由畢達哥拉斯定理證明想到的

李淵科 指導教師：班春虹

(天津經濟技術開發區第一中學 300000)

畢達哥拉斯定理一般指勾股定理，是一個基本的幾何定理.雖然我們在初中就對它有一定的了解，但很多同學對它的認知只限于a2+b2=c2，但畢達哥拉斯定理所涉及的遠遠不止這些.在中國，周朝時期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例；在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，對于這個發展悠久的定理，作為中學生的我們有許多的知識要從中汲取.

一、畢達哥拉斯定理的內容

在平面內的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等于斜邊長的平方.如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是a和b，斜邊長度是c，那么可以用數學語言表達：

a2+b2=c2.

二、畢達哥拉斯定理的證明

畢達哥拉斯定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一.下面介紹其中2種方法：

1.趙爽弦圖

《九章算術》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實.開方除之，即玄.案玄圖有可以勾股相乘為朱實二，倍之為朱實四…其倍玄為廣袤合.令勾股見者自乘為其實.四實以減之，開其余，所得為差.以差減合半其余為廣.減廣于玄即所求也.”

2.歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明.

設△ABC為一直角三角形，其中A為直角.從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊.延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個正方形相等.

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等.(SAS)

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半.

任意一個正方形的面積等于其二邊長的乘積.

任意一個矩形的面積等于其二鄰邊長的乘積.

證明的思路為：從A點劃一直線至對邊，使其垂直于對邊.延長此線把對邊上的正方形一分為二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關系，轉換成下方兩個同等面積的長方形.

三、數形結合思想

在以上畢達哥拉斯定理的證明中，都用到同一個思想：數形結合思想.作為一種數學思想方法，數形結合的應用大致又可分為兩種情形：或者借助于數的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系，即數形結合包括兩個方面：第一種情形是“以數解形”，而第二種情形是“以形助數”.對于剛上高一的我來說，數形結合思想在新知識中有許多應用.

1.集合問題

(1)與數軸結合

例1己知A={x|a≤x≤a+3},B={x|x2-4x-5>0}.

(1)若A∩B=?,求a的取值范圍;

(2)若A∪B=B,求a的取值范圍.

分析在數軸上標出集合A、B所含元素的范圍,利用A、B的位置關系確定參數a的取值范圍.

(2)由A∪B=B知A?B,利用數軸得到滿足A∪B=B的不等式a+3<-1,或a>5,所以實數a的取值范圍是{a|a<-4，或a>5}.

(2)與Venn圖結合例：

這個Venn圖表示全集U，陰影部分表示A與B的交集關于U的補集.

2.方程與不等式

例2x2-4x+3=0為一個一元二次方程，相應函數y=x2-4x+3的圖象與x軸的交點坐標為方程x2-4x+3=0的根.

x2-4x+3>0為一個一元二次不等式，從函數圖象上可看出，不等式的解集為{x|x<1或x>3}.

x2-4x+3<0為一個一元二次不等式，從函數圖象上可看出，不等式的解集為{x|1

畢達哥拉斯定理的證明是論證幾何的發端；是歷史上第一個把數與形聯系起來的定理．這條定理在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為“幾何學的基石”.本文對畢達哥拉斯定理以及其中用到的數形結合思想在高一數學中的應用進行了淺要的研究，由于專業性較強，一些工作并未做到完美，研究比較粗糙，這是作者今后努力的方向.