一個關于Fibonacci多項式及Fibonacci數的數列的注記

李小雪，陳國慧

(1.西安航空學院 理學院，西安 710077；2.海南師范大學 數學與統計學院，海口 571158)

0 引言

對任意正整數n≥0，著名的Fibonacci多項式Fn(x)由F0(x)=1，F1(x)=x及二階線性遞推式

Fn+1(x)=xFn(x)+Fn-1(x),n≥2

定義。

如果令x=1，那么Fn(1)=Fn+1是Fibonacci數，它的初值為F0=0，F1=1，且Fn+1=Fn+Fn-1，n≥1。

由于Fibonacci多項式Fn(x)及Fibonacci數Fn在數學的理論及應用方面都具有重要作用，因此，很多專家學者對它們的性質進行了研究，并得到了一系列重要結果[1-9]。

2018年，馬元魁和張文鵬[10]研究了卷積和

的計算問題，這里的求和是對滿足a1+a2+…+ah+1=n的h+1維非負整數數組(a1，a2，…，ah+1)求和。他們利用初等及組合的方法給出了關于Fn(x)的一個有意義的恒等式，即下面的結論：

設h是一個正整數，那么對任意整數n≥0，有恒等式

這里S(h,j)是由S(h,0)=0，S(h,h)=1 和S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1) +S(h,i)定義的二階非線性遞推序列，1≤i≤h-1是正整數。

本文作為文獻[10]的一個注記，將對該文獻中的結論進一步改進和完善。

1 主要結果

為了進一步理解S(h,i)的性質，本文列出了S(h,i)的一些值，如表1所示。

表1 S(h,i)的值

對于(2)式的應用，馬元魁和張文鵬[10]證明了對任意素數p和滿足0≤i≤p-1的整數i，有同余式

S(p,i)≡0 modp(p-1)。

經過大量的數據計算，可以發現序列S(h,i)具有簡潔的精確表達式，也就是有下面的結論：

定理設h是一個正整數，對任意滿足0≤i≤h的整數i，有恒等式

那么對h=k+1，當i=k時，由S(h,i)的定義，有S(k+1,k+1)=1，因此定理正確。如果0≤i≤k-1，那么由遞推式

S(h+1,i+1)=2·(2k-1-i)·S(k,i+1)+S(k,i)

及推斷假設(4)式，有

S(h+1,i+1)=2·(2h-1-i)·S(h,i+1)+S(h,i)

這意味著對h=k+1，定理成立。這就完成了定理的證明。

結合(3)式及文獻[10]中的定理1，可推出下列結論：

推論1 設h是一個正整數，對滿足0≤i≤h-1的任意整數i，有同余式

S(h,i)≡0 modh(h-1)。

推論2 對任意正整數h≥1，有恒等式

推論3 對任意正整數h≥1 ，有恒等式

2 結論

作為文獻[10]的注記，本文研究了序列S(h,i)的性質，并得到了關于該序列的一個簡潔精確的表達式。該結果不僅將S(h,i)復雜的遞推式表達成簡單的組合數從而便于計算，而且揭示了Fibonacci多項式和Fibonacci數的結構性質。也就是說，(2)式的卷積是由Fi(x)和一類組合數構成。此外，推論1進一步改進并推廣了文獻[10]的定理2，這意味著對于任意的正整數h，同余式成立且不受素數p的限制。

顯然，本文結果可以進一步簡化文獻[10]的結論，文中的推論2和推論3就是對該文獻相關結果的簡化。