz使得機(jī)體發(fā)生偏航，αz角變化。注意這里的αx、αy及αz不是歐拉角，而是機(jī)體適時(shí)偏轉(zhuǎn)角度。

顯然，機(jī)體姿態(tài)角的變化不僅僅與力矩Tx、Ty及Tz有關(guān)，還和機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)，所以可用歐拉動(dòng)力學(xué)方程來描述機(jī)體所受合力矩：

歐拉動(dòng)力學(xué)方程用于描述剛體繞定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，是研究多旋翼無人機(jī)的有利工具，但多數(shù)力學(xué)教材及慣性導(dǎo)航文章對其物理意義的討論都比較少，只是由哥氏定理（向量絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式）直接得出結(jié)論，所以多數(shù)人對其物理意義并不是很清楚。本文利用陀螺力矩概念對歐拉動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了推導(dǎo)和論證，可供同行參考。[1]

一、陀螺力矩

圖2 陀螺力矩

如圖2所示，質(zhì)量為m的剛體繞z軸以角速度ω→高速旋轉(zhuǎn)，形成動(dòng)量矩G→。平行于x軸的力F→作用于剛體的質(zhì)心位置r→，將產(chǎn)生一個(gè)指向y軸正方向的力矩：

顯然力矩T→作用Δt時(shí)間后，將產(chǎn)生一個(gè)指向y軸方向的動(dòng)量矩增量：

這時(shí)剛體的總動(dòng)量矩為：

綜上所述，陀螺力矩可定義為是陀螺力圖保持自身轉(zhuǎn)軸方向不變，所產(chǎn)生的用于抵抗外力矩T→的力矩。[2]

二、剛體動(dòng)力學(xué)方程

如圖3所示，這里的ω→可看成是以坐標(biāo)軸為轉(zhuǎn)軸的三個(gè)角速度向量及的合成，顯然剛體在 x、y及 z方向上的動(dòng)量矩分別為：當(dāng)轉(zhuǎn)距 T→作用于剛體時(shí)，剛體將加速旋轉(zhuǎn)。同樣轉(zhuǎn)矩也可沿坐標(biāo)軸分解為三個(gè)向量，即及

圖3 z軸方向的動(dòng)量矩增量

顯然剛體以角速度ω→y繞y軸旋轉(zhuǎn)Δt時(shí)間后，x方向的轉(zhuǎn)軸會(huì)上翹個(gè)弧度，從而動(dòng)量矩會(huì)向上偏轉(zhuǎn)變?yōu)椤Ｋ源嬖趧?dòng)量矩增量，其方向?yàn)閦軸的正向。當(dāng) Δt足夠小時(shí)，可以將由及組成的三角形看作是一個(gè)扇形，顯然有：

綜上所述，顯然有

同理可得：

顯然：

三、結(jié)論與效果

通過本文對歐拉動(dòng)力學(xué)方程的推導(dǎo)來看，合外力矩 T→ 可分為兩部分，一部分是 J(dω→ dt)，它用于產(chǎn)生機(jī)體角加速度，另一部分是 ω→×J?ω→，它用于抵抗陀螺力矩。

本文利用陀螺力矩概念對歐拉動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了推證，其物理意義更加明確，這將會(huì)增進(jìn)無人機(jī)愛好者對四軸飛行器動(dòng)力學(xué)機(jī)理的理解，推進(jìn)無人機(jī)事業(yè)的發(fā)展。[4]