學(xué)習(xí)使我進(jìn)步 創(chuàng)新使我快樂
——記一個(gè)導(dǎo)數(shù)填空題的解決與拓廣探究

李嘉杭 指導(dǎo)教師：許銀伙 鄒洪旺

(福建省泉州外國語學(xué)校高三8班 362000)

一、由一道填空題引發(fā)的思考

上學(xué)期期末復(fù)習(xí)時(shí)，老師在某個(gè)周末所分發(fā)的練習(xí)卷中有一個(gè)填空把關(guān)題, 讓我百思不得其解，其問題是：設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意的x∈(e2,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為____. 第二天上午，我請(qǐng)教許銀伙老師，許老師對(duì)這個(gè)問題認(rèn)真審閱，沉思良久，然后說：這個(gè)問題的解答探索，可以借鑒他所發(fā)表的兩篇文章《投石問路，巧解難題》和《解壓軸題之：特值代入，減少討論》里所含的思路，回家先自行學(xué)習(xí)和探究下，下次再一起交流.回到家里，經(jīng)過對(duì)文章的學(xué)習(xí)，我明白了對(duì)參數(shù)范圍的探求，可以通過特殊值代入嘗試，壓縮討論范圍.在本題中，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=λeλx-lnx的圖象在定義域上是連續(xù)不斷的，既然要對(duì)任意的x∈(e2,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則首先必須有f(e2)≥0，也就是λeλe2-2≥0，此時(shí)λ的最小值怎么求出來呢？經(jīng)過思考我看出式子λeλe2-2的值關(guān)于λ∈(0,+)單調(diào)遞增，因此只要尋找到使λeλe2-2=0的λ值就可以了.因?yàn)棣薳λe2-2=0可化為觀察得出它是所要求的結(jié)果嗎？我嘗試證明如下：

帶著問題我拜訪鄒老師.鄒老師詳細(xì)看了問題解答，幫我分析說：從解題過程看，可以對(duì)條件x∈(e2,+)作一下改變，看看能不能構(gòu)造出新題來或者總結(jié)一般性的規(guī)律來.

依照這個(gè)思路，如果把條件x∈(e2,+)改成x∈(e,+)或者x∈(e3,+)，情況會(huì)怎么樣呢？

拓廣問題1設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意的x∈(e,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為____.

拓廣問題2設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，若對(duì)任意的x∈(e3,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為____.

觀察上面研究結(jié)果，我就想：由原來的問題是否可以歸納出一般性的結(jié)論呢？由此嘗試得出下列兩個(gè)問題.

拓廣問題3設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，k∈N*，若對(duì)任意的x∈(ek,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為____.

拓廣問題4設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，k≥1，若對(duì)任意的x∈(ek,+)，關(guān)于x的不等式λeλx-lnx≥0恒成立，則λ的最小值為____.

拓廣問題5設(shè)實(shí)數(shù)λ>0，k≥1，a≥e，若對(duì)任意的x∈(ak,+)，關(guān)于x的不等式λaλx-logax≥0恒成立，則λ的最小值為____.

由以上解答過程看出，條件實(shí)數(shù)λ>0，k≥1，a≥e是個(gè)整體，似乎是不能改變的.果真不能變動(dòng)嗎？如果硬要變動(dòng)，又應(yīng)該有什么結(jié)論？在鄒老師和許老師的協(xié)助下，我們又得出新的結(jié)論.

限于篇幅，證明過程略.

二、總結(jié)

一個(gè)練習(xí)題，我從無從下手，經(jīng)過學(xué)習(xí)文章，悟出訣竅，然后在老師的指點(diǎn)下，得出一般性的結(jié)論，又繼續(xù)擴(kuò)展思路，把問題進(jìn)一步改變，得出另外的結(jié)論.學(xué)習(xí)文章，請(qǐng)教老師，使我增加知識(shí)，打開思路；通過鉆研和探究，我又獲得創(chuàng)新性成果.通過這個(gè)事例，使我明白：學(xué)習(xí)是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，創(chuàng)新又促進(jìn)學(xué)習(xí)，研究是學(xué)習(xí)與創(chuàng)新的橋梁.作為學(xué)生，作為新時(shí)代青年，我熱愛學(xué)習(xí)，追求創(chuàng)新，對(duì)于學(xué)習(xí)和創(chuàng)新我永遠(yuǎn)在路上.