基于“示以思維”的數(shù)學(xué)實驗常態(tài)教學(xué)策略

朱桂鳳

對數(shù)學(xué)實驗教學(xué)法而言，“示以思維”就是在研究數(shù)學(xué)問題時，將邏輯思考的過程建立體系，并將此思維過程可視化。“示以思維”能幫助學(xué)生構(gòu)建某一類的知識體系，這就要求教師在實驗教學(xué)時要“示以思維”地教，為學(xué)生鋪墊思維。這樣的常態(tài)化實施數(shù)學(xué)實驗，有助于學(xué)生抽象、推理和建模思想的發(fā)展。學(xué)生的知識技能、思想方法、活動經(jīng)驗、能力素養(yǎng)及其結(jié)構(gòu)體系的構(gòu)造與建設(shè)，需要“示以思維”“授以思考”，方能讓數(shù)學(xué)實驗從“教理解”轉(zhuǎn)向“教智慧”，從“學(xué)以致用”轉(zhuǎn)向“用以致學(xué)”。

本文主要以《數(shù)學(xué)實驗手冊》中的實驗項目為思考對象，建構(gòu)“示以思維”視角下的數(shù)學(xué)實驗常態(tài)化實施教學(xué)策略。

一、在經(jīng)歷中催生數(shù)學(xué)思考

這里的“經(jīng)歷”是指在特定的數(shù)學(xué)活動中，讓學(xué)生獲得一些感性認識。這種“感性認識”是在抽象中獲得的、在經(jīng)歷中形成的。數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三大能力（抽象、推理和建模）之一，是初中段學(xué)生畏懼數(shù)學(xué)的一個重要原因，也體現(xiàn)出張奠宙教授說的數(shù)學(xué)“冰冷與火熱”的特征（數(shù)學(xué)概念、原理、方法本身很冰冷，但背后的數(shù)學(xué)思考極其火熱）。對初中生而言，他們處于從形象思維向抽象思維過渡的階段，需要一個幫助其思維發(fā)展的載體。數(shù)學(xué)實驗是一種數(shù)學(xué)活動，具有彌補數(shù)學(xué)抽象思維短板的功能，有助于學(xué)生在“經(jīng)歷中”，自覺地生發(fā)數(shù)學(xué)思考。

更具體地來說，數(shù)學(xué)實驗是發(fā)展學(xué)生抽象能力的間接載體，有助于學(xué)生在直觀中抽象，在抽象中進行信息關(guān)聯(lián)，形成“知其然和知其所以然”的思維方式。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂立足于“知其然，不知其所以然”的“告訴概念+重復(fù)訓(xùn)練”的思維方式，不利于學(xué)生將知識上升到能力素養(yǎng)層面，經(jīng)不起實踐的檢驗。而數(shù)學(xué)實驗課堂關(guān)注“是什么、為什么和怎么樣”，其優(yōu)勢就在于能將“知識經(jīng)驗”轉(zhuǎn)化為“思想方法”。因此，常態(tài)化實施數(shù)學(xué)實驗意義重大。

在南京大學(xué)教授呂林海看來，數(shù)學(xué)抽象從背景上看具有客觀性，從產(chǎn)生上看具有能動性，從內(nèi)容上看具有特殊性，從方法上看具有構(gòu)造性，從過程上看具有發(fā)展性。這就要求我們在實施常態(tài)數(shù)學(xué)實驗時，一是關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的客觀性，創(chuàng)設(shè)問題情境，關(guān)聯(lián)思維；二是關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的能動性，采用“做數(shù)學(xué)”的思維方式；三是關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的過程性，在經(jīng)歷數(shù)學(xué)中體驗數(shù)學(xué)的多元思考，進而發(fā)展數(shù)學(xué)“核心素養(yǎng)”。

例如，我們將直角三角形紙片按圖1 所示的方法折疊成這樣的兩個矩形稱為“組合矩形”。在下定義的基礎(chǔ)上，首先讓學(xué)生剪一個銳角三角形紙片，折成“組合矩形”，說明理由，并由此說明三角形的中位線與第三邊之間的數(shù)量關(guān)系；其次是在方格紙上，讓學(xué)生畫出頂點都在格點上的三角形，使該三角形折成的“組合矩形”為正方形，并通過折疊加以驗證；最后是讓學(xué)生基于“特殊—一般”思想，思考非特殊的四邊形滿足什么條件時能折成“組合矩形”，畫出這樣的四邊形并進行折疊驗證。

（圖1）

上述“定義組合矩形→折組合矩形→折組合正方形→探討折成組合矩形條件”的過程，涵蓋了“特殊→一般→特殊”、“折→剪→畫→判斷”以及“直角三角形→銳角三角形→非特殊四邊形”的過程，這樣的實驗經(jīng)歷，能讓學(xué)生既獲得知識又獲得方法。

