復連續小波變換實現地震波在任意時-頻域隨機相位的方法

謝皓宇　本田利器　鄭萬山

摘要：動力分析過程中輸入地震波的選擇非常重要，通過擾動自然波生成人工地震波是豐富設計地震波池的方法之一。提出使用復連續小波變換來修改、擾動自然波的方法來擬合人工地震波，以2000年日本鳥取MW6.7地震為研究對象，對比Shannon小波基和Gabor小波基在生成人工波過程中的特點。結果表明：使用改進方法可以在任意指定的時-頻域上修改地震波的相位譜從而產生人工波，且Shannon小波對地震波能量的保留優于Gabor小波，故?Shannon小波基是更好的選擇。

關鍵詞：抗震設計;人工地震波;小波變換;地震動輸入

中圖分類號：P315.91?文獻標志碼：A?文章編號：1000-0666（2019）04-0510-06

0?引言

隨著基于性能的抗震設計（Deierlein?et?al，2003;呂大剛等，2006）理念的出現和發展，時程動力分析成為了現代抗震設計中的一個重要方法。近年來，越來越多的普通學者和設計人員也能夠利用具備足夠能力的計算機進行復雜的數值分析，而在抗震設計領域時程動力分析的過程中，設計輸入地震波的選擇尤為重要。

傳統上設計輸入地震波的選擇方法通常包括：通過設計反應譜擬合出人工地震波（胡聿賢，何訓，1986;張郁山，趙鳳新，2014）;通過斷層物理模型模擬人工地震波（Koller?et?al，1996;Kamae，Irikura，1998;Hata?et?al，2011）;直接使用歷史記錄的自然地震波，通過修改擾動自然地震波生成人工地震波。3種方法各有優缺點，通過設計反應譜擬合人工地震波方法使用反應譜與功率譜密度之間的近似數學關系，將得到的功率譜密度轉化成傅里葉幅值譜之后進行多次迭代，最終得到人工地震波，這個方法快速、經濟，但反應譜和功率譜密度之間的數學關系還無法準確地模擬，使得反應譜擬合精度有限，另外靠此法生成的人工波在波形和頻譜上仍和自然波存在較大差異。通過斷層物理模型模擬人工波，比如經典格林方程的方法，它的缺點是于對長周期部分模擬精度較低。直接使用目標場地附近歷史記錄的自然波作為設計輸入需要面對自然波記錄的數量有限的問題。通過信號處理的手段隨機修改擾動自然地震波生成人工地震波的方法能保留自然波的大部分特性，同時豐富了設計地震波池，綜合來說是更先進的方法。

除上述3種方法外，還有一種隨機方法（Boore，2003），通過傅里葉變換將自然波信號分解成傅里葉系數，即幅值譜與相位譜，在保留幅值譜的情況下擾動相位譜之后逆變換形成人工新波。

該方法利用基底的時移不變性以及正交性，使得產生的新波在總能量上不會有太大波動，同時逆變換的新波具有唯一性。但隨機方法仍有2個問題，首先eift作為基底使得擾動在會在時域的-∞到+∞分布，因此擾動無法人為任意地落在特定局部的時域上，其次人工波在時域上的能量分布也會較原始波發生明顯的變化，原始波時域上能量集中的部分將會在人工波中分散。

小波變換作為與傅里葉變換類似的信號處理方法，和傅里葉變換不同的是可以同時解析出信號在時域和頻域的成分。基于這個特點，本文采用小波變換作為擾動自然波生成人工波的工具，提出一種新的計算方法，實現連續小波對地震波信號處理的逆變換。

1?復小波變換的相位譜

傳統的利用傅里葉變換擾動自然波的隨機方法過程如下所示。

分解原始波并體換相位譜：

通過傅里葉逆變換重構地震波：

式中：Δt為原始信號的采樣間隔;Δf為頻譜的采樣間隔;σ（fk）則是人為修改傅里葉相位譜的擾動譜?？梢钥吹?，隨機方法中使用eift作為基底對于擾動時空控制僅處在頻域而不在時域。

小波變換利用脈沖母小波ψ（s，τ）對信號波的卷積，將信號分解為時移成分（τ）和尺度成分（s），分別描述了信號波在時域和頻域的分布情況。針對使用小波變換來隨機修改自然波，需要解決小波變換沒有明晰的相位譜的問題。

