“學材再建構”的智慧實施
——以“二次函數”起始課為例

■徐 勤

教學案例

一、背景分析

“學材再建構”是李庾南老師倡導的“三學”（學材再建構、學法三結合、學程重生成）的重要組成部分，指師生根據學習任務，為實現學習效益最大化，對各種顯性學材和隱性學材進行主動加工重構。

在“二次函數”起始課教學中，很多教師的教法是從大量的實際問題中抽象出二次函數模型，然后研究定義并對定義進行強化練習。學生的整個學習過程幾乎是前面一些問題的再練習。由于學生學習一次函數后，對研究函數的基本思路已大致了解，筆者認為“二次函數”起始課采用單元教學，順應了學生原有知識體系，也順應了學生的最近發展區。

二、教學實踐

活動設計（一）創設情境，類比生成概念。

1.用20m長的籬笆圍成一個矩形花圃，設矩形花圃的一邊AB長為xm。思考：若改變x的值，矩形的哪些量隨著x的變化而變化？

問題1：若把鄰邊BC的長記作y，你能寫出y與x之間的關系嗎？

追問：y是x的函數嗎？為什么？這是什么函數？什么是一次函數？我們是從哪些方面研究一次函數的？

問題2：矩形的面積s與x之間有什么關系？它們之間是否也具有函數關系？為什么？我們將這個關系式化簡，得s=-x2+10x。s是x的一次函數嗎？

師：從本節課開始，我們研究一種新的函數——二次函數。（板書課題）

2.觀察類比，形成概念。

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫作二次函數。其中，x是自變量，a，b，c分別是函數解析式的二次項系數、一次項系數和常數項。

設計意圖：在教授二次函數的定義時，筆者沒有采用教材上所呈現的方式進行常規教學，而是先從幾個實際問題入手，列出關系式，再讓學生觀察其特征或共同點，然后歸納出二次函數的定義，最后對概念進行拓展練習。這是基于以下三點進行考量的：一是學情，同類型的訓練教學中已經涉及，學生已熟悉；二是對二次函數的定義不必過多地進行辨析和拓展，這些與前面的方程的定義和一次函數的概念屬于同類型練習；三是一個開放的問題情境有利于提高學生發現問題、提出問題的能力，調動學生的主觀能動性，這也是新課標所提倡的。在這個導入過程中，二次函數的定義由學生自主發現、自我概括而成，是基于已有經驗生成新知，從注重思維結果向注重思維過程轉變。

活動設計（二）構建框架，明確研究方向。

1.類比一次函數研究內容，建構二次函數章節知識框架，明確研究方向。

2.回顧一次函數的圖像和性質的研究思路。

（1）通過列表、描點、連線畫函數圖像，觀察圖像，得到函數性質；

（2）從特殊的y=kx（k≠0）到一般的y=kx+b（k≠0）的研究思路；

（3）討論兩種情況（k＞0，k＜0），歸納。

活動設計（三）繪制圖像，探究函數性質。

1.類比聯想，明確研究方法。

學生繪制y=3x的圖像。

教師提問：如果圖像上有點（m，n），那么橫坐標為-m的點的縱坐標為多少？說明什么？能總結一下圖像關于原點對稱的代數刻畫嗎？那么圖像關于y軸對稱的代數刻畫呢？y=3x的圖像過原點且僅在第一、三象限，這種區域性能用代數刻畫嗎？可以借用這樣的判斷方法去驗證當k＞0的正比例函數。

2.代數思考，探究數形模型。

探究特殊二次函數y=x2的圖像。學生列表描點畫出圖像。

結論：函數的圖像關于y軸對稱；因變量的值應該都不小于0。

網友們的第一反應也是不太相信，有的調侃說：我超意興準備接手山東男籃，有的比較悲觀：難道濟南找不到一家可以接手山東男籃的私企了嗎？

教師提問：由函數解析式的結構特點和表格中所列數據的特點，解釋為什么圖像會有這樣的特點：

（1）過原點（0，0），其余各點均在x軸的上方；

（2）無最高點，原點為最低點；

（3）圖像關于y軸對稱等。

設計意圖：探究二次函數的圖像，讓學生在“大致→精致→一致”中穿行，就是一個思維從抽象到具體的活動過程。學生在互動過程中，有獨立思考、合作交流、實踐操作，總是在歷練自己的思維，感受思維的魅力。

