非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性分析

張敏華

（陽光學(xué)院基礎(chǔ)教研部 福建福州 350015）

在客觀世界里普遍且大量存在時(shí)滯反應(yīng)現(xiàn)象與非局部空間作用，這可以構(gòu)建非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程來進(jìn)行描述。非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程結(jié)合了時(shí)間與空間上的非局部現(xiàn)象，被廣泛應(yīng)用于生態(tài)學(xué)、傳染病學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域，也成為了高等數(shù)學(xué)應(yīng)用研究的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，相較于非局部反應(yīng)擴(kuò)散方程更為復(fù)雜[1]。形如u（x,t）=u（x+ct）的行波解是非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程一類重要的穩(wěn)態(tài)解，行波解能揭示非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程重要性質(zhì)，且由于其具有空間平移不變性的特征能有效表現(xiàn)與描述自然界內(nèi)的振動(dòng)與有限速度傳播現(xiàn)象，如可以表現(xiàn)生物物種的入侵過程以及傳染疾病源的傳播規(guī)律等，可見非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解具有很強(qiáng)的應(yīng)用實(shí)踐價(jià)值。目前伴隨著非局部時(shí)滯反應(yīng)方程應(yīng)用強(qiáng)度進(jìn)一步深入，為了解非局部時(shí)滯反應(yīng)方程的重要性質(zhì)以及解決實(shí)際應(yīng)用問題，非局部時(shí)滯反應(yīng)方程的行波解展開研究是非常必要的。對(duì)此，在反應(yīng)擴(kuò)散方程理論的基礎(chǔ)上，著重分析了具有時(shí)滯的反應(yīng)擴(kuò)散的SIR 模型以及非擬單調(diào)時(shí)滯非局部擴(kuò)散系統(tǒng)的行波解存在性。

一、文獻(xiàn)綜述

自然界中擴(kuò)散中普遍存在時(shí)間滯后和空間非局部作用，為進(jìn)一步解決與描述這一現(xiàn)象，在上個(gè)世紀(jì)70年代起研究者將時(shí)滯與局部擴(kuò)散相結(jié)合，如Levin將擴(kuò)散反應(yīng)引入到單種群模型中得到了具有時(shí)滯擴(kuò)散Logistic 模型[2]。但是隨著研究的深入發(fā)現(xiàn)提出的局部有限時(shí)滯模型具有明顯的局限性，模型中時(shí)滯與空間擴(kuò)散是彼此獨(dú)立的。但是在實(shí)際現(xiàn)象中，在過去的時(shí)間里個(gè)體的空間內(nèi)位置并不是一成不變的，而是隨著時(shí)間變化個(gè)體在空間內(nèi)是不斷發(fā)生變化。針對(duì)這一問題Britton（1989）進(jìn)行了全方位的考慮，利用空間加權(quán)平均的思想提出如下單物種種群模型，其中g(shù)是指定函數(shù)，卷積項(xiàng)（g*u）等于

后來研究學(xué)者將這類具有結(jié)合了時(shí)空加權(quán)平均時(shí)滯項(xiàng)的反應(yīng)擴(kuò)散方程統(tǒng)稱為非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程。隨后Smith和Thime（1991）通過采用對(duì)具有年齡結(jié)構(gòu)的種群模型沿著種群特征積分的方法推導(dǎo)了一個(gè)具有成熟結(jié)構(gòu)的種群模型。隨后這種方法被So（2001）、Weng（2003）等人有效推廣至連續(xù)空間以及具有無限多個(gè)離散的斑塊環(huán)境下非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程。此后，非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程被應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域，研究也愈發(fā)深入，包括Al-Omari與Gourley.S（2003）構(gòu)建的Loth-Volterra型兩物種競(jìng)爭(zhēng)模型，Lian（2003）建立的具有全局交互效應(yīng)時(shí)滯反應(yīng)對(duì)流擴(kuò)散模型[3-4]。

在非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解研究上，Xiao與Ruan（2004）通過線性鏈技術(shù)與幾何擾動(dòng)理論對(duì)滿足的一類傳染病模型在且b大于a的條件下模型行波解存在性進(jìn)行研究，研究結(jié)果顯示波速不小于時(shí)存在連接模型兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解5]；J.Zhang（2007）同樣采用以上技術(shù)與理論方法對(duì)方程行波解的存在性進(jìn)行了研究[6]。Xu和Zhao（2005）采用相平面以及譜理論等技術(shù)方法對(duì)一類傳染病模型的雙穩(wěn)波前解的存在性與全局漸近穩(wěn)定性等進(jìn)行了研究。

