小波包變換和加權分數階傅里葉變換的通信應用對比分析

劉 菁，魏雪緣，劉 釗，徐瑞陽

(1.空軍工程大學 信息與導航學院，陜西 西安710077； 2.中國人民解放軍94582部隊，河南 駐馬店463000； 3.中國人民解放軍95438部隊，四川 眉山 620010)

0 引言

ITU對5G網絡的關鍵技術指標進行了明確的定義，相對于4G網絡，在峰值速率、連接密度及頻譜效率方面都有幾倍到幾十倍的增強，同時還提出增強移動寬帶、海量機器類通信和低時延、高可靠三大業務場景[1]。與前幾代移動通信技術相比，5G不再是單純地解決網絡中的特異性問題，而強調整體的用戶體驗提升，接入網絡的時延降低，以及海量設備連接的質量指標[2]。為實現這些新要求和新性能，很多新技術在上一代的基礎上被應用于通信中，例如大規模天線技術[3]、波束成形技術[4]以及認知無線電技術[5]。在這些新技術中，認知無線電由于其優異的性能而受到廣泛關注。為實現這一技術，信號處理，尤其是信號在時頻域直接的轉化尤其重要，因此時頻域處理技術成為認知無線電技術中的一個重要方面。在諸多時頻域處理技術中，小波包變換由于其良好的抗干擾特性，被廣泛應用于各類通信系統中。王桁、呂智勇等人利用小波包變換優異的時頻域局部分析能力，通過將子帶功率比與最小功率閾值相結合，對衛星直接序列擴頻通信中的干擾進行檢測與抑制，以增強其抗干擾能力[6]。陳宜文、許斌等人根據OFDM 信號與其他單載波信號具有不同的小波包分解特性，解決了電力線通信中低信噪比下OFDM信號檢測的問題[7]。文獻[8]在小波包變換的基礎上提出了一種根據頻率選擇的基于深層小波包多閾值去除干擾信號的方法，并將這種方法應用到超寬帶系統中，來緩解超寬帶系統中的窄帶干擾。從上述文獻可以看出，小波包變換多被應用于解決通信系統中的干擾抑制問題。但是小波包變換是在小波函數的基礎上完成的，而經過一段時間的研究，各類小波函數已被大部分人所了解，因此當通信過程中存在竊聽方時，在單純采用小波包變換進行通信時發送的信號很容易被竊聽方獲取。

加權分數階傅里葉變換(Weighted Fractional Fourier Transform，WFRFT)是物理層安全領域的一項新技術，最初由Shi.C.C在1995年提出[9]，由于其具有諸多優點，因此在近幾年受到了較多關注。梅林最早將WFRFT應用于通信系統，并研究了WFRFT信號的特點及其抗截獲性能[10]，文獻[11-12]提出了WFRFT在物理層安全中的應用，并證明了其抗竊聽和抗識別性能，WFRFT還與人工噪聲技術和TDCS技術結合，從而達到惡化竊聽方接收信號的目的[13]，文獻[14]將加權類分數階傅里葉變換處理后的信號與Logistic映射產生的混沌相位擾碼結合應用于衛星通信中，提出了一種衛星混合載波混沌相位擾碼安全傳輸方案。WFRFT還能作為一種預編碼方案被應用于通信系統，能夠在抑制窄帶干擾和降低峰均比等方面優于原有系統[15-16]，文獻[17]分析了在WFRFT預編碼下廣義頻分復用(Generalized Frequency Division Multiplexing，GFDM)通信系統的誤碼性能，同時為解決參數單一的問題，多項WFRFT(M-WFRFT)[18]和多項多參WFRFT(MP-WFRFT)[19]被提出并應用到信息安全中取得了較好的效果。

從上述文獻可以看出，同樣作為時頻域信號處理技術，小波包變換和加權分數階傅里葉變換在性能上各有優劣，本文在對這2種技術進行介紹的基礎上，通過仿真分析對比2種時頻域信號處理技術的優勢與劣勢。

1 小波包變換和加權分數階傅里葉變換概述

1.1 小波包變換

小波包變換是在小波變換的基礎上提出了一種時頻域變換，主要為了解決小波變換由于沒有對同一尺度上的細節分量進一步分解，造成高頻信息不能得到較好地處理這一問題，小波包是利用長度為2N的完全重構正交濾波器組h0和h1構造的，其函數由濾波器組遞歸定義，可表示為：

(1)

(2)

式中，n為非負整數，p0(x)和p1(x)為相應的尺度函數和小波函數[20]，pn(x)稱為母函數，小波包函數具有以下特點：

① 小波包函數具有平移正交性，及對?k,j有：

〈pn(x-k),pn(x-j)〉=δkj；

(3)

