康普頓成像系統角分辨影響因素的理論及模擬研究

王 薇，李傳龍，吳建華，李興隆

(中國原子能科學研究院 輻射安全研究所，北京 102413)

康普頓成像系統從提出距今已有40余年[1]，相比于傳統的機械準直單孔成像系統，具有諸多優點[2]：首先，康普頓成像系統無需準直器，增加了系統的靈敏度和視野范圍，可設計為多層以提高探測效率，從而使其測量時間短、系統質量輕、環境適應性強；其次，由于大部分材料在幾百keV～幾MeV能區內的康普頓散射截面較大，因此康普頓成像系統更適用于對能量為幾百keV～幾MeV的γ射線成像；再次，康普頓成像系統的成像分辨率取決于探測器的能量和位置分辨本領，成像效率取決于探測器的尺寸、材料和幾何，成像分辨率與成像效率無相互制約關系，可同時得到改善。另外，其可在一定成像范圍內對未知源實現三維成像[3-4]，即能精準確定放射源所在位置的空間角度和縱深距離，這種對源的全方位識別能力在各種核材料檢測、核設施退役場所強輻射場的熱點定位及放射醫學[5]中顯得尤為重要。

隨著放射醫學手段的普及、核設施退役工作的展開及對核與輻射源事故處理技術要求的不斷提高，具有上述諸多優點的康普頓成像系統成為近年來國內外的研究熱點[6]。其中以文獻[7-10]研制的康普頓成像系統最為突出，2001年開發了由兩塊1 cm3位置靈敏CZT晶體分別作為散射和吸收探測器的康普頓成像系統，該系統的成像角分辨率約為3°(511 keV)和2°(1 MeV)，成像效率約為1.5×10-4(500 keV)和8.8×10-6(3 MeV)；2004年開發了由1塊1.5 cm×1.5 cm×1 cm像素型CZT晶體同時作為散射和吸收探測器的康普頓成像系統，該系統的成像效率接近2%，成像角分辨率約為17°(662 keV)，其最大優勢在于可進行4π視角全方位成像，近年以該成像系統為原型推出了商業化康普頓相機H3D Polaris-HTM，其高配置版本Quad采用了19.4 cm3像素型CZT晶體進行4π成像，探測時間縮短至普通版的1/3，成像角分辨率約為30°(實時處理)。國內康普頓相機的研制起步較晚，其中四川大學與中國工程物理研究院對陣列式康普頓相機進行了模擬及反投影圖像重建[11-13]，但關于康普頓相機成像的理論設計研究及實際樣機研制尚未見報道。本文模擬構建由位置靈敏CZT晶體組成的雙層康普頓成像系統，對引起成像系統散射角誤差進而影響其角分辨能力的因素開展理論研究，推算不同能量光子入射時由不同角分辨影響因素引起的散射角誤差范圍，提出成像系統的優化設計建議。

1 康普頓成像原理

康普頓成像系統利用康普頓散射原理來成像[14]，一般要求入射光子與探測介質先發生康普頓散射，將部分沉積能量傳遞給介質中的電子，并測量記錄反沖電子的動能T′e和相互作用位置x1；產生的散射光子繼續與探測介質發生光電吸收，沉積全部能量，此時測量記錄散射光子的能量E′和相互作用位置x2。對滿足上述條件的入射光子能量E0可表示為：

E0=T′e+E′

(1)

考慮到實際中高能γ射線入射時產生的散射光子可能會繼續發生康普頓散射只沉積部分能量，此時測量到的沉積能量不等于散射光子的能量，這樣的事件在圖像重建時會增加本底噪聲。為減少此噪聲影響，測量時僅收集散射光子能量全沉積事件，此時經典康普頓散射角θ可表示為：

(2)

其中，mec2為電子的靜止能量(511 keV)。

式(2)可確定放射源位于以x1位置為頂點、x1x2連線為中軸、頂角為θ的圓錐面上，大量符合康普頓散射條件的事件可得到很多圓錐，理論上這些圓錐的交點就是放射源所在位置。圖1為康普頓成像原理示意圖。

圖1 康普頓成像原理示意圖Fig.1 Schematic of Compton imaging principle

2 康普頓成像系統的散射角誤差

康普頓成像系統角分辨本領的影響因素主要來自探測材料本身及測量系統對康普頓散射角測量時引起的角誤差，其中探測材料引起的散射角誤差主要源于探測材料的多普勒效應，記為ΔθD；而測量系統引起的散射角誤差則主要取決于系統的能量分辨本領和位置分辨本領，分別記為Δθr和Δθg。為研究康普頓成像系統角分辨本領的影響因素，本文分別對Δθr、ΔθD、Δθg進行研究。

2.1 能量分辨本領引起的散射角誤差Δθr

由于函數變量含有誤差會致使函數也含有誤差，該誤差可用統計學中的誤差傳播定律進行估計，對式(2)使用誤差傳播定律[7]可得：

(3)