對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究具有很強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，近年來已成為研究的熱點(diǎn)問題。國內(nèi)眾多學(xué)者對(duì)這類方程的行波解也持以了很高的關(guān)注度，對(duì)行波解的存在性、穩(wěn)定性以及漸進(jìn)性等展開了豐富的研究。馬萬彪等人（2013）通過采用慣性流行理論對(duì)具有小離散時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解的存在性進(jìn)行了證明，結(jié)果顯示該方法能有效避免反應(yīng)項(xiàng)的假設(shè)設(shè)定問題[7]；張衛(wèi)國等人（2016）對(duì)一類具有時(shí)滯Lotka-Volterra系統(tǒng)的行波解存在性通過簡(jiǎn)化的方式尋找競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)模型的上下解[8]；鄒霞（2018）則針對(duì)一類具有時(shí)空時(shí)滯的傳染病SIR模型，通過Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理以及求極限等方法來判斷行波解的存在性[9]；李成林（2017）對(duì)具有Neumann邊界條件擴(kuò)散反應(yīng)的三種物種時(shí)滯系統(tǒng)采用特征值法對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，并通過尋找上下解的方式證明在波速c足夠大時(shí)存在連接零、正兩個(gè)平衡點(diǎn)的行波解[10]。

對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解研究是當(dāng)前的重點(diǎn)與難點(diǎn)，取得了一定的研究進(jìn)展。但是縱觀目前的研究結(jié)果來看，國內(nèi)對(duì)于非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的研究還處于起步階段，對(duì)此針對(duì)這一現(xiàn)狀有必要對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程行波解的存在性展開更深入的探討來豐富行波解的理論研究與增強(qiáng)應(yīng)用能力，具有重要的理論與實(shí)踐研究?jī)r(jià)值。

二、非局部擴(kuò)散時(shí)滯反應(yīng)SIR模型行波解的存在性

傳染病直接影響了人類的身體健康，傳染病在傳播過程中不僅存在時(shí)間滯后，也與攜帶者、易感染著等人口的空間位置是緊密相關(guān)的，具有典型的時(shí)間——空間關(guān)系，對(duì)此探討一類具有非局部擴(kuò)散時(shí)滯反應(yīng)的SIR模型，模型如下所示：

該SIR模型還滿足以下條件：

（H1）當(dāng)S≥0時(shí)，f’(S)為有界正函數(shù)；

對(duì)上述模型（2）行波解的存在性進(jìn)行證明，即需尋找行波方程（3）的存在性，也就是尋找方程（3）滿足邊界條件的解，其中為大于0的常數(shù)，代表了感染前易感人群的密度。

因此通過簡(jiǎn)單的計(jì)算可得出以下引理。

引理1設(shè)定大于0，則有大于0的C*與λ*使得

引理2存在任意大于0的常數(shù)C，對(duì)任意大于的X 都有和

根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理可知（SX，IX）為算子的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)于任意屬于（-X，X）范圍內(nèi)下的ξ，不動(dòng)點(diǎn)（SX，IX）滿足下列關(guān)系式：

對(duì)式（6）進(jìn)行（-X，X）區(qū)域內(nèi)的積分可得

對(duì)此可以得到下式（10）：

同樣對(duì)式（7）進(jìn)行（-X，X）積分，得到如（11）式

聯(lián)合式（10）至（12）式可得

根據(jù)前面的條件（H3）可以了解到式（13）是右側(cè)是有界的，故而存在一個(gè)大于0的常數(shù)C使得

因此存在兩個(gè)正常數(shù)L1與L2，對(duì)于屬于[-X,X]范圍內(nèi)的ξ和η有

根據(jù)式（6）可得到

又因核函數(shù)J 是Lipschitz 連續(xù)，因此存在大于0 的Lipschitz 常數(shù) LJ，使得，其中 suppyJ=[-N,N]，N 為大于0的常數(shù)，故經(jīng)過計(jì)算與變換有

并根據(jù)式（16）可以得到如下式（19）

同理對(duì)式（7）作同樣處理最終可得到式（20）和（21），如下所示：

聯(lián)立式（7）、（14）和（21）可以得到

（二）行波解的存在性分析。本次證明中假設(shè)C>C*，且R0>1對(duì)此進(jìn)行SIR模型的行波解的存在性分析，提出以下定理。

定理設(shè)定大于1，那么對(duì)于任意大于C*的C，SIR模型存在行波解滿 足并且有

證明過程如下所示：

將和帶入到式（3）第一個(gè)方程可得

在憑借文獻(xiàn)[12]的計(jì)算方法可知，當(dāng)y屬于suppyJ時(shí)，則有下式（23）

進(jìn)一步簡(jiǎn)化可得到式（24）

三、結(jié)論

當(dāng)前對(duì)非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散方程的行波解性質(zhì)研究成為了高等應(yīng)用數(shù)學(xué)的熱門研究話題。本文基于一類具有非局部擴(kuò)散的時(shí)滯傳染病SIR模型，通過Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理、Fubini's定理以及極值法等方法對(duì)該模型行波解的存在性進(jìn)行了分析與證明。通過研究發(fā)現(xiàn)本次研究模型存在滿足邊界條件的形態(tài)如的穩(wěn)態(tài)解，證明結(jié)果顯示能方法能有效解決該類SIR模型行波解的存在性問題。