離散數學實用性教學探討

張福生 王成

摘要：離散數學一直是被確定為計算機專業最核心的基礎課程。在傳統的離散數學教學中，課程知識點泛化嚴重，課程體系碎片化，具體應用不突出。針對長期重理論而缺乏實用性的狀況，結合教學實踐，通過分層對比教學，以實用性為切入點，從豐富教學案例、采用任務驅動式的教學方法、多維度考核三個方面給出了離散數學教學的改革措施，旨在激發學生學習興趣，提高學習實用性，進而能夠有效地提高教學質量和學習效果。

關鍵詞：離散數學 實用性 任務驅動式

中圖分類號：O158? 文獻標識碼：A? 文章編號：1009—5349（2019）21—0179—02

離散數學是計算機專業的核心基礎課程，其包含的主要內容有四大部分：數理邏輯、集合論、代數結構和圖論。該課程具有知識點密集、概念多、理論性強、高度抽象且內容相互交織、背景理論涉及面廣、知識結構松散和系統邏輯較差、課程體系的碎片化，斷層化嚴重、具體應用不突出等特點。目前，離散數學教師要么是來自數學系，要么是來自計算機系。前者注重理論知識教學，后者對算法和實用算法比較關心，而且一般都只能做到基本理論教學，講授大量的抽象理論，根本沒太多時間考慮教學的實用性。這當然與課程內容本身的高度抽象性、內容的廣大性和極強的理論性相關。而且我們看到的實際學習現象是：學生對離散數學沒有興趣，學習離散數學不知道有什么用，大量的理論學習找不到方法，寬泛的應用層面不知道用哪些方法，知識點沒有建立體系，應用性也沒有章法等問題。筆者結合教學實際，從以下三個方面給出離散數學教學的教學改革措施。

一、豐富教學案例

在傳統的離散數學教學中，各部分內容逐章講述，沒有交叉，而且缺乏側重點，教學目標的知識點泛化嚴重。本身教學的時間緊，任務重，講授內容僅停留在課本，也就是一些基礎理論，且背后的知識擴展和應用擴展無暇顧及。這種單層教學模式顯然無法滿足學生知識擴展與實踐應用要求，更提不起學生的學習興趣。因此，需要對離散數學課程的內容進行體系化層次化分解，并對各個部分的知識逐層深入、相互滲透、應用反饋，形成理論實踐相結合的應用型課程教學模式。

為此，我們這里構建從基礎層、提升層、應用層三個層面的教學體系，具體知識體系建立如下：一是邏輯，包括命題邏輯、謂詞邏輯、推理——形式語言、自動機、智能算法——硬件設計、搜索引擎、圖靈機應用;二是集合論，包括集合、函數、序列——運籌、密碼、遞推——最優調度、軟件測試、公鑰體系;三是代數，包括代數、群、域——置換群、李群、同構——加密算法、布爾代數、極小化;四是圖論，包括圖、路徑、樹匹配、著色、最小生成樹——遍歷、回溯、指令優化、尋優。

每一個內容應用層以若干個案例或者課題項目應用作為教學導向，所有內容圍繞教學目標可以將各層內容交叉融合起來，并且結合實際操作利用學習任務做驅動，學習理解對應的理論課。任務可以通過學生自擬課題和老師指定課題，先演示范例，后學生自主操作，以完成度作為考核要求。例如，通過對最短路徑算法實現校園交通系統的這一課題立項的研究，深化圖論知識體系的構建;通過對二值邏輯映射實現數字邏輯電路設計的這一課題立項并具體做到設計樓道電燈等邏輯電路模擬，深化理解邏輯的知識體系;或者通過對完成任意數獨九宮格的程序設計加深邏輯和編程的結合也能完成邏輯知識體系的構建。

另外，在離散數學教材上出現的經典問題很多，可以進行系統化，將相關知識體系豐富起來。如：旅行家問題，象棋子的遍歷，博弈樹，RSA密碼體系，圖的最短路徑，等等，通過引入這些實驗案例，在教學設計之初，先進行四大內容體系分類，并且組合打包，知識點滿覆蓋組合分派，然后有選擇地教學和實驗操作。這樣可以極大地加深學生對各項理論內容的理解并能映射到豐富的應用背景中，即：學理論、知用處，并對案例和知識點在應用中發散理解深入鉆研，借以反哺理論并加深加強，即：懂用處、知創新。例如在公鑰密碼學中，為其提供安全性保障的是歐拉定理、費馬小定理等數論定理，對定理理解越透徹，對安全性理解越上高度。通過任務的完成，RSA密碼體系的建立和破解難度性兩個矛與盾的對立，更有助于學生掌握相關離散數學基本定義、理論和定理，并更好地理解各種算法的安全性與應用機制。例如：求最小生成樹，求最短路徑，求最優解，這些應用可以確定最優方案，可以確定地區間的最小連通成本，這些案例的理論支撐不是枯燥和不重要，而是強大和深刻。針對本課程實用性、工具性的特點，具體案例可以提升抽象知識的具體化講述，進行道路規劃課題立項研究就比較具體，但背后我們要做的教學目標卻是哈夫曼樹應用的特征這一理論背景。再比如：公安局的斷案、邏輯謎題，派人方案合理性調試、賽車手的選定，合理答辯時間的排定，等等，無一不需要理論背景。

