從驗證到推理的過渡
——以“三角形內角和定理”證明為例

■李洪濤

（作者單位：山東省肥城市龍山中學）

三角形內角和定理是青島版《數學》教材八年級上冊第5章“幾何證明初步”第5節的內容，是學生在學習了平角、平行線的性質和判定的基礎上，進一步探索定理的證明。學生既需要綜合運用已有的知識，又需要學習掌握首次引入添加輔助線的方法。

本節課要幫助學生掌握定理的證明、添加輔助線的方法并能靈活運用，培養邏輯思維和符號語言表達能力，提高動手操作、自主探索、合作學習的能力。幫助學生經歷三角形內角和定理不同方法的推理證明過程，培養學生的求異思維和創造思維，體驗解決問題的成就感，體會數學證明的嚴謹性和推理的意義，培養學習數學的興趣，感悟邏輯推理的數學價值。

一、點動角度，導入新課

活動一：如圖1，在△ABC的AB邊上分別取D、E兩點，連接線段CD、CE。（1）觀察△ABC、△ADC、△AEC的內角，∠A是它們的什么角？（2）發現它們的另兩組內角的變化規律是∠ACB→∠ACD→∠ACE變小，而∠ABC→∠ADC→∠AEC變大，為什么會出現這種現象？

活動二：利用幾何畫板演示一個三角形從2個角變化的情形到3個角都變化的情形，幫助學生進一步感知三角形的內角和是多少度。

設計意圖：活動中教師通過點動、角變的設計，使得學生對空間觀念做定向關注：位置關系的變化。引發三角形內角量變的特征是，有角變大，必須有角變小。從而啟發“三角形內角和是一個定值”。

圖1

二、實驗操作，證明定理

設問：三角形三個內角的和是多少度？你是怎樣知道的？

教學中一般在學生初步感知到它們的內角和是180°的基礎上，再用實驗操作的方法加以驗證。學生在小學認識三角形內角和時，所了解的驗證方法一般有如下三種，為此引導學生進行以下三個實驗。

實驗一用量角器量出三個內角的度數，然后求和驗證。

測量計算是學生比較熟悉的探究思路，教師在學生操作的基礎上用幾何畫板演示。

設計意圖：該實驗使學生認識到受測量中精確度以及測量誤差的影響，通過測量得到的三個內角的和很可能會出現不等于180°的情形。即便是利用“幾何畫板”度量、計算，貌似可以得到準確值，但事實上軟件系統在近似運算中掩藏了測量的誤差，誤差可能依然存在。

實驗二沿三角形的一條中位線上下對折，然后把另兩個角左右對折，折出一個平角加以驗證，如圖2。

圖2

學生探究交流：如圖3，把∠A向下折，折時注意平行，使∠A的頂點落在它的對邊上，即形成∠1。再折∠B、∠C，使∠B、∠C的頂點都與∠1的頂點重合，即形成∠2、∠3。發現∠1、∠2、∠3恰好組成一個平角，即∠1+∠2+∠3=180°，由此得到三角形的內角和是180°。

圖3

設計意圖：學生輕松一折就初步驗證了三角形三個內角可以拼在一起形成一個平角，體驗解決問題的成就感和動手的樂趣。

實驗三把三個角剪下來拼成一個平角加以驗證。

在學生探究各種拼法后，教師進行動畫演示。

想一想我們拼角的目的是什么？（改變角的位置。）

如果不移動角，我們還可以通過什么方法來改變角的位置？（添加輔助線。）

學生活動：小組討論，通過拼圖方案，添加輔助線構建圖形，證明定理。

比一比，哪個小組的方法多？證明過程引導學生書寫或口頭表達。

設計意圖：通過小組討論交流，每個學生都成為課堂的參與者，變傳統教學中的被動接受為主動探索，激發學習的積極性和創造性。鼓勵學生傾聽他人的方法和思路，從中受益，培養合作探究精神。多讓學生發言，有意識地培養語言表達能力和邏輯思維能力。

設問：以上方法都是通過作平行線構造出相等的同位角或內錯角，把三個內角轉化到同一個頂點處，再證明它們的和構成一個平角。除此之外還有其他不同的思路和方法嗎？

學生活動：小組討論，歸納總結。

三角形內角和是180°，由“和”“180°”你能聯想到什么？

師生歸納：通過兩直線平行，同旁內角互補可得到如下添加輔助線的方法（如圖4）。

圖4

設計意圖：以上每一種添線方法的邏輯推理由學生進行交流，然后寫出證明過程。此處的添加輔助線的方法與前面的添加方法進行對比思考，體會數學思想的奧妙。無論是實驗中三角形的剪拼還是在幾何圖形中添加的輔助線，其實質都是將分散的三個相關元素即三個內角有效地聚集在一起。而不同輔助線的作法的出發點以及作輔助線的目的都是實現相關元素的有效聚集。