3.幾何觀察，提煉函數性質。

師：畫出函數 y=-x2、y=-2x2的圖像。觀察這些拋物線有何共同點和不同點。它們之間是否有著某些聯系？

教師引導學生在畫圖之前先預測圖像的特征，然后再動手畫圖驗證。

二次函數y=ax2(a≠0)的圖像特征與函數性質：函數y=ax2(a≠0)中， ||a越大，拋物線開口越小； ||a越小，拋物線開口越大。

設計意圖：對于具備一定抽象能力的九年級學生來說，二次函數的圖像所承載的教學價值絕不是用“列表、描點、連線”畫圖，而是讓學生根據函數表達式，在不需要畫出精確圖像時，就能判斷函數圖像的一些特征和大致形狀，這是一種思維價值。當學生畫出比較精確的圖像后，與想象的圖像進行對比，能讓學生體驗到成功的樂趣和思維的魅力。這樣的思維經驗還會延伸到后續各種結構的二次函數以及反比例函數的圖像研究上，不僅讓學生在學習中創新發展，而且還培養了其“由數想形”的思維能力，以達到眼中無圖、心中有圖的境界。

三、教學反思

（一）在類比中生長。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出，數學知識的教學，要注重知識的生長點和延伸點，把每堂課教學的知識置于整體知識的結構體系中，注重知識的結構和體系，引導學生感受數學的整體性。本節課不僅關注數學知識的生長點和延伸點，同時重視了學習的經驗方法。一次函數的研究經驗和方法為本節課提供了重要的知識基礎和經驗基礎。在實施教學的過程中，筆者很好地抓住這樣的契機，通過類比一次函數的研究框架自主建構本章的研究脈絡，讓學生明晰研究的內容和方向，感受數學的整體性。在研究圖像性質之前，由正比例函數的式結構和形結構展開類比聯想生成本節課的新知，實現了課堂的高效益。

（二）在實踐中完善。

在以往的聽課過程中，很多同仁在學生畫圖出現錯誤時，會直接告訴學生應該用平滑的曲線連接。事實上，學生對為什么是曲線是不理解的。所以本節課在學生由數猜形、釋形的過程中，基本由學生暢所欲言，充分暴露其思考中的一些問題，在描點連線后也展示了一些有問題的圖像，然后引導學生思考這些問題如何修正，比如到底是用光滑的曲線還是折線，讓學生充分展開討論，最后通過用幾何畫板密集取點的方式驗證學生討論的結果，完善了學生對二次函數圖像的認識。

（三）在探究中內化。

學生在研究得出y=x2的性質后，再研究y=的性質時，已經從使用先前單一的方法變成了用多種思考方法，比如有列表、描點、畫圖進行探究的，也有從解析式的特點入手，先說出圖像的共同點和不同點，還有通過列表，利用表中的數據進行對比研究的。學生能通過本節課的探究活動將知識內化成解決新問題的策略方法，無疑實現了本節課的教學價值。

本文系江蘇省“十三五”規劃立項課題“初中課堂學程生態化建設研究”（課題編號：E—c/2016/19）階段性研究成果之一。

推薦書目

它是一部將生命生長理念遷移到初中數學教學中的理論創新圖書，也是一部踐行生長數學教學主張的實踐操作用書，還是一部彰顯數學生命力的科普指導用書，更是一部讓數學核心素養在課堂教學中落地生根的教學研究用書。

本書作者卜以樓是生長數學的設計者、倡導者、探索者、實踐者，江蘇省特級教師，正高級教師。全書展示他對生長數學的12個教學主張，30個經典案例，其中有半數被中國人民大學復印報刊資料全文轉載。

書名：生長教學：卜以樓初中數學教學主張

作者：卜以樓

出版社：陜西師范大學出版總社