二、在體驗中形成數(shù)學(xué)判斷

在數(shù)學(xué)實驗常態(tài)化實施中，“實驗體驗”是參與特定的數(shù)學(xué)活動，主動認識或驗證對象，獲得真實經(jīng)驗的過程。在這一過程中，一方面數(shù)學(xué)實驗作為“領(lǐng)悟課程”，需要通過“動手做”還原推理的思維本真，落實“怎樣到達那里”；另一方面數(shù)學(xué)實驗作為“運作課程”，需要“活動數(shù)學(xué)”，將靜態(tài)的概念轉(zhuǎn)化為動態(tài)的數(shù)學(xué)思考，建立系統(tǒng)概念。正如《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2011 年版）》（以下簡稱“2011 年版課標(biāo)”）強調(diào)的那樣，學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。

基于這一認識，需要做好三個層面的系統(tǒng)補償工作，讓學(xué)生在信息體驗中提升數(shù)學(xué)判斷能力。一是運用信息技術(shù)操作畫圖，體驗數(shù)學(xué)目標(biāo)；二是說數(shù)學(xué)，展示自己的數(shù)學(xué)思維過程；三是概括推理，發(fā)展數(shù)學(xué)判斷力。

2011 年版課標(biāo)指出，教師應(yīng)當(dāng)努力開發(fā)制作簡單實用的學(xué)具和教具，有條件的學(xué)校可以建立“數(shù)學(xué)實驗室”供學(xué)生使用，培養(yǎng)他們的實踐能力和創(chuàng)新精神。比如，在研究“中點四邊形”這一實驗時，可以讓學(xué)生在“希沃環(huán)境”（一種教學(xué)軟件平臺）下畫圖，獲得對中點四邊形的認識與理解，建構(gòu)系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的學(xué)具思維。具體操作順序如下。

首先是讓學(xué)生在“希沃環(huán)境”下，畫出一個四邊形的“中點四邊形”，然后下定義。其次是讓學(xué)生畫出特殊四邊形的“中點四邊形”，猜想平行四邊形、矩形、菱形、正方形的“中點四邊形”形狀，說理并折紙驗證。最后是讓學(xué)生任意畫一個四邊形的“中點四邊形”，探尋該四邊形的對角線滿足什么條件時，其中點四邊形是矩形、菱形和正方形，并驗證。

如果說“軟件畫圖→形象定義”是由體驗到形成判斷，那么“畫出→猜想→驗證→說理”是由做數(shù)學(xué)到說數(shù)學(xué)，而“畫圖→判斷→推理→概括”則體現(xiàn)了學(xué)習(xí)的系統(tǒng)性。這樣的實驗形態(tài)，一方面有助于學(xué)生形成概念體驗，另一方面能讓學(xué)生在體驗中獲得“示以思維”，并將“結(jié)構(gòu)知識”轉(zhuǎn)化為“認知結(jié)構(gòu)”，這就是數(shù)學(xué)實驗常態(tài)化實施的工具思維。

三、在探索中實現(xiàn)問題解決

數(shù)學(xué)實驗必須堅持“在實踐中”和“向?qū)嵺`學(xué)習(xí)”的立場。數(shù)學(xué)實驗作為“經(jīng)驗課程”，一方面需要實踐，落實行為探索目標(biāo)；另一方面需要向?qū)嵺`學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在問題解決中獲得解決問題的能力。例如，在研究“特殊四邊形”概念時，讓學(xué)生任意畫一般三角形、等腰三角形、等邊三角形和等腰直角三角形，并分別畫出其繞頂點或直角頂點旋轉(zhuǎn)180°后的圖形，猜想并驗證四邊形的形狀。這種實踐的立場，有助于學(xué)生產(chǎn)生“問題意識”，形成問題能力，這就是向?qū)嵺`學(xué)習(xí)的表現(xiàn)形式。

在南京大學(xué)鄭毓信教授看來，“問題”可以理解成“找出適當(dāng)?shù)男袆右赃_到一個可見而不能立即可及的目標(biāo)”。在數(shù)學(xué)實驗活動范疇，提出問題是人們創(chuàng)造性能力的一個重要內(nèi)涵。因為解決問題也許是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系囊粋€技能，而提出新的問題、新的理論，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力。

2011 年版課標(biāo)指出，要重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。這里的“情境→抽象→建模→解決問題”是數(shù)學(xué)實驗常態(tài)化實施的基本形態(tài)，是知識、發(fā)展逆向思考的一種“示以思維”和實踐舉措。這就要求教師設(shè)置的“問題解決”教學(xué)具有探索性、可逆性以及潛在的遷移性和創(chuàng)新性。讓學(xué)生在探索中獲得舉一反三和觸類旁通的能力，這就是數(shù)學(xué)實驗常態(tài)化實施的不可替代性。

在數(shù)學(xué)實驗常態(tài)發(fā)展的過程中，探索性是發(fā)現(xiàn)和提出問題的創(chuàng)新基礎(chǔ)；可逆性就是讓學(xué)生在“做”和“思考”的過程中，形成獨立思考、逆向思考和學(xué)會思考的能力，進而實現(xiàn)問題的雙向回流，這是數(shù)學(xué)創(chuàng)新的核心；遷移性就是讓學(xué)生通過歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以證明，這是創(chuàng)新方法。可以說任何一個實驗都是以“問題→建模→解模和使用模型”的思維程序呈現(xiàn)的，一方面能讓學(xué)生獲得創(chuàng)新能力，另一方面能讓學(xué)生形成可逆遷移，落實經(jīng)驗課程發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的功能。