考慮地球曲率情況下測向定位系統中的最優交會角

白 晶，馬燕飛，劉曉麗

(1.中國電子科技集團公司第五十四研究所,河北 石家莊 050081； 2.中國人民解放軍93558部隊,河北 石家莊 050081)

0 引言

本文在文獻[2-3,10]的基礎上，在考慮地球曲率的情況下，研究了不同量測誤差條件和最小圓概率誤差(CEP)準則下被動測向交叉定位系統中的最優交會角。

1 問題描述

圖1 NE平面內的測向交叉定位示意圖

根據前面的假設和文獻[13-14],得到

(1)

且

(2)

其中

(3)

為坐標變換矩陣且

(4)

其中

為地心固定坐標系到傳感器1的局部NED坐標系的坐標轉換矩陣。傳感器i的地心固定坐標為：

(5)

其中

式中，Re為地球的長半軸，∈為地球偏心率。

從圖1可得交叉定位方程

(6)

通過簡單計算可得:

(7a)

和

(7b)

根據如圖1，目標估計位置為:

(8a)

(8b)

利用式(8)可得:

(9)

其中

η2=cosφ1μ2/μ2,

η4=sinφ1μ2/μ2,

μ1=xNb11cosφ2+xNb12sinφ2-
xEa11cosφ2-xEa12sinφ2,

μ2=xNa12b11sinφ1+xEa11b12cosφ1-
xNa11b12sinφ1-xEa12b11cosφ1,

μ=b11cosφ1cosφ2+b12cosφ1sinφ2-
a11sinφ1cosφ2-a12sinφ1sinφ2。

那么，目標位置估計誤差方差為：

(10a)

(10b)

2 最小圓概率意義下的最優交會角

一種常用的度量定位誤差的指標是圓概率誤差(CEP)。它是指目標落入內部的概率為50%的圓的半徑?？杀硎緸閇1]：

(11)

其中

(12)

顯然，最小化r0.5等價于最小化二元函數f(φ1,φ2)。式(12)兩邊分別對φ1和φ2求偏導并令它們等于零，可得:

(13a)

(13b)

其中

μ3=b11sinφ1cosφ2+b12sinφ1sinφ2+
a11cosφ1cosφ2+a12cosφ1sinφ2;

μ6=b11cosφ1sinφ2-b12cosφ1cosφ2-
a11sinφ1sinφ2+a12sinφ1cosφ2。

(14)

(15)

式中，jij(i,j=1,2)為函數fi(φ1,φ2)(i=1,2)對應的雅可比矩陣的元素。根據Fi(i=1,2)的符號可判斷穩定點的極值性。

3 數值計算和仿真結果

表1 不同k值對應的數值計算結果

圖2 最優交會角與方差比值k的關系

圖3 圓概率誤差等值線，

圖4 圓概率誤差等值線，

從圖2～圖4和表1，可以得出：

① 當k<0.5時，最優交會角近似等于90°。顯然，此時CEP值達到最小值的目標位置，無限接近或位于2部傳感器的基線上，且無法對目標進行有效測向交叉定位。如圖3所示，此時的目標位置無限接近傳感器2的位置。因此，此時可行的最優交會角不存在。

② 當k≥0.5時，存在可行的最優交會角，且其值隨著方差比值k的增大而增大。對于給定的k，對應2個相同的最優交會角且CEP值達到最小值的2個目標位置對稱于E軸。

4 結束語

通過理論分析和數值計算得到，考慮地球曲率時的測線交叉定位系統中的最優交會角與2部被動傳感器的角度量測誤差方差的比值有關。在實際工程應用中可根據被動傳感器的測角誤差方差之比，結合量測目標分布情況選擇合理的布站方式，以得到高定位精度。文中得到的最優交會角是通過數值計算得到的，所以這里的“最優”不是嚴格意義下的最優，只是漸進或逼近意義下的最優。同時，為了得到具體的交會角值，前面只給出了幾個典型k值對應的最優、次優交會角，這里試圖給出一種解決問題的通用方法，可以擴展到任意k值對應的最優、次優交會角的求取。