② 由同一生成元尺度函數產生的小波包函數p2n(x)和p2n+1(x)，對任意的整數k和j有：

〈p2n(x-k),p2n+1(x-j)〉=0。

(4)

(5)

因此?j∈Z,j≠1有：

(6)

通過式(6)可以看出，小波包變換對空間Wj進行了更精細的劃分，從而能夠對信號的高頻分量進行分析。分析過程就是小波包分解和重構的過程，其快速算法的迭代式為：

(7)

式中，fn為待分解信號，H和G分別為分解濾波器組，j=1,2,...,J,i=1,2,...,2j-1，J為最大小波包分解級數。

信號的小波包重構即為其分解的逆過程，是由各級分解系數逐級迭代，從而恢復出原始信號，可表示為：

(8)

1.2 加權分數階傅里葉變換

加權分數階傅里葉變換是在分數階傅里葉變換的基礎上發展而來，由于相對于分數階傅里葉變換計算簡便而被逐漸應用到通信領域[22-23]，其是由一系列變換基函數加權求和得到的，基函數均由待變換信號的傅里葉變換得到，對于任意一個信號，其傅里葉變換定義為：

(9)

根據傅里葉變換的性質可得：

(10)

因此，加權分數階傅里葉變換可定義為：

Fα[f(x)]=ω0(α)f(x)+ω1(α)F(x)+
ω2(α)f(-x)+ω3(α)F(-x)，

(11)

式中，ωl(α)為加權分數階傅里葉變換的系數，其表達式為：

(12)

該系數滿足可加性，即

(13)

在此基礎上，文獻[24]通過研究將加權項數M由原來的4項擴展到了任意M≥3，即多項加權分數階傅里葉變換，其系數和定義可以表示為：

(14)

M≥3，

(15)

在多項加權分數階傅里葉變換的基礎上，可通過對加權系數進行一般化處理進一步增加幾圈變換的參數，從而強化其性能，由此可得到多項多參加權分數階傅里葉變換，其變換系數和定義分別為：

(16)

(17)

式中，V=MV,NV為參數集合，MV=m0,m1,...,mM-1，NV=n0,n1,...,nM-1均為整數向量。

通過引入離散傅里葉變換以及定義置換矩陣P，加權分數階傅里葉變換可以以離散的方式實現，從而更好地應用于數字系統中，置換矩陣P的各個元素定義為Pm,k=δmodm+k,N。根據4項加權分數階傅里葉變換中各項之間的關系，加權分數階傅里葉變換的離散實現形式為：

Fα[x]= (ω0(α)I+ω1(α)F+

ω2(α)PI+ω3(α)PF)x，

(18)

式中，x為待變換的信號向量，I為單位矩陣，F為離散傅里葉變換的矩陣，其定義為：

(19)

令

Wα=ω0(α)I+ω1(α)F+ω2(α)PI+ω3(α)PF；

(20)

則4項加權分數階傅里葉變換的離散形式可以表示為：

Fα[x]=Wαx。

(21)

由于多項加權分數階傅里葉變換和多項多參加權分數階傅里葉變換是從4項加權分數階傅里葉變換的基礎上演變而來，因此其離散形式也可以通過4項加權分數階傅里葉變換的離散形式得到，由式(14)～(17)可得，多項加權分數階傅里葉變換和多項多參加權分數階傅里葉變換可以表示為：

(22)

(23)

2 2種變換在變換域通信中的應用

小波包變換和加權分數階傅里葉變換作為一種時頻域的信號處理技術，可直接應用于通信信號的傳輸中，即將信號變換到不同的域之后進行發送，然后在接收端采用相應的方法恢復出原信號。同時，作為一種能對信號的域進行變換的信號處理方法，也可以應用于變換域通信中，變換域通信系統(Transform Domain Communication System,TDCS)是一種在認知無線電、擴頻通信和變換域處理技術基礎上發展出來的一種無線通信系統，具有良好的抗干擾和抗截獲能力[25-26]。通過感知周圍環境的頻譜，變換域通信將其中占用的和存在干擾的頻率通過幅度成形形成0和1組成的譜函數，然后將譜函數與本地生成的隨機相位混合后形成本地基函數，使用基函數對信號進行調制后傳輸，調制的方法一般有雙極性調制和循環相移鍵控調制等方式，在接收端，接收機通過同樣的過程獲得生成基函數對信號進行解調，傳統的變換域通信在感知頻譜和生成基函數時采用的是傅里葉變換，如果用小波包變換和加權分數階傅里葉變換替代傅里葉變換，則會形成基于小波包變換或加權分數階傅里葉變換的變換域通信系統，如圖1所示。