師：認真觀察教科書第171頁的圖5-6，回顧此證明方法，你還能有什么發現嗎？

生：（1）圖中∠ACD是△ABC的一個外角，從三角形內角和定理的證明過程中容易發現它正是∠A、∠B兩個角的和。

（2）∠ACD=∠A+∠B，在這個等式中，如果去掉∠B 則有∠ACD＞∠A，如果去掉∠A則有∠ACD＞∠B。

（3）由此可得：

推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；

推論2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角。

設計意圖：推論的獲得主要有兩種辦法：一種是與圖形的其他元素、條件相結合推導出一些新的結論，即推論。教科書的這部分內容即是如此，它將三角形的內角與外角結合起來，推導得到三角形外角的兩條性質。另一種是將條件強化，即增加一些新的限制條件，研究特殊圖形的性質，例如后續課中的“直角三角形兩銳角互余”。由于學生是首次接觸推論，所以務必使學生感受到“推論”到底是怎么回事。推論蘊含在原定理思維之中？推論是原定理的一種簡單變形？推論是原定理的副產品？啟發學生在自己的學習實踐中，當解決了一個問題后要再回顧一下，再想一想，養成“回頭看”的好習慣，從而提高學習的效率。

三、運用新知，提升能力

例1 如圖5，已知AB∥CD，求證：

∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°。

師：這個問題我們以前是如何解決的？

生：如圖6，過點N，作NE∥AB，即可證明。

圖5

圖6

圖7

師：我們能否用今天學到的新知識解決這個老問題？

生：如圖7，連接MF，即可證明。

設計意圖：學生意識到每當知識更新后，解決問題的途徑及方法也隨之豐富了，不同方法的運用，能相互促進，強化學習。學生對學到的知識能仔細揣摩，真正理解其含義，把知識靈活運用到解決問題中去，由淺入深地達到熟能生巧的目的。

例2 如圖8，已知直線AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，求∠C的度數。

設計意圖：強化學生熟練運用定理的能力，增強學以致用的信心和樂趣。

圖8

四、感悟收獲，鞏固訓練

1.這節課你學到了什么？你收獲了什么？

2.獨立完成教科書第172頁的練習1、2兩題。

設計意圖：教師引導學生踴躍發言，談各自對這節課的感受和體會；對學生還有困惑的地方，教師及時給予解惑。

五、教學反思

本節課的教學中，三角形的剪拼，證明定理時如何添加輔助線的探討，往往耗時較多，因此課前必須周密地計劃好，在課堂上爭取有條理有層次地引導學生有序推進。

操作探究得到的結論，一般只是一種合情推理基礎上的猜想，其中包含有一定程度近似運算的思想。譬如“剪拼”中發現三個內角拼成一個平角，這里“拼成一個平角”更多依靠的是操作者在觀察基礎上的近似判斷。在教學中，教師應引導學生認識到這種“動手操作”是發現數學結論的常用手段之一。但教學的重點不在如何剪拼上，而是如何從“剪拼”前后圖形變化中發現隱藏的一般性規律，并將這個規律用數學符號語言或文字敘述表述成相對精練的“一般結論”。教學中引導學生認識到這一點，學生才能充分理解推理證明的必要性。

課堂上，教師的“導”立足于學生的“學”，學生通過動手操作和合作交流，主動參與到知識形成的思維中，將抽象的邏輯證明和直觀探索聯系起來，成功實現了從合情推理到演繹推理的轉變，堅持了學生是主體、教師是主導的教學理念。

圖9

課堂教學可以充分利用幾何畫板輔助的作用，將知識形象化、動態化。“靜”中生“動”，“動”中求“靜”，重視數學思想方法的滲透，激發學生學習數學的興趣，培養學生的思維能力。例如，在課堂活動二中，利用課件演示，三角形的BC邊不動，把頂點A“壓”向BC，∠A越來越大，使其趨近于180°，而∠B與∠C的和越來越小，趨近0°，如圖9；三角形的BC邊不動，把頂點A“拉離”BC，∠A越來越小，使其趨近于0°，而∠B與∠C的和越來越大，它們的和越來越接近180°（圖略）。這樣學生便能容易“看到”結論，如此教學也順便給學生“種上”了數學極限的思想。