其中，ΔE0和ΔT′e分別為由測量系統能量分辨本領造成的對入射光子全能峰能量及反沖電子動能的測量誤差。由于ΔE0僅來自于對測量系統的刻度偏差，通常比ΔT′e小得多，因此Δθr可表示[7]為：

(4)

2.2 多普勒展寬引起的散射角誤差ΔθD

圖2 康普頓散射的實際過程Fig.2 Actual process of Compton scattering

經典康普頓效應假定入射光子與探測介質原子中靜止的軌道電子發生散射產生次級散射光子，但實際上介質原子中的軌道電子并非靜止不動，而是以一定的動量運動，此時次級散射光子將產生多普勒展寬，該展寬將引起一定的康普頓散射角誤差，進而影響系統成像效果[15]。圖2為康普頓散射的實際過程，假定探測介質原子的軌道電子在某一特定的軌道上繞核子旋轉，其發生康普頓效應前后軌道電子動量分別為p(與入射方向夾角為α)和q(與入射方向夾角為φ)。

若軌道電子之間的庫侖力忽略不計，則吸引核子的庫侖力與電子的向心力相平衡，由該平衡關系可推得：

|B|=|Te|

(5)

其中：Te為發生康普頓效應前該軌道電子的動能；B為該電子所在軌道結合能。

利用上述模型，若入射光子轉移的能量足以使得電子成為自由電子(即碰撞后電子勢能為0)，則根據散射過程的動量和能量守恒及狹義相對論動力學，并結合式(5)可得到以下方程組：

(6)

E0-E′=B+T′e

(7)

q2c2=T′2e+2mec2T′e

(8)

p2c2=B2+2mec2B

(9)

求解上述方程可得，當考慮介質原子中軌道電子的結合能B，且假定其具有一定初始動量p時，康普頓散射角的一般表達式為：

(10)

式(10)中的正、負號分別對應α=0°和α=180°，即軌道電子的初始運動方向正向或背離光子入射方向。由式(10)可得出對于任一給定能量的反沖軌道電子，由多普勒效應引起的平均散射角誤差ΔθD為：

(11)

其中，θα=180°和θα=0°分別對應介質原子中軌道電子的初始運動方向背離和正向光子入射方向時的康普頓散射角。

2.3 位置分辨本領引起的散射角誤差Δθg

受探測器位置分辨本領所限，對入射光子與探測介質原子發生相互作用位置的測量會造成散射角誤差Δθg。圖3為康普頓成像探測系統位置分辨本領造成角誤差的示意圖，其中假設探測介質網格體積等效于質心位于相互作用位置，半徑等于測量誤差δx的球形區域，d為入射光子在探測介質中發生兩次相互作用位置之間的距離，Δθg計算公式為：

(12)

圖3 康普頓成像探測系統位置分辨本領造成角誤差Δθg示意圖Fig.3 Δθg caused by position resolution ability of Compton imaging system

由式(12)可看出，Δθg與δx呈正比，與d呈反比，因此較小的相互作用距離會造成較大的Δθg，此時將惡化系統角分辨本領。需注意的是，成像效率也與d呈反比，較大的d雖降低了Δθg，改善了系統的角分辨本領，但同時也降低了系統的成像效率，因此成像系統設計時應根據具體情況權衡比較后確定。

3 散射角誤差估算

3.1 Δθr的估算

本文建立了康普頓成像系統模型，該模型由兩層25.4 mm×25.4 mm×5 mm的CZT晶體組成，層間距設置為4 cm，該晶體的能量分辨率為3%(662 keV)和5.5%(122 keV)。使用該模型計算了不同能量(122 keV、662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子入射后Δθr隨其散射角的變化情況(圖4)。由圖4可看出：Δθr隨入射光子能量的升高而降低，由此驗證了使用CZT晶體作為探測材料的康普頓成像系統不適合低能光子成像；對給定能量的入射光子，Δθr與散射角之間呈先降低后升高的趨勢，過大或過小的散射角造成的Δθr較大，此時將惡化系統的成像角分辨率，因此對中高能光子進行康普頓成像時，過大或過小的散射角應受到限制。為避免過大的散射角誤差(>5°)，表1列出了本工作對662 keV、1.33 MeV和2 MeV入射光子的建議散射角范圍及該范圍內的Δθr。

圖4 不同能量入射光子的Δθr隨散射角的變化Fig.4 Δθr vs scattering angle with different energy incident photons

表1 不同能量光子入射時散射角取值范圍及其對應的ΔθrTable 1 Δθr corresponding to scattering angle range of photons with different energy

