旋轉圓筒泄漏流模型研究*

趙國昌1 王 泉 宋麗萍1 邢仕廷

(1.中國民航大學適航學院 天津 300300；2.中國民航大學中歐航空工程師學院 天津 300300)

葉尖泄漏流動是葉輪機械中普遍存在的現象，由于氣流流過葉背與葉盆的速度不同，導致吸力面與壓力面間存在周向壓差，引起泄漏流動。葉尖間隙過大將引起較大的泄漏流量，從而降低葉輪機工作效率，增加使用成本；葉尖間隙過小，將導致葉片在離心力的作用下與機匣發生碰撞或摩擦，危害葉輪機運行安全。研究表明,葉尖間隙為葉片高度的1%～3%較好[1-4]。為獲得葉尖泄漏流動規律，本文作者對周向壓差作用下同軸旋轉圓筒間泄漏流進行研究。

同軸旋轉圓筒間流動即Taylor-Couette問題的研究結果，廣泛應用于潤滑、密封等領域[5-8]。在初始的Taylor-Couette問題上引入新的變量，如加入周向壓力梯度探究其對圓筒間流動的影響，具有重要的工程應用價值。考慮周向壓力梯度的影響最早由Dean提出，因此又被稱為Taylor-Dean問題[9]，目前對此方面的研究主要集中在對圓筒間流動穩定性分析上[10-14]，通過求解其臨界泰勒數，描述流動從層流到湍流的轉捩過程，而對圓筒間隙內流體流量影響規律的研究相對較少。

本文作者采用二維周向壓力梯度下同軸旋轉圓筒模型分析轉速比、半徑比等因素對葉尖泄漏流量的影響。

1 物理模型

周向壓力梯度下旋轉圓筒二維模型如圖1所示，模型包含旋轉速度不同的內外同軸圓弧，圓弧對應的圓心角為θ，其中內弧半徑為R1，轉速為Ω1；外弧半徑為R2，轉速為Ω2；壓力梯度沿周向分布均勻，進口壓力為p1，出口壓力為p2。求解同軸圓弧間流體速度分布，獲得通過旋轉圓筒間不可壓縮牛頓流體的體積流量，為泄漏流動研究提供理論基礎。

圖1 二維周向壓力梯度下旋轉圓筒模型Fig 1 Two-dimensional circumferential pressure gradient rotating cylinder model

根據經典黏性流體力學理論[15-17]，用連續方程、徑向動量和周向動量方程描述該模型的控制方程組。

(1)連續方程

(1)

(2)徑向動量方程

(2)

(3)周向動量方程

(3)

由于圓筒的半徑很小，徑向速度可以忽略，且二維模型不考慮軸向速度，則方程(1)可簡化為

(4)

由于徑向速度為0且流動定常，軸向速度關于轉角的偏導數為0且不考慮體積力，因此徑向動量方程可簡化為

(5)

假設周向動量方程的徑向速度為0且流動定常，軸向速度為0、軸向速度關于轉角的偏導數也為0且不考慮體積力，因此

(6)

2 數學求解

相比于周向壓力梯度，徑向壓力梯度很小，可近似為0，文中只考慮周向壓力梯度對流動的影響，方程(6)可以通過無周向壓力梯度的同軸旋轉圓筒間的定常流動和有周向壓力梯度下固定圓筒的Poiseuille流動2個解相疊加求得。

2.1 不考慮周向壓力梯度的同軸旋轉圓筒間的定常流動

不考慮周向壓力梯度的同軸旋轉圓筒間定常流動解只需考慮內外圓筒旋轉對流動的影響，式(6)簡化為

(7)

該方程的解

(8)

為了求出常數A和B，引入方程邊界條件[18]

r=R1uθ(r=R1)=Ω1R1

(9)

r=R2uθ(r=R2)=Ω2R2

(10)

求解得到

(11)

(12)

其中，

2.2 考慮周向壓力梯度的固定圓筒間的流動

描述固定圓筒間有周向壓力梯度的流體流動的控制方程由式(6)表達，為便于求解，將式(6)改寫為

(13)

(14)

其中C、D為常數，引入邊界條件[19]

r=R1，uθ(r=R1)=0

(15)

r=R2，uθ(r=R2)=0

(16)

得到

(17)

(18)

2.3 考慮周向壓力梯度旋轉圓筒間的定常流動

將2.1節中無周向壓力梯度的同軸旋轉圓筒間的定常流動解和2.2節中有周向壓力梯度下固定圓筒的Poiseuille流動解相疊加，得出周向壓力梯度下同軸旋轉圓筒間定常流動周向速度解析解

(19)

2.4 泄漏流體積流量的求解

利用式(19)求得的二維周向壓力梯度下旋轉圓筒間周向速度解析解，通過積分得到旋轉圓筒間泄漏體積流量表達式

(20)

考慮沿軸向存在單位長度，因此

(21)

代入周向速度表達式式(19)可得

(22)

代入常數A、B、C、D可得

(23)

(24)

其中

(25)

(26)

3 結果和討論

3.1 η和ζ對Q1，Q2的影響

為便于討論，定義量綱一體積流量

(27)

(28)

