改編課本例題　結構一以貫之

函數是重要的數學模型，用二次函數解決問題是中考的熱點。教材中的例題蘊含著豐富的知識經驗和思想方法，往往是中考的重要素材。下面對蘇科版《數學》教材中“5.5用二次函數解決問題”的問題2以及練習進行改編并延伸（見例題），希望幫助同學們加深對此類問題的理解。

例題 某產品每件的成本是12元，已知銷售單價x元與日銷售量y件之間的關系式是y=200-10x，當銷售單價定為多少元時，日銷售利潤最大？請求出此時的最大利潤。

【解析】應用題中的總利潤通常可以使用兩種辦法獲得：（1）總售價-總進價，即單個售價×銷量-單個成本×銷量;（2）單個利潤×銷量，即（單個售價-單個成本）×銷量。結合本題，使用（1），可列出代數式x（200-10x）-12（200-10x）;使用（2），可列出代數式（x-12）（200-10x）。無論是從思考的方式上還是從代數式形式上看，方法2更加簡潔，更推薦使用。此時，我們會發現總利潤式子的結構是C=A·B（A、B分別代表單個利潤、銷售量），接下來我們也可以從結構的角度解決此類問題。

解：設日銷售利潤為w元，根據題意可得：

w=（x-12）（200-10x）

=-10x2+320x-2400

=-10（x-16）2+160。

當x=16時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化1 某產品每件的成本是12元，已知每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如圖所示，要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】根據總利潤的結構C=A·B，只需要表達A和B，A在上題中已經表示過了，那么只需要表示B即可。圖中的線段告訴我們，日銷售量y是銷售價x的一次函數，所以可以利用待定系數法先求出y和x的函數關系式，這樣就可以將這個問題轉化為例題來解決。

解：設y=kx+b，根據題意可得：

[80=12k+b，50=15k+b，]

這個方程組的解為[k=-10，b=200。]

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化2 某產品每件的成本是12元，已知每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

[x（元） 13 14 15 … y（件） 70 60 50 … ]

若日銷售量y（件）是銷售價x（元）的一次函數，要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】一次函數常見的表達形式有關系式、圖像和表格三種，此題中給出了一次函數的表格形式。和變化1一樣，只需要表示B即可。題中告訴我們日銷售量y是銷售價x的一次函數，所以，可以利用待定系數法先求出y和x的函數關系式，這樣就可以將這個問題轉化為例題來解決。

解：設y=kx+b，根據題意可得：

[70=13k+b，60=14k+b，]

這個方程組的解為[k=-10，b=200。]

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

變化3 某產品每件的成本是12元，若以成本價銷售，每天的銷量是80件。如果每件產品的銷售價每漲價1元，產品的日銷售量就減少10件，要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】此題中“每漲價1元，產品的日銷售量就減少10件”其實就是一次函數關系的文字描述。那么在解題方法上也有三種：（1）根據題意，價格為13元時，銷量是70元，下面可以利用待定系數法求出銷售量y（件）與售價x（元）的函數關系式：y=-10x+200，解題思路和變化1類似;（2）從結構入手，B的結構應該是“D-E”，即“80-10（）”，而括號里的內容就是“漲價后增加了多少錢”，若設每件產品的銷售價為x元，顯然可用“x-12”表示，所以B可以表示為80-10（x-12）;（3）借助（2）中的思路，設每件產品漲價x元，那么E中括號里的內容可以直接表示為x，不一樣的是A的代數式也要變成x。歸根結底，就是用不同的方法表示A或者B。

解法1：設每件的銷售價為x元，銷售量為y件，根據題意知y=kx+b，可得：

[80=12k+b，70=13k+b，]

這個方程組的解為[k=-10，b=200。]

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設每件的銷售價為x元，日銷售利潤為w元，根據題意可得：

w=（x-12）[80-10（x-12）]

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設每件漲價x元，日銷售利潤為w元，根據題意可得：

w=x（80-10x）

=-10（x-4）2+160。

當x=4時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化4 某產品每件的成本是12元，若每件產品以售價17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產品的銷售價每降價1元（價格不可低于成本），產品的日銷售量就增加10件，要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】首先仍然明晰結構C=A·B。若設每件產品的銷售價為x元，A可以表示為“x-12”。根據變化3中的思路，可以利用待定系數法表達B中銷售量和銷售價之間的關系，也可以根據題意表達B中的式子為“30+10（17-x）”。當然也可以設降價x元，間接表達出A和B。

解法1：設每件的銷售價為x元，銷售量為y件，根據題意知y=kx+b，可得：

[30=17k+b，40=16k+b，]

這個方程組的解為[k=-10，b=200。]

∴y=-10x+200。

下面的做法可參考例題，略。

解法2：設每件的銷售價為x元，日銷售利潤為w元，根據題意可得：

w=（x-12）[30+10（17-x）]

=-10x2+320x-2400。

下面的做法可參考例題，略。

解法3：設每件降價x元，日銷售利潤為w元，根據題意可得：

w=（17-x-12）（30+10x）

=-10（x-1）2+160。

當x=1時，w的值最大，最大值是160。

答：銷售單價定為16元時，日銷售利潤最大，此時的最大利潤是160元。

變化5 某產品每件的成本是12元，若每件產品以售價17元銷售，每天的銷量是30件。如果每件產品的銷售價每降價3元（價格不可低于成本），產品的日銷售量就增加30件，要使每日的銷售利潤最大，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

【解析】和變化4相比，只有一句話不一樣，其實“每件產品的銷售價每降價3元，產品的日銷售量就增加30件”在數量關系上就等同于“每件產品的銷售價每降價1元，產品的日銷售量就增加10件”，所以就可以把變化5轉化為變化4。類似地，如果出現“每件產品的銷售價每降價0.5元，產品的日銷售量就增加5件”，同樣可以轉化為變化4。

（作者單位：南京外國語學校仙林分校麒麟中學）