基于雙線性理論的土壤介電測量研究

許景輝 趙鐘聲 王一琛 王 雷 邵明燁

(1.西北農林科技大學旱區農業水土工程教育部重點實驗室， 陜西楊凌 712100；2.西北農林科技大學水利與建筑工程學院， 陜西楊凌 712100；3.西北農林科技大學機械與電子工程學院， 陜西楊凌 712100)

0 引言

土壤水分是陸地水資源的重要組成部分之一，土壤含水率嚴重影響著植物、土壤微生物等生命的健康狀態[1-3]，也是水文模擬、農業用水管理和大多數相關土壤學研究的關鍵變量之一[4-5]。土壤介電特性可以間接反映其含水率[6-10]。與其他測量方法相比，介電法自動化程度好、測量精度高，具有明顯技術優勢與良好發展潛力。

土壤介電常數精確計算測量是介電法測量土壤含水率的技術關鍵。當前土壤介電常數測量方法主要有傳輸線法、諧振法、自由空間法以及神經網絡法等[11]。與其他方法相比，傳輸線法基于經典NRW傳輸/反射法原理進行測量[12-14]，其算法相對計算簡單，不涉及超越方程[15-16]，應用較廣。HASTED[17]提出一種基于頻域的介電常數計算模型，其模型公式參數較多，對頻域穩定性要求較高；CLARKSON等[18]描述了一種插入式探針的散射參數S11轉換為復介電常數的介電測量模型，但探針制作繁瑣，且對材料有嚴格要求；LOGSDON[19]提出了一種測試夾具簡便、模型計算精度較高的Logsdon and Laird 模型，但高頻損耗較大，不適于2 GHz以上測量；SKIERUCHA等[20]研發了一種末端開路介電常數測算模型，但主要適合平板式探頭。以上模型測算土壤介電常數系統要求較高，用于介電法小范圍、單點數土壤含水率測量適用性較好，而對寬頻段、特異性土壤含水率介電法監測，使用成本較高。

為降低測量條件，本文采用雙線性理論構建雙線性介電計算模型。通過7種典型土樣，探究雙線性介電計算模型對土壤介電測量的適應性。在分析介電譜基礎上，研究土壤介電特性與含水率規律，建立基于雙線性介電計算模型的土壤含水率測量經驗公式，以期為土壤介電特性研究以及土壤含水率介電法監測提供研究理論與方法。

1 材料與方法

1.1 雙線性介電計算模型原理

文獻[21]中最早使用雙線性理論將散射參數S11轉換為復介電常數。在時域中，復介電常數計算公式為

(1)

式中εx——復介電常數

A、B——探頭參數ρx——反射系數

C——平滑系數，取0～1

利用數值傅里葉變換將時域變換為頻域，可將式(1)簡化為[22]

(2)

式中ω——角頻率

C(ω)在0～1之間，在本模型構建中忽略；A(ω)、B(ω)可用線性方程組求解。ρx(ω)為傅里葉變換中將時域變換為頻域后反射系數，在頻域電磁測量中標準式為

(3)

式中rs(ω)——輸入脈沖

rx(ω)——反射脈沖

本研究使用改進的反射系數表達式，即2個雙線性分析參考材料測量散射參數相對于在空氣中測量的參考散射參數進行標準化[23]

(4)

式中ρSF(ω)——材料計算反射系數

S11ref——常溫下空氣散射參數

S11m——被測材料散射參數

本模型構建中，2個參考材料分別為去離子水(介電常數81，T=20℃)、Isopropoxyethanol (異丙氧基乙醇)100%溶液(介電常數12，T=20℃)。利用已知2種材料的復介電常數值以及反射系數ρSF(ω),通過式(2)構建2個方程來求解探頭參數A(ω)、B(ω)。然后，利用所得參數A(ω)、B(ω)求解待測材料介電譜。使用線性方程組求解參數時，其中2個參考材料測量散射參數相對于使用改進的反射系數表達式(式(4))在空氣中測量的散射參數進行標準化。

采用Logsdon理論[24]將復介電常數轉換為視在介電常數的計算公式為

(5)