在做到了豐富的案例實驗教學完成后，學生需要的知識體系和應用體系其實已經在里面了，離散數學要達到的知識體系內涵和應用性內涵其實已經建立起來了。

二、任務驅動式教學方法

任務驅動式教學是指在教學過程中通過任務為導向的一種學習方法。具體就是布置一系列成知識體系的、與課程內容緊密相關的任務讓每位學生個人或分組主動參與，并且能完成理論和實踐雙教學目標的一種教學方式。其核心在于任務驅動，重點是使每位學生完成任務就是完成學習。任務有創新，學習就有創新，即：任務中學習，任務中創新，目標是掌握該門課程的實際理論知識和應用技能。離散數學的教學適用于任務驅動教學方法。理論作為離散數學本身已有知識點，教師可以少講，前面提到的豐富的教學案例和衍生出的各項課題項目其實就已經提供了學生要做好的各項各層面的任務。這些任務本身是形式多樣化的，無論是理論任務還是案例任務或者是課題任務，學生都可以自主選擇感興趣的，教師也要做好教學設計，將任務組合打包分類，可交叉可重復，但不要有大遺漏。并且，任務的教學目標是統一化的，也就是要達到一致的教學目標。

在任務驅動式的教學方法下，完成任務是主，教師指導是輔，兩者互為契合。任務分三個層面：一是基礎教學，就是傳統教學，就是常規知識點;二是提升教學，這需要完成一定量的訓練題和應用題并且有拓展知識體系;三是應用層，這是需要花大力氣組隊完成的自選或者教師制定的課題或項目。在此三項活動過程中，教師起到的是組織和監督的作用。其實這里就已經做到多維任務驅動式教學，每一項任務的完成只要達到了教學目標都是可以計入后期考核的。多維任務驅動式教學使教學任務的內容結構更加豐富，多任務也給學生增加任務自主選擇權，任務分層，學生也分層，這就適合不同程度和類型的學生學習該門課程，做到因材施教，并提升動手能力團隊配合能力和創新能力。

正是上節我們給出了豐富的教學案例，可以解析離散數學泛化的知識內涵。針對不同的學生，任務驅動式教學的關鍵是分配和打包不同類型的任務，即任務多維化。這些任務類型包括：任務類型1——課題項目任務，以小團隊形式完成指定或者自己選定的課題或者項目論文為目的;任務類型2——總結性任務，對知識面和應用面的小總結，對離散數學的知識能較為全面的小總結，類似于文獻綜述，并能工具性運用離散數學知識解決問題;任務類型3——習題任務，以完成教材相關知識理論掌握程度鞏固提升為目標的習題任務，即傳統的課后習題任務。對于任務類型1的課題項目任務來說，課題需要組建2—4人團隊，自主選擇課題或項目，通過完成相關選題、項目形成對應結論論文或技術報告。在課題選擇上，教師可以提供具體題目或者由學生自選自己感興趣的課題，由教師審核，教師扮演組織、監督、引導者的角色。由于是學生有興趣的課題，這能夠充分發揮學生個人特長，調動學生主動性興趣，參與更積極。如果學生覺得課題比較難的話，可以降低要求，階段性的完成也可以，并且對于任務類型2或3來說，三者是并行完成的。

三、多維度考核體系

在考核方式上，傳統的單一筆試考試的方式已經滿足不了實用性教學需要，從課程本身特點來說，僅采用試卷形式考查已經不適用新的應用實踐了。作為重應用的新教學模式，可以依據教學設計由教師根據分配學生各類任務完成情況設置權重因子，如任務類型1的課題和項目的完成度是考核的依據。

由于任務是分層次多維度的，每類任務權重分配可以由教學目標來敲定，任務組合包含的知識點范圍由教學內容來敲定。因此，教師在設計之初，要對任務組合和完成的考核要求有一定的標準制定。例如：基礎理論類任務類型3考核要求為必須完成項，如果學生選擇閉卷能完成，可以通過考核。但也可以由學生選擇開卷，前提是完成2、3任務中的一項論文或總結，即1+3或2+3的組合形式，能達到教學目標也可以通過考核。任務類型1和任務類型2選擇與否可以充分體現學生的興趣差異和學習動機的不同，并且完成度體現著學生的綜合能力，其中課前的自主學習、課堂講授與研討、課后總結與練習作業等環節都可以作為參考量。

具體地，想挑戰想創新有闖勁的主動型學生會選擇任務類型1+2+3，而被動型喜歡接受和喜歡做知識總結的學生則傾向于選擇任務類型2+3。由于任務類型3是傳統的，也照顧到了部分學生喜歡閉卷考試的偏好，也可以保留傳統考核體系，并且有任務2和3的多維度選擇，能充分發揮學生主動性，調動興趣，理論實踐結合。多維度考核方式需要由任課教師逐一量化計算課程目標達成度，形成統一標準，并讓學生在教學之初充分理解。總之，需要在完成教學目標和符合教學大綱設計這個大層面上適度改革，切實地把實用性教學考核體系構建起來。

四、結語

總之，豐富的案例實驗教學建立了完整的離散數學知識體系內涵，以點帶面的專題課題研究形式把實用性教學落到實處，在不改變教學目標基礎上，加上多維度考核體系可以真正地把離散數學實用性教學系統構建起來。

參考文獻：

[1]耿素云，屈婉玲，張立昂.離散數學：第5版[M].北京：清華大學出版社，2013.

[2]王濤，肖巍，徐中宇.基于新工科理念的離散數學課程建設[J].計算機教育，2019，289（1）：33-36.

[3]翁國慶，戚軍，謝路耀，等.基于任務驅動的多向融合課堂教學改革——以“MATLAB與系統仿真”課程為例[J].高教學刊，2019（1）：82-84.

[4]李鋒，孫莉.任務驅動式方法在離散數學教學中的運用[J].計算機教育，2006（3）：27-29.

責任編輯：趙慧敏