Honda等最早提出使用復離散解析小波變換來分析信號波（Honda，Ahmed，2011;Honda，Khatri，2012），解析小波母波本身具有正交性可以使正變換和逆變換保持唯一性，同時解析小波的母波在頻域范圍內只有正頻率的部分，因此可以使原始波與新波在實數范圍保持能量不變;而使用復小波生成的小波系數為復數，將復數角定義為相位，類似隨機方法。

與式（1）對應，使用復離散解析小波分解原始信號：

并修改相位譜：

與式（2）對應，離散小波逆變換重構成為新的信號（人工波）：

式中：W（j，k）為小波系數;ψ（j，k）為母小波;j，k分別代表尺度和時移;過程中小波系數的復數角θ（j，k）與隨機方法中的相位角θ（fk）數學形式相似，可以抽象地描述為小波變換后的相位譜。

模擬結果顯示，新生成的人工波和原始波之間頻域、時域的能量分布在一定分辨率下得到保持，同時總能量基本穩定。但存在使用離散小波仍無法任意指定時-頻域的問題，因為離散小波系數的分布是固定的，尺度上分辨率高的部分自然在時移上的分辨率就低。這個問題只能使用連續小波變換來解決。

2?連續小波變換逆變換的方法

和離散小波變換不同，連續小波變換可以在任意的時-頻域位置對信號小波系數的相位進行修改。但使用連續小波變換需要解決在有限的計算機運算性能約束下實現小波變換逆變換的問題。按照使用離散小波變換擾動自然波的思路，可以簡單地將過程中離散求和的部分替換成積分，但這種方法對計算機的積分精度要求過高，普通工程師和設計人員使用的計算機通常難以實現高精度的連續小波的逆變換，而只有高精度的連續小波逆變換才能準確實現人工波的重構。同時，傳統的小波變換逆變換要求小波基的正交性，這使得一些性質良好，適合用于擾動自然地震波的小波基無法在研究中得到使用。

于是本文提出改進方法，在不用進行全時-頻域積分的條件下利用連續小波實現原始信號在時-頻域的擾動修改，過程如下文所示。

首先，使用連續小波變換將離散信號分解到目標的時-頻域內：

式中：s，τ分別代表尺度和時移。將原始離散波減去計算出的小波系數，再對小波系數添加擾動相位θ（s，τ）后加上去，并乘以經驗系數c控制時-頻域的精度：

為了進一步提升本方法的隨機程度，尤其是對能量擾動的隨機程度，并考慮到復數角的性質，再增加一個擾動相位，此時2個隨機擾動相位分別為θ1（s，τ）和θ2（s，τ）：

本文分別采用以Shannon小波（Cattani，2008）和Gabor小波（Lee，1996）為母波的復連續小波變換作為研究工具。Shannon小波的定義為：

式中：FB代表小波帶寬;FC代表小波的中心頻率。使用復Shannon小波的原因是復Shannon小波為解析波，即對實數小波逆變換可以是新波與原始波之間的能量保持一致。同時Shannon小波母波具有正交性，滿足逆變換的唯一性。Gabor小波的定義為：

式中：x0代表脈沖中心;a代表指數衰減速率;k0代表控制調幅率。Gabor小波不具備正交性，按照連續小波變換定義中的逆變換本無法對人工波進行重構，但根據本文提出的新的逆變換方法，參考式（10），則可以使用Gabor小波來重構人工波。Gabor小波最大的特點是將時-頻域中標準差的內積壓縮到了最小，也就是可以將小波變換的分辨率提高，將時-頻信息的不確定性壓縮到最小。

3?數值模擬

本文將2000年日本鳥取MW6.7地震作為研究對象，震中位于日本鳥取縣米子市和松江市之間。鳥取地震是一次典型的發生在城市的強震。

本文使用的地震波數據由日本防災科學技術研究所強震觀測網提供，觀測站點號為KYT001，使用FW向成分數據，持時119?s，采樣頻率100?Hz。經過0.1～10?Hz范圍之外的降噪處理以及增幅處理后，波形和對應的傅里葉幅值譜見圖1。

由圖2可見，Shannon小波與Gabor小波的幅值譜在時域（時移）上與傅里葉譜基本一致，而在頻域（尺度）上也有高度類似的形狀，區別的原因在于母波的基頻不同，因此在頻域上2個幅值譜呈倍數關系。根據小波幅值譜的峰值分布特點，本文使用Shannon小波對地震波進行擾動時選擇時移為15～45?s，選擇尺度為0～3;使用Gabor小波對地震波進行擾動時選擇時移為15～45?s，選擇尺度為0～0.5?？紤]計算機性能的限制，將在設定的區域內取10?000個隨機點作為擾動點，再根據式（10）取10?000對隨機相位θ1及θ2作為擾動相位，各進行20次擾動模擬。