式中κa——視在介電常數

ε″——復介電常數虛部

ε′——復介電常數實部

1.2 模型標定與參數驗算

1.2.1標定溶液配置與測量

采用6種不同Isopropoxyethanol和水體積比混合溶液(I∶W)。表1為6種不同體積比混合溶液及其視在介電常數，其中Isopropoxyethanol溶液密度為0.903 g/cm3，水為1 g/cm3。

本研究在室內常溫((23±2)℃)下進行，采用Anritsu-MS2028B型矢量網絡分析儀，設定測量頻率為0.001～3 GHz，采樣點數632點，矢量網絡分

表1 6種不同I∶W體積比混合溶液及其視在介電常數Tab.1 Six different(I∶W)volume ratio mixed solutions and their dielectric values

析儀采用端口1進行測量，使用BNC連接頭將矢量網絡分析儀延長線和探頭相連，矢量網絡分析儀開機2 h后用開路、短路和50 Ω負載校準件(Maury microwave 85050B)校準。測量夾具采用3.5 mm末端開路自制探頭。

為確定系統穩定性與測量數據準確性，使用末端開路探頭測量每種混合溶液3次，對得到的網絡散射參數S11通過雙線性介電計算模型轉換成復介電常數，且3次測量結果取平均值。

1.2.2標定與驗算結果分析

對模型標定檢驗與參數計算驗證主要體現在標定混合溶液介電普特性規律上，從圖1、2可以看出，本文構建的雙線性介電計算模型對6種不同I∶W體積比標定溶液所測介電譜(復介電譜、視在介電譜)變化符合介電弛豫規律。當頻率小于1 GHz時，隨著頻率的增加復介電常數實部緩慢變化，在0.001～1 GHz之間，介電實部為常值，復介電常數虛部緩緩上升；當頻率大于1 GHz時，復介電常數實部隨頻率增大急劇下降，虛部上升斜率增大；視在介電常數介電特性表現與復介電常數實部趨勢幾乎相同，且視在介電常數與實際介電值在低頻段幾乎一樣，所測介電譜與張燦燦[25]、徐肖偉等[26]對無機材料所測介電譜趨勢相同，符合材料德拜介電理論模型規律[27]。說明本文構建的雙線性介電計算模型對混合材料介電譜測量有良好適用性，同時對模型參數得到良好計算與驗證。

圖1 6種不同I∶W體積比混合溶液復介電常數頻譜Fig.1 Complex permittivity constant spectrum of six different I∶W volume ratio complex solution

圖 2 6種不同I∶W體積比混合溶液視在介電常數頻譜Fig.2 Apparent dielectric constant spectrum of six different I∶W volume ratio complex solution

2 土壤介電測量

2.1 介電譜測量

為探究雙線性介電計算模型在土壤介電測量中的適應性，試驗選用6種不同質地自然土壤以及化學性能穩定的石英砂，7種土樣物理特性如表2所示。對7種土樣經自然風干后研磨，過18目篩(孔徑2 mm)，然后放入105℃干燥箱干燥24 h，干燥后土樣裝入密封塑料袋中保存備用。根據土樣各自填裝密度，計算并用去離子水配比0、5、10、15、20、25、30 cm3/cm3體積含水率土樣各3份。試樣裝入PVC管(管高7.0 mm，直徑66 mm)中并在室內常溫下靜置8 h以上?？紤]到環境溫度對介電特性影響，實驗在室內常溫((23±2)℃)下進行土樣介電測量，采樣點數632、設定頻率范圍0.001～3 GHz。

在探頭接觸部位用鋁盒取每個PVC管中土樣各3份，用萬分之一天平(Mettler Toledo AL104型)稱量并記錄，將鋁盒放入干燥箱中干燥12 h，用干燥法計算所測土樣實際體積含水率，取3份土樣平均值作為該PVC管中土樣實際體積含水率。

2.2 結果與分析

通過Anritsu-MS2028B型矢量網絡分析儀對7種土樣測量，將測得網絡散射參數S11用雙線性介電計算模型轉換成復介電常數，且3次測量結果取平均值，其復介電常數譜如圖3所示。圖中，土壤實際體積含水率(cm3/cm3)為相應土壤干燥法所測體積含水率。