聯立式(25)、(27)得到Q1與量綱一化數η和ζ的關系式。由內外圓筒轉動引起的泄漏流Q1隨半徑比和轉速比的變化趨勢如圖2和圖3所示。

圖2 η對Q1的影響Fig 2 The influence of η on Q1

由圖2可知，半徑比η一定時，由內外圓筒轉動引起的泄漏體積流量Q1隨著轉速比ζ的增加而增加；當半徑比η由小變大時，隨轉速比ζ增大，泄漏體積流量的增加率變小。

圖3 ζ對Q1的影響Fig 3 The influence of ζ on Q1

由圖3可知，轉速比ζ一定時，由內外圓筒轉動引起的泄漏體積流量Q1隨著半徑比η的增加而減小；當半徑比η為1時，泄漏量為0；當半徑比一定時，轉速比ζ越大泄漏量越大，兩圓筒反向轉動(ζ<0)可降低泄漏流量。

聯立式(26)、(28)得到Q2與量綱一化數η的關系式。因此處沒有旋轉，由周向壓力梯度引起的泄漏量Q2只需考慮半徑比的影響，圖4所示為η對Q2的影響曲線。

圖4 η對Q2的影響Fig 4 The influence of η on Q2

由圖4可知，由周向壓力梯度引起的泄漏體積流量Q2隨半徑比η的增加而減少，當η趨于1時，Q2趨于0；由周向壓力梯度引起的量綱一泄漏量Q2比由圓筒轉動引起的量綱一泄漏量Q1小2個數量級。

3.2 介質對泄漏流的影響

以空氣、水和甘油3種介質為例研究總泄漏量隨半徑比的變化，為便于分析對式(24)—(28)進行簡化。定義

(29)

由式(24)、(27)—(29)可得

(30)

定義

(31)

則

(32)

在給定的壓差、轉角、內圓筒轉速和轉速比等參數下，研究了半徑比等因素對泄漏流的影響。因較大壓差會影響流態，文中給定壓差為100 Pa，轉角θ=π/2，假設流動為充分發展流動，周向壓力沿圓周方向均勻下降，壓力梯度為63.66 Pa/rad，取內圓筒轉速為1 000 r/min，轉速比ζ=0.1。20 ℃時空氣、水和甘油3種介質的動力黏度及Ωp/Ω1值如表1所示。

表1 20 ℃時介質的黏度及Ωp/Ω1值

由圖2和圖4已知，Q1約為Q2的100倍，結合表1中的Ωp/Ω1數值，20 ℃時空氣的Q2·Ωp/Ω1值遠大于Q1；水的Q2·Ωp/Ω1值與Q1相當；甘油的Q2·Ωp/Ω1值遠小于Q1。3種介質的量綱一泄漏總體積流量如圖5—7所示。

圖5 η對Q的影響(空氣，ζ=0.1)Fig 5 The influence of η on Q (air,ζ=0.1)

圖6 η對Q的影響(水，ζ=0.1)Fig 6 The influence of η on Q (water,ζ=0.1)

圖7 η對Q的影響(甘油，ζ=0.1)Fig 7 The influence of η on Q (glycerin,ζ=0.1)

由圖5可知，隨著半徑比η的增加，總泄漏流體積流量Q減少，由于影響泄漏流量的主要因素為周向壓差，圖5的變化趨勢與圖4一致。由圖6可知，隨著半徑比η的增加，Q1和Q1·Ωp/Ω1減少，因此總體積流量Q減少。由圖7可知，隨著半徑比η的增加，總泄漏流體積流量Q減少，由于影響泄漏流量的主要因素為圓筒轉動，圖7的變化趨勢與圖2一致。

3.3 溫度對泄漏流的影響

在給定的壓差、轉角、內圓筒轉速和轉速比等參數下，研究了溫度變化對泄漏流量的影響。由式(23)可知，溫度主要通過影響介質的動力黏性從而影響泄漏流的體積流量。對于甘油，其泄漏流量主要由Q1決定，因此溫度變化對其總泄漏流量Q影響很小，可以忽略。空氣和水在溫度t變化范圍內的動力黏度μ及Ωp/Ω1值如表2所示。當ζ=0.1時，介質為空氣，η對Q影響如圖8所示；介質為水，η對Q影響如圖9所示。

表2 溫度對動力黏度和Ωp/Ω1的影響

圖8 η對Q的影響(空氣，ζ=0.1)Fig 8 The influence of η on Q (air,ζ=0.1)

圖9 η對Q的影響(水，ζ=0.1)Fig 9 The influence of η on Q (water,ζ=0.1)

由圖8可知，隨著溫度升高空氣的黏性增加，泄漏流流量減小。與圖8相對照，由圖9可知溫度升高水的黏性降低，泄漏流流量增加。由圖8和圖9可知，隨著半徑比的增加，總泄漏量逐漸減少最終趨于0。

4 結論

(1)由轉動引起的泄漏流體積流量隨著轉速比的增加而增加，隨著半徑比的增加而減少，同向轉動時的泄漏流流量大于反方向轉動時的泄漏流流量；由周向壓力梯度引起的泄漏流體積流量隨著半徑比的增加而減少。

(2)動力黏度較小的介質如空氣，影響其泄漏流體積流量的主要因素為周向壓力梯度，動力黏度較大的介質如甘油，影響其泄漏流體積流量的主要因素為圓筒轉動，動力黏度介于兩者之間的介質如水，需要考慮兩者的共同作用。

(3)介質溫度影響介質的動力黏度從而影響泄漏流流量。空氣溫度增加其動力黏度增大，泄漏流流量減小；水溫度增加其動力黏度減小，泄漏流流量增加。