例談學生數學邏輯推理能力的培養
——以“相似三角形的應用1”的教學為例

■朱加軍

（作者單位：江蘇省江陰市峭岐中學）

在小學數學階段，學生對邏輯推理的經歷主要是以直觀猜想為主的規律探尋，是“經驗型”思維，缺少理論支撐，邏輯性不強。初中數學“公理”“定理”“概念”等知識增多，學生隨著年齡的增長和認知水平的發展，要逐漸過渡到“理論型”邏輯推理階段。因此，初中數學教師在課堂教學中，要根據學生學習數學的邏輯障礙，有針對性地、循序漸進地促進他們邏輯思維的發展，有效培養他們的邏輯推理能力，這也是初中數學教學的重、難點。本文根據數學核心素養的要求，結合蘇科版九年級《數學》“相似三角形的應用1”的教學片段，試從以下四個方面談一談課堂中學生邏輯推理能力的培養。

一、預設情境，激發興趣，推動邏輯推理能力的發展

“樂學”是核心素養提出的學會學習中的一個要求，也是學生學習數學過程中最為重要的數學素養。學生邏輯推理能力的發展，更加需要一個興趣盎然的環境。因此教師教學時，要精心設計一個富有生活趣味的、能引起學生關注并希望深入了解的問題，使學生樂于思索，從而推動其邏輯推理能力的發展。

在“相似三角形的應用1”課堂伊始，教師便拋出一個問題：

在某一個晴天，你手中只有最大測量長度為20米的卷尺。請問，你如何測量一個12層居民樓的高度？說說你的方案。

生1：可以先量一層樓的高度，再乘樓層數。

生2：不可以，因為樓層高度并不完全相同，絕大多數的樓是一樓的層高較高，況且還有頂樓的高度無法測量。此方案行不通。

生3：可以先立一根木桿，然后退到適當位置，當看到木桿的頂端與樓頂重合時，就可以運用我們學過的相似三角形的知識解決了。示意圖如圖1。

圖1

師：生3的方案的確不錯，具有了操作性，也能測出相對準確的高度，這是我們以前學習的方案。但假如沒有木桿，你能利用現有的工具來測量嗎？不要忘了天氣是晴，所有的物體在太陽下都會有影子。

生4：可以先測出一個人及其影子的高度，再測出大樓的影子長，然后利用比例，就可以求出樓高了。

到此，問題解決。此問設計的目的是活躍課堂氣氛，提升學生思考的欲望，增加學生學習新課的興趣。學生積極思考問題，會想出多種方案，但方案提出后需要運用邏輯推理來驗證方案的可行性與可操作性。實際上從問題提出，到疑問產生，到方案產生，到驗證方案的可行性，再到答案的給出，就是一個基本的邏輯推理過程，也是一個激發學生興趣、培養學生樂學素養的過程。

二、厘清概念，完善問題，培養邏輯推理的嚴密性

面對數學問題，進行邏輯推理時，會涉及眾多的數學概念。厘清概念是數學邏輯的基礎，也是邏輯推理正確發展的保障。為此，課堂上教師進一步提出更完整的數學問題。

師：如圖2，在某晴天的某一時刻，一個身高1.8米的學生在太陽下的影子長是0.6米，同一時刻，某一大樓的影子長是12米。你能計算出此大樓的高嗎？

圖2

師：此題中，生4的比例式如何得出？

生5：可以依據相似三角形的性質得出。

師：你能說說哪兩個三角形相似嗎？

生5：大樓與自己的影子構成了一個直角三角形，人與自己的影子也構成了一個直角三角形。這兩個直角三角形相似。

師：如果真如你所說的相似，那么它們的相似條件是什么？

生5：太陽的光線是平行的，因此它們與地面構成的角是相等的，大樓、人與地面都是垂直的，因此它們與地面形成的角都是直角。這樣，這兩個直角三角形兩組角相等，所以兩個三角形相似。

本節課是一節數學知識技能的運用課，所涉及的知識基本都是數學方法的運用，要求掌握的新的數學概念基本沒有，但在解決問題的過程中，仍然需要強化所涉及的一些概念。比如此問題中，對于“同一地點下的陽光是平行光”這一物理知識中的概念需要再次明確；人、大樓分別與水平地面是垂直的。這些基本概念是保證樓高、樓影長構成的直角三角形與人高、人影長構成的直角三角形相似的關鍵，也是進行下一步邏輯推理計算的保證。這是從小學直觀的邏輯推理，走向初中嚴密的邏輯推理的關鍵過程，是培養學生“有實證意識和嚴謹的求知態度”的良好方法。

三、構建數學模型，培養抽象能力

學生的核心素養要求中提出，要能運用科學的思維方式認識事物、解決問題、指導行為。構建數學模型是一個非常有效的思維方式，也是促進邏輯推理能力發展的快速有效的良好方法。將上題抽象成數學問題，是學生將新知轉化為舊知，將實際問題歸納為數學問題的關鍵。

生6：可以將實物圖轉化成圖3，在Rt△ABC與Rt△DEF中，邊AB表示大樓，邊CB表示大樓的影子，邊DE表示人高，邊EF表示人的影子。

生7：雖然生6的圖3可以解決此題，但仍然不夠簡潔。我們知道，大樓不可以移動，但是人可以移動，同時轉換視角，就可以將人與大樓重疊到一起，如圖4，兩個三角形的相似就可以相對容易得出，比例也相對容易得出。

圖3

圖4

不難看出，生7構建的數學模型更為簡潔、有效，也更能直觀表現出物高與影長的比例關系。因此，建立一個簡潔、有效的數學模型，在邏輯推理過程中可以簡化思維過程，明晰邏輯推理思維的方向。所以在課堂教學中教師應當善于引導學生建立簡潔、有效的數學模型，讓學生從問題的感知升華為思維的感知，最終形成一定的思維模式，歸結為一定的數學模型，讓學生的思維層次進一步提高，為推理積累感性的經驗。數學中很多的邏輯證明的方法，如分析法、反證法、類比法、歸納法等都是按照邏輯推理的規律進行的一種數學活動，有利于邏輯思維能力的發展。

四、規范說理過程，彰顯數學素養

語言的源泉是理性思維，也是邏輯推理的過程呈現。邏輯推理過程的學習一定程度上也可以說成是數學語言的推理過程。教學中，要鼓勵學生在自己獨立思考的基礎上與同學、教師交流，以此來促進邏輯推理思維的成熟，讓推理更嚴密。教師在教學中應當適時管控推理的進程，規范說理的策略，逐漸形成“條件A+條件B+條件C+…=＞結論”的形式，多引導學生質疑、糾錯，幫助學生將邏輯推理內化成一種本能。如：

師：同學們，能否就圖3說一說比例式成立的理由？

師：在生8的答題過程中有沒有欠缺的地方？

生9：生8沒有將兩個三角形相似的理由說清楚。我可以將這部分補充完整，補充如下：

根據題意得：AB⊥BC，DE⊥EF，AC∥DF，∴∠ABC=∠DEF=90°，∠ACB=∠DFE，∴Rt△ABC∽Rt△DEF。

師：生9補充得很好。在邏輯推理的過程中，我們應當注重數學語言的表述，同時也要注重邏輯推理的完整性、嚴密性。在生8與生9的共同努力下，此題的解答過程就完整了。

數學是一個完整而又嚴密的體系，有獨有的符號作為科學的語言對邏輯推理過程進行表述。數學課堂中對一些問題的解答、證明過程，用數學語言嚴謹地推理，就是一個邏輯思維活動的過程。因此，提高學生運用數學語言的能力，可以提高學生的數學素養。