表2 7種土樣物理特性Tab.2 Seven soil samples physical properties

圖3 7種土樣復介電常數頻譜Fig.3 Seven kinds of soil samples complex permittivity spectrum

2.2.1復介電常數與含水率關系

從圖3可以發現，復介電常數均有隨頻率增大而下降的趨勢，并在頻率300 MHz左右時趨于平緩，且不同體積含水率對應的復介電常數實部有明顯區分性。對復介電常數實部，在100 MHz頻率以下時下降趨勢較為顯著，而對粘粒含量較高的黃粘土、紅土、粘壤土、黃綿土下降變化更迅速。對復介電常數虛部，在頻率小于1 GHz內下降趨勢比較明顯，而后隨著頻率增大，在降為最低值后均有不同程度緩慢上升。

研究表明，介質復介電常數是綜合反映介質極化的宏觀物理量，土壤復介電常數實部主要反映土壤介電特性[28-29]。根據介質極化過程對土壤介電特性影響不同，造成土壤復介電常數變化的極化主要有界面極化、轉向極化、Maxwell-Wagner極化、離子極化、電子極化等。其中，界面極化會同時影響土壤復介電常數實部與虛部，但對復介電常數實部影響較大。低頻下界面極化使土壤內部正負離子在外電場作用下在某一界面上聚集，導致土壤中電荷分布不均勻，產生宏觀電矩，最終導致土壤在低頻率下復介電常數較大；而隨著頻率增大界面極化影響變小，復介電常數實部也逐漸減小并趨于平穩，從圖3可明顯看到此趨勢。從理論上說，隨頻率增大土壤極化主要為離子極化與電子極化，且這兩種極化可以削弱土壤質地等因素對其混合極化的影響，增強土壤介電測量抗干擾性，提高土壤高頻介電測量適應性。

復介電常數虛部可綜合反映土壤介電損耗與電導損耗，是土壤介電測量電磁損耗的重要表現。造成土壤介電損耗主要為土壤體電流熱損耗與電容電流熱損耗[30]。研究表明，在低頻介電測量時，隨頻率增大，土壤溶質引起的傳導電流變小，復介電常數虛部逐漸下降并趨于平穩；但當頻率超出特定值后，隨著測量頻率增大，土壤極化弛豫現象增強，土壤松弛極化與轉向極化同外電場變化同一性變差，兩種極化速度延遲于外加電場變化，造成介電測量電磁損耗逐漸增大。因此圖3中，復介電常數虛部在降為最小值且穩定一段后，隨頻率增大而后又有不同增大，且隨著含水率增大其上升斜率越大。

通過以上復介電常數(實部、虛部)介電譜與土壤含水率關系分析可知，基于雙線性介電計算模型所得土壤復介電常數變化趨勢可以明顯反映出土壤混合介質介電特性，可作為土壤介電測量重要參數。對圖3分析發現，土壤復介電常數實部在0.3～3 GHz頻段較為穩定，且對不同含水率下的復介電常數實部有顯著區分性。

為較好分析土壤復介電常數實部與實際土壤含水率相關性，在0.3～3 GHz頻段內，選取15個頻率點，分別為300.42、400.23、604.60、904.03、1 051.36、1 151.17、1 303.26、1 502.88、1 750.02、1 902.11、2 054.20、2 306.10、2 557.99、2 700.58、2 952.47 MHz。如圖4所示，在對15個頻率點上7種土樣含水率與其復介電常數實部，通過3階曲線擬合分析發現，0.300 42～2.952 47 GHz頻域內其決定系數R2均在0.89以上，均方根誤差RMSE在0.029 8～0.031 cm3/cm3之間。

2.2.2視在介電常數與含水率關系

基于雙線性介電計算模型算出土壤復介電常數后，通過式(5)便可得出土壤視在介電常數。由于視在介電常數同時受復介電常數實部與虛部的共同影響，在測量時其穩定性會稍有變化。但視在介電常數可以整體反映土壤混合介質介電特性，是土壤介電特性宏觀表現重要參數之一[31]，且在一定穩定頻域范圍內測量誤差可控。圖5為7種土樣的視在介電譜。

圖4 不同頻率下土壤復介電常數實部與干燥法所測體積含水率標準值相關性分析Fig.4 Correlation analysis between real part value of soil complex permittivity constant value and standard value of volumetric water content measured by drying method at different frequencies