圖1 變換域通信系統

將小波包變換和加權分數階傅里葉變換引入變換域通信，讓變換域通信的可變換域有了更多的選擇，使得變換域通信能夠更加靈活，同時也增強了變換域通信的保密性。

3 2種變換在通信中的應用對比仿真分析

對小波包變換和加權分數階傅里葉變換直接應用于通信中和應用于變換域通信中的性能通過蒙特卡洛方法進行仿真分析，通信信道設置為高斯白噪聲信道，均值為0、方差為1，蒙特卡洛仿真次數設置為1 000次，小波包變換的層數設置為5層，不失一般性，加權分數階傅里葉變換的階數設為0.5，因為在這個階數下其特性表現最為明顯，為不至于太復雜，這里只對4項加權分數階傅里葉變換進行仿真。

首先對小波包變換和加權分數階傅里葉變換直接在應用于通信中的性能進行仿真，結果如圖2所示。

圖2 2種變換直接應用于通信的性能對比

從圖中可知，由于小波包變換對信號進行高階的分解，因此在面對高斯白噪聲時，應用小波包變換進行的通信能夠更好地消除噪聲的干擾，相比于加權分數階傅里葉變換，其在高斯白噪聲信道下的誤碼性能更好，但是由于在信噪比較低時，對信號的分解會導致各個分量更容易受到噪聲的影響，因此在信噪比<5 dB時，直接應用小波包變換進行通信要比應用加權分數階傅里葉變換通信的性能要差。

對小波包變換和加權分數階傅里葉變換在變換域通信中的應用進行對比分析，頻譜環境分別設置為單音干擾、多音干擾和10%窄帶干擾，仿真對比分別在調制方式為雙極性鍵控調制和循環移位鍵控調制2種調制方式下進行，仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 雙極性鍵控調制下變換域通信系統性能對比

圖4 循環移位鍵控調制下變換域通信系統性能對比

由圖3可知，基于加權分數階傅里葉變換的變換域通信在誤碼性能上要優于基于小波包變換的變換域通信，主要是由于在小波包變換在對信號進行分解的過程中，諸多分量之間存在一定的相關性，使得生成的基函數也存在一定的相關性，從而在解調的過程中誤碼性能受到影響，而從傅里葉變換發展而來的加權分數階傅里葉變換則不存在這一問題，而且由于通過基函數避開了干擾頻段，因此基于加權分數階傅里葉變換的變換域通信系統的誤碼性能要略優于理論值。同時由圖4可知，基于小波包變換的變換域通信抗多音干擾的能力要優于其他2種干擾方式，主要是由于在多音干擾環境下干擾出現在不同的位置，因此小波包變換生成的基函數相關性相比于其他2種干擾環境下要好。

最后對2種變換直接應用于通信中時的安全性能進行仿真，仿真假設存在一個竊聽方且通過一定的方式了解到通信中應用了這2種變換，繼而可知所應用的小波包函數，考慮到當前應用的小波包函數種類不多，這是符合實際情況的，但是不知道加權分數階傅里葉變換的階數，仿真結果如圖5所示。

圖5 直接應用2種變換進行通信時竊聽方的性能對比

由圖5可知，當直接應用加權分數階傅里葉變換進行通信時，在竊聽方所掌握的變換階數有誤差的情況下，其接收信號的誤碼性能基本上無法保證信號的正常接收，誤碼率都比較高，而在采用小波包變換進行通信時，竊聽者一旦從應用較多的小波包函數中選擇了正確的小波包函數，就能夠接收到正確的信號，從而獲取合法接收方的信息，使信息安全受到威脅。

4 結束語

通過對小波包變換和加權分數階傅里葉變換的原理介紹和在不同應用場景下的應用對比分析，證明在直接應用于通信時，小波包變換相比于加權分數階傅里葉變換抗高斯白噪聲干擾的能力更強，但是在存在竊聽方時，其安全性較弱；在應用于變換域通信時，加權分數階傅里葉變換要優于小波包變換，同時對于小波包變換自身而言，其抗多音干擾的能力要優于抗單音干擾和10%窄帶干擾的能力。由此可知，在相對簡單的環境下可以利用小波包變換消除高斯白噪聲的干擾，而在有竊聽方等相對復雜的環境下，應用加權分數階傅里葉變換及其與變換域通信技術的結合將會有更好的效果，從而為2種變換方式的選擇提供了依據。