本工作研究的是晶體的本征能量分辨率引起的角誤差影響，未考慮后續電路的影響，合理的電子學線路設計可能會改善分辨率，則上述角誤差可能會相應減小，但改善幅度有限。

3.2 ΔθD的估算

本文分別計算了不同能量(662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子入射CZT晶體時多普勒效應引起的散射角誤差ΔθD。由于與入射光子發生碰撞的電子所在軌道未知，ΔθD不能唯一確定。為了表征實際誤差，分別按照Cd、Zn和Te原子中殼層、支殼層軌道電子數占核外總電子數的比例進行加權求和來獲得不同能量光子分別入射Cd、Zn和Te原子的平均散射角誤差。表2列出了Cd、Zn和Te原子不同殼層、支殼層的軌道電子數和結合能。此外，為了得到CZT晶體(Cd0.9Zn0.1Te)的平均散射角誤差，本工作按照該晶體中Cd、Zn和Te原子的康普頓散射宏觀截面的比例進行了加權求和。圖5為不同能量光子入射CZT晶體后平均散射角與反沖電子能量之間的關系。可看出，當不同能量光子入射CZT晶體時，康普頓平均散射角與反沖電子動能均呈正比。當662 keV、1.33 MeV和2 MeV光子分別入射CZT晶體時，不同散射角范圍對應的ΔθD列于表3。

表2 Cd、Zn和Te原子殼層、支殼層的軌道電子數和結合能Table 2 Orbital electron number and binding energy for atomic shell and subshell of Cd, Zn and Te

圖5 不同能量光子入射CZT晶體后平均散射角與反沖電子能量之間的關系Fig.5 Relationship between average scattering angle and recoil electron energy after different energy photons incidence on CZT crystal

表3 不同能量光子入射時不同散射角范圍對應的ΔθDTable 3 ΔθD corresponding to scattering angle range for different energy photons

3.3 Δθg的估算

本工作擬采用16×16路像素型CZT晶體實現成像功能，該晶體的位置分辨本領約為1.39 mm，系統信號處理時認為在每個晶體像素格內發生的相互作用位置均位于該晶格的中心。表4列出不同層間距情況下康普頓成像系統的Δθg。由表4可知，Δθg隨兩層CZT晶體層間距的增加而減小，為滿足系統成像角分辨要求應使層間距大于3 cm為佳。

表4 不同層間距情況下康普頓成像系統的ΔθgTable 4 Δθg of Compton imaging system at different layer intervals

圖6 系統成像效率模擬結果Fig.6 Simulation result of system imaging efficiency

使用Geant4建立了康普頓成像系統模型，假設不同能量(662 keV、1.33 MeV和2 MeV)光子點源位于距第1層晶體中心5 m處入射，入射粒子數為106。使用該模型對不同CZT晶體層間距下成像系統的成像效率進行模擬計算，結果如圖6所示。可看出，系統的成像效率隨入射粒子能量的增加而降低，同時隨兩層CZT晶體層間距的增加而降低。綜合考慮成像系統的成像效率及角分辨要求，建議層間距取4 cm。當662 keV、1.33 MeV和2 MeV光子分別入射CZT晶體時，在不同散射角范圍內Δθg及其相應成像效率列于表5。

表5 不同能量光子入射時不同散射角范圍對應的Δθg及成像效率Table 5 Δθg and imaging efficiency corresponding to scattering angle range for different energy photons

3.4 小結

根據誤差疊加原理，總的康普頓散射角誤差Δθall為：

(13)

針對所建立的康普頓成像系統，不同能量光子入射時的Δθr、ΔθD、Δθg及Δθall列于表6。

表6 不同能量光子入射時的Δθr、ΔθD、Δθg及ΔθallTable 6 Δθr, ΔθD, Δθg and Δθall for different energy photons

由表6可見，當能量為662 keV、1.33 MeV和2 MeV的光子入射時，Δθall分別為5.54°、4.82°和4.52°，且隨入射粒子能量的升高而降低，其中對Δθall的主要貢獻來自探測系統位置分辨本領和能量分辨本領，探測材料多普勒效應引起的角誤差貢獻相對較小。

4 結論

本文模擬構建了一個由位置靈敏CZT晶體組成的雙層康普頓成像系統，并利用理論與模擬計算相結合的方法，對引起該成像系統散射角誤差進而影響其角分辨能力的若干因素開展了理論研究，推算了不同能量光子入射時由不同角分辨影響因素引起的散射角誤差范圍，進而提出了對該成像系統結構的優化設計。結果表明：康普頓成像系統探測器的能量及位置分辨本領是影響該成像系統最終角分辨率的主要因素；成像數據處理時可采用適當限制康普頓散射角范圍、選擇有效成像事件的方法來改善成像系統角分辨能力，降低散射角誤差，優化系統最終成像效果和成像效率。同時本文提供了一套對康普頓成像系統散射角誤差的合理估算方法，估算得到的結果作為后續圖像處理算法的必要參數，為最終系統實現成像及實驗裝置結構的確定奠定了基礎。