圖5 7種土樣視在介電常數頻譜Fig.5 Seven kinds of soil samples apparent dielectric spectrum

從圖5可以看出，與復介電常數實部介電譜表現特性規律相同，7種土樣視在介電常數也有隨頻率增大而下降的趨勢，頻率達到300 MHz左右時趨于平緩。配置不同體積含水率其對應視在介電常數明顯不同。

同對土壤復介電常數實部與體積含水率相關性研究相似，在0.3～3 GHz頻段內，進行土壤視在介電常數與實際體積含水率相關性分析。如圖6所示，在對15個頻率點上7種土樣體積含水率與相應視在介電常數，通過3階曲線擬合分析，在300.42～2 952.47 MHz其決定系數R2均在0.900以上，RMSE在0.029 9～0.031 2 cm3/cm3之間。

圖6 不同頻率下土壤視在介電常數與干燥法所測體積含水率標準值相關性分析Fig.6 Correlation analysis between real part value of soil apparent dielectric constant value and standard value of volumetric water content measured by drying method at different frequencies

通過以上對土壤復介電常數實部和視在介電常數分別與土壤實際體積含水率的相關性分析，發現在0.3～3 GHz頻域內本文構建的雙線性介電計算模型得出的土壤介電值(復介電常數實部、視在介電常數)與實際體積含水率有較好相關性，這為土壤含水率的頻域測量提供良好理論基礎。進一步對15個測量頻率點分析發現，1.050～1.503 GHz內，實際體積含水率與復介電常數實部的決定系數R2在0.914～0.912 3之間，RMSE在0.029 8～0.03 cm3/cm3之間；實際體積含水率與視在介電常數的決定系數R2在0.910 9～0.911 8之間，RMSE在0.029 9～0.030 2 cm3/cm3之間。其相關性均相對優于其他頻段，表明此頻段是土壤含水率介電法測量的理想頻段。

3 土壤含水率頻域測量式構建

3.1 復介電常數實部與含水率

基于2.2節分析得到的土壤含水率介電測量理想頻段1.050～1.503 GHz，通過進一步對比發現在1.502 88 GHz頻率點上實際體積含水率與復介電常數實部的決定系數最大，R2=0.912 3，均方根誤差最小，RMSE為0.029 8 cm3/cm3。表明此頻率是土壤頻域復介電常數實部測定土壤含水率的最優頻率。

在1.502 88 GHz頻率上，對土壤復介電常數實部與實際體積含水率，通過3階曲線擬合建立土壤含水率復介電實部測量式

θ=2.35×10-5(ε′)3-1.55×10-3(ε′)2+ 3.8×10-2ε′-5.42×10-2

(6)

式中θ——土壤體積含水率,cm3/cm3

3.2 視在介電常數與含水率

與3.1節分析過程相同，土壤含水率介電測量理想頻段內，在1.502 88 GHz頻率點上實際體積含水率與視在介電常數的決定系數最大，R2=0.911 8，均方根誤差最小，RMSE為0.029 9 cm3/cm3。表明1.052 88 GHz頻域也是視在介電常數測定土壤含水率的最優頻率。

在1.502 88 GHz頻率上，對視在介電常數與土壤實際體積含水率，通過3階曲線擬合建立土壤含水率視在介電測量式

(7)

3.3 公式對比

當前土壤含水率介電測量公式有許多形式，但比較經典的有：文獻[6]提出的Topp公式，其奠定了土壤含水率介電法測量的理論基礎；文獻[7]提出修正后的Roth公式；文獻[10]推導的新方程Malicki公式。

為檢驗本文建立的土壤含水率頻域測量式，并考慮視在介電常數公式廣泛應用性，選取經典Topp公式、Roth公式、Malicki公式分別同本文土壤含水率視在介電測量式(式(7))計算值與干燥法所測土樣含水率標準值結果對比，如圖7a所示；對基于復介電常數實部建立的土壤含水率復介電實部測量式(式(6))采用計算值與含水率標準值對比，結果如圖7b所示。

圖7 不同公式與干燥法所測含水率標準值對比圖Fig.7 Comparison of standard values of water content measured by different formulas and drying method

