厘清二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系

陳小鋒　費菲

同學們對知識的掌握和運用能力取決于理解程度。二次函數(shù)是初中數(shù)學學習的重點，也是難點，厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系對學好二次函數(shù)尤為重要。

一、以形論數(shù)，厘清二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的關(guān)系

例1 （2019·隨州）如圖所示，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，OA=OC，對稱軸為直線x=1，則下列結(jié)論：①abc<0;②a+[12b]+[14c]=0;③ac+b+1=0;④2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根。其中正確的有（）。

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【分析】二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間的直接關(guān)系有以下幾個方面：我們可以根據(jù)圖像的開口方向得到a的取值范圍，再根據(jù)對稱軸得到a與b的關(guān)系，從而得到b的取值范圍，還可以根據(jù)圖像與y軸的交點，得到c的取值范圍，結(jié)論①可由此判斷。將以上條件綜合梳理或者進行代數(shù)分析可以呈現(xiàn)其他類似結(jié)論，結(jié)論②即可由等式的變換進行判斷。二次函數(shù)圖像與系數(shù)之間還暗存特殊關(guān)系，如a、b、c結(jié)合的等式，需要考慮圖像中的特殊點，本題由OA=OC可得A的坐標，代入解析式可判斷③，由點A坐標結(jié)合對稱軸可得點B坐標，據(jù)此可判斷④，結(jié)論②也可以運用特殊點的位置求解。

【解析】∵拋物線開口向下，∴a<0，∵拋物線的對稱軸為直線x=[-b2a]=1，∴b=-2a>0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c>0，∴abc<0，所以①正確。

方法1：∵b=-2a，∴a+[12b]=a-a=0，∵c>0，∴a+[12b]+[14c]>0，所以②錯誤;方法2：若a+[12b]+[14c]=0成立，則4a+2b+c=0，該等式可以看作是當x=2時，函數(shù)y=0，而從圖像的對稱性可知當x=2時，y>0，所以②錯誤。

∵C（0，c），OA=OC，∴A（-c，0），把A（-c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2-bc+c=0，∵c>0，∴ac-b+1=0，所以③錯誤。

∵A（-c，0），對稱軸為直線x=1，∴B（2+c，0），即2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個根，所以④正確。

綜上，正確的有2個，故選B。

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解決此類問題需要明確以下幾點。

1.當a>0時，拋物線開口向上;當a<0時，拋物線開口向下;a的絕對值決定了拋物線的開口大小，即拋物線的形狀。

2.當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸的左側(cè);當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸的右側(cè)（簡稱：左同右異）。

3.常數(shù)項c決定拋物線與y軸的交點，拋物線與y軸交于（0，c）。

二、以數(shù)定形，把脈關(guān)鍵信息，速解中考小題

例2 （2019·河南）已知拋物線y=

-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點，則n的值為（）。

A.-2B.-4C.2D.4

【分析】根據(jù)拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點可知，這兩點縱坐標相同，以數(shù)定形，兩點既在直線y=n上，也在拋物線y=-x2+bx+4上，則兩點的坐標也可以看作是二元二次方程組[y=-x2+bx+4，y=n]的兩個解;又知這兩點是關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的，從而可以根據(jù)兩點橫坐標的關(guān)系確定拋物線的對稱軸為x=1，再由對稱軸與系數(shù)的關(guān)系即可確定b的值，解出n。

【解析】二次函數(shù)y=-x2+bx+4中，a=-1，b待定，c=4，對稱軸可表示為x=[b2]，拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過（-2，n）和（4，n）兩點，可知函數(shù)的對稱軸x=1，∴[b2]=1，∴b=2，∴y=-x2+2x+4，將點（-2，n）代入函數(shù)解析式，可得n=-4。答案選B。

【點評】例題中以數(shù)定形，從拋物線y=-x2+bx+4經(jīng)過兩點（-2，n）和（4，n），看透坐標的本質(zhì)特性，抓住軸對稱這一關(guān)鍵性的信息，可迅速打開思路。本題還可以抓住點在線上，將兩點代入拋物線，得到二元一次方程組解決問題。

三、雙向思考，把握數(shù)形結(jié)合思想精髓

例3 （2019·維坊）拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1。若關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0（t為實數(shù)）在-1

A.2≤t<11 B.t>2

C.6

【分析】由拋物線的對稱軸是直線x=1可以快速得到拋物線的解析式為：y=x2-2x+3，對于一元二次方程x2+bx+3-t=0，即x2-2x+3-t=0，可將其變形為x2-2x+3=t，結(jié)合以數(shù)識形、以形識數(shù)的雙向思考，把問題轉(zhuǎn)變?yōu)椋涸?1

【解析】∵拋物線y=x2+bx+3的對稱軸為直線x=1，∴x=[-b2]=1，∴b=-2，∴拋物線的解析式為：y=x2-2x+3。∵一元二次方程x2+bx+3-t=0有實數(shù)根，可以看作函數(shù)y=x2-2x+3與函數(shù)y=t有交點，又∵方程在-1

【點評】將一元二次方程的問題轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點問題，并結(jié)合圖像解決問題是答題的關(guān)鍵。理解題目的意思，以數(shù)識形、以形識數(shù)的雙向思考并進行轉(zhuǎn)化是本題的難點。當我們真正厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系，看透數(shù)中蘊含的幾何特征，巧用數(shù)形結(jié)合，將為我們正確解題錦上添花。

圖1

圖2

例題中我們畫出二次函數(shù)的圖像（如圖1），并截取-1

同學們，厘清二次函數(shù)中的數(shù)形關(guān)系，只是學好二次函數(shù)的基礎，二次函數(shù)與方程、不等式、其他函數(shù)、幾何圖形及生活實際都能整合聯(lián)系，因此也成為中考壓軸考點之一。更深入的理解還需同學們在具體實踐中繼續(xù)磨礪。

（作者單位：江蘇省南京江寧開發(fā)區(qū)學校）