利用向量方法求空間角問題

陳菊芳

摘 要：向量一般用于高中數學中，利用向量導入法可以更好地進行高中數學幾何運算。對向量基本概念做了簡析，并通過舉例來證明在高中幾何中，使用向量法來開啟各種解題思路，最終造成高中數學空間角度的詳解。

關鍵詞：向量;輔助線;異面

在高中數學中，幾何知識屬于重點與難點內容，而幾何知識中空間角度的求解更是讓學生感到望而卻步。學生在腦海中沒有形成一個立體的幾何概念，對于幾何圖形的面與角的求解會感覺到非常困難，沒辦法用正確的方法打開解題思路，使得一部分學生對于空間幾何的求解無從下手。

一、向量在數學中的概念

向量遵循的是平行四邊形法則，并且含方向和大小，一般在空間幾何中被廣泛應用。

二、利用向量方法求空間角問題

1.平面與平面的夾角

■

圖1 ?圖2

用向量法求二面角的大小原理，設■、■分別為平面α、β的法向量。二面角大α-l-β小為θ，向量■、■的夾角為φ，那么θ+φ=π（如：下圖1）或者θ=φ（如：下圖2）

那么結論為：構成二面角兩個平面的法向量，其夾角和夾腳的補角，等于這個二面角的平面角。

因此，在圖一中可以看出，■的方向相對于平面α而言，向內，■的方向相對于平面α而言，也向內;在圖一中可以看出■的方向相對于平面α而言，向內，■的方向相對于平面α而言，是向外的。

2.直線與平面的夾角

例題：設θ1是直線a為平面α所成的角，θ2是直線a的方向向量與平面α的法向量■之間的夾角，那么θ2=■-θ1，或者θ2=■+θ1（如右圖所示）

當θ2=0時，那么θ1=■，a⊥α;當θ2=■-θ1時，那么θ1=0，a？哿α或a∥α。那么θ1=arcsin■。如果直線a是平面α的斜線，a∩α=A，那么B∈a，B？埸α，■即為直線l的方向向量，則θ=arcsin■

3.建立空間夾角坐標求異面直線所成的角

如圖1，右圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，FD⊥底面ABCD，E是FB的中點。已知AD=2，DC=2■，FD=2。

現求：（1）△FBC的面積;（2）異面直線AB與DE所成的角的大小。

解題：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥BC，所以BC⊥△FDC，因此BC⊥FC，又∵FC=■=2■，BC=2，∴△PBC的面積=■×2×2■。

解題：（2）如右圖，在圖形上建空間直角坐標系，∴A（2，0，0），∴B（2，2■，0），∴E（1，■，1），∴■=（1，■，1），∴■=（0，2■，0）。設■與■的夾角是θ，那么cosθ=■=■=■，∴θ=■。從上可得，異面直線AB與DE所成的角為■。

異面直線求角在高中數學幾何運算中難度比較大，教師要想辦法讓學生能夠打開思維，利用好垂直輔助線來求證空間幾何的論證，通過向量能夠更好的求出空間角的大小。

參考文獻：

[1]吳天德.從一道高考題談異面直線所成角的求法[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（3）.

[2]李文東.對向量法解立體幾何問題的幾點補充[J].中學數學研究（華南師范大學版），2017（13）：26-28.

[3]王統文.例說異面直線所成角求法的優化[J].數學學習與研究，2017（13）：108-109.