Shannon小波擾動鳥取地震的模擬結果顯示，擾動如預期集中在了設定的時域范圍內，在地震波的總能量控制上，20次模擬中有10次能量增加以及10次能量減少，變化范圍在2%以內。抽取其中一次模擬結果，擾動見圖3a。

Gabor小波擾動鳥取地震的模擬結果顯示，擾動集中在設定的時域范圍內，效果比Shannon波更好。但在地震波的總能量控制上，和Shannon波模擬中取相等的經驗系數c時，20次模擬中能量幾乎都是增加。抽取其中一次模擬結果，擾動見圖3b。

由于Gabor小波基有復數小波基中最小的標準差內積，因此它生成的擾動在非目標時域內的噪音比Shannon小波更小。但Gabor小波基不具備正交性以及對地震波實數部分能量的保留，因此無法做到Shannon小波生成新波對總能量的約束。需要注意的是，本次模擬的經驗系數c都取的0.05，在Gabor擾動模擬中調整經驗系數的取值獲得的能量更接近原始設計波的結果，而本文統一經驗系數的取值主要是為了方便對比Shannon小波擾動和Gabor小波擾動的差異。Shannon小波和Gabor小波擾動20次模擬得到的人工地震波能量分布如圖4所示?？梢钥吹絊hannon小波比Gabor小波相比更能約束人工波的能量變化。從這個角度來說Shannon小波與本文所提出的新方法之間適性更高。

Shannon小波和Gabor小波擾動產生的人工波各自對應的反應譜與原始自然波反應譜對比見圖5所示。可以看到通過復連續小波變換的擾動，人工波與原始波的反應譜譜形在特定的頻域范圍內變化較大，這和本文通過生成人工波，提高設計地震波池多樣性的目標是一致的。

通過鳥取地震的模擬算例可以看到，對于隨機方法中不可避免的全時域擾動的問題，以及離散小波變換無法任意制定擾動時-頻域的問題，本文方法都體現出了獨特的優越性，擾動在0～15?s及45?s之后的幅值幾乎為0，而且擾動所存在的時-頻域也是連續的。

4?結論

針對使用信號處理方法擾動自然地震波生成新的人工地震波的問題，本文提出了一個新的計算方法，使復連續小波可以在任意指定的時-頻域上修改地震波的相位譜從而產生人工波，這是傳統方法所不具備的特性。在這個過程中目標域外的地震波在時-頻域的幅值信息得到了保留，同時人工波的性質包括反應譜等較原始波都有了較大的改變。

本文還對比了擾動過程中使用Shannon小波和Gabor小波的優劣，其中Shannon小波對地震波能量的保留優于Gabor小波，Gabor小波則對非目標時-頻域的噪音更小，出于研究人員及工程師對人工波在地震動能級上保持一致的需求，Shannon小波基是更好的選擇。

在經驗系數c的取值能顯著影響本文方法的效果，如何選取一個更合理的經驗系數還有待進一步研究。

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Phase?Randomization?of?Ground?Motions?with?Arbitrary?Time-frequencyRange?Using?Complex?Continuous?Wavelets

XIE?Haoyu1，HONDA?Riki2，ZHENG?Wanshan1

（1.CMCT?Research?&?Design?Institute?Co.，LTD，Chongqing?400060，China）（2.Graduate?School?of?Frontier?Science，The?University?of?Tokyo，Kashiwa?277-8561，Chiba，Japan）

Abstract

For?dynamic?analysis，selection?of?input?ground?motions?is?of?huge?importance.The?diversity?of?the?set?of?input?ground?motions?could?be?enhanced?by?simulating?the?artificial?ground?motions?from?natural?earthquakes.A?methodology?utilizing?complex?continuous?wavelets?to?simulate?artificial?ground?motions?areput?forward，taking?the?2000?Tottori?earthquake（MW6.7）as?aresearch?target，and?the?characteristics?of?the?Shannon?wavelet?and?the?Gabor?wavelet?are?compared?in?the?article.The?result?shows?that?the?new?methodology?could?have?time-frequency?domain?arbitrarily?oriented，and?the?Shannon?wavelet?is?the?optimal?choice?as?it?could?maintain?the?power?better?than?the?Gabor?wavelet.

Keywords：seismic?design;artificial?ground?motion;wavelet?transform;input?ground?motion