從圖7a可以看出，式(7)與Topp公式、Roth公式、Malicki公式相比，均具有較好的線性關系。與含水率標準值相比，Topp公式在含水率小于10 cm3/cm3時，有較好相關性。含水率在10～22 cm3/cm3之間時，Topp公式計算結果偏低；在含水率大于22 cm3/cm3時，計算結果偏高。Malicki公式在含水率小于22 cm3/cm3時，計算結果偏低；當含水率大于22 cm3/cm3時，計算結果偏高，總體計算結果較差。Roth公式整體效果優于Topp公式與Malicki公式，在含水率小于25 cm3/cm3時，有較好的線性相關性；當含水率大于25 cm3/cm3時，計算結果偏高。與其他3個經典公式相比，式(7)含水率計算值與標準值的整體離散度較低，在含水率小于30 cm3/cm3左右時具有較好線性相關性。從圖7b明顯看出，式(6)土壤含水率計算值與標準值的離散程度較差，線性關系表現更優。

為定量分析不同土壤含水率測量公式計算值與含水率標準值差異性，以及公式計算精度與準確性，選取決定系數(R2)、均方根誤差(RMSE)、相對分析誤差(RPD)對上述經驗公式進行評價，結果如表3所示。

從表3可以看出，式(7)與其他3個經典公式相比，其R2與RPD最大，RMSE最??；且R2大于0.89，RPD大于3.0，RMSE小于0.035 cm3/cm3。表明式(7)與Topp公式、Roth公式、Malicki公式相比，其計算精度較高，并具有極好定量分析計算能力。式(6)與干燥法含水率標準值對比，其R2大于0.912，RMSE小于0.03 cm3/cm3，RPD大于3.30，且與式(7)相比式(6)計算效果略好一些。

表3 不同公式與干燥法含水率標準值對比精度Tab.3 Comparison of different formulas and standard values of water content in drying method

由于土樣質地不同，在配比相同體積含水率時，其實際體積含水率有一定差異。從7種土樣介電譜可看出：粘粒含量較高的黃粘土、紅土、粘壤土、黃綿土的介電譜表現趨勢基本相同，當體積含水率在28 cm3/cm3左右時，其介電值(復介電常數、視在介電常數)相差不大；粘粒含量較少的黑土、砂壤土以及含量為0的石英砂的介電譜除去石英砂在體積含水率為34.34 cm3/cm3外，其整體變化趨勢大體一致。表明，土壤粘粒含量對土壤介電極化有顯著影響，進而影響土壤介電常數，這與文獻[32-35]對粘粒含量影響土壤介電特性研究規律一致。

對0.300 42～2.952 47 GHz頻段內選取的15個頻率點上土樣含水率分別與復介電常數實部、視在介電常數3階曲線擬合分析發現，在頻率1.502 88 GHz點上，復介電常數實部與實際含水率相關性、視在介電常數與實際含水率相關性的R2均大于其他頻率，RMSE均小于其他頻率，這表明土壤含水率對復介電常數實部與視在介電常數的影響一致。

研究發現，基于復介電常數實部構建的土壤含水率復介電實部測量式(式(6))比其他基于視在介電常數建立的3種經典公式和本文土壤含水率視在介電測量式(式(7))相比測量準確度更高，表明復介電常數實部可以更好地反映土壤不同含水率下介電極化特性。由于Malicki公式中多添加土壤容重ρ參數，而對土壤容重本研究均取較大值，這導致計算結果在含水率小于22 cm3/cm3時計算值偏小，大于22 cm3/cm3時計算值偏大，整體公式計算精度相對較差。

4 結論

(1)雙線性介電計算模型在土壤介電測量中有很好的適應性，所得介電譜可較好地反映7種土壤不同含水率下的混合介質介電特性，模型針對特定探頭在土壤介電計算方面具有很好的應用效果。在3.5 mm自制探頭物理特性基礎上，頻率1.050～1.503 GHz 是復介電常數實部和視在介電常數進行土壤含水率測量最優頻段，1.502 88 GHz是最佳頻率點。

(2)與Topp、Roth和Malicki經典介電法測量土壤含水率公式相比，本文土壤含水率視在介電測量式的計算值與干燥法含水率測量值在相關性上表現更優，其R2為0.890 7，RMSE為0.034 cm3/cm3，RPD為3.026。土壤含水率復介電實部測量式的計算值與干燥法含率測量值對比，R2為0.912 6，RMSE為0.029 4 cm3/cm3，RPD為3.343。數據分析表明，基于雙線性介電計算模型建立的土壤含水率頻域測量式對土壤水分測量結果較為精確。