例談用導數解決幾何中的優化問題

■鄧禮伍

作為研究兩個變量之間變化規律的有力工具，導數在解決幾何背景下的優化問題方面有著廣泛應用。利用導數解決這類問題，首先，作圖并分析圖形中的幾何關系;其次，構建函數模型并表述出變量間具體的函數關系式;最后，利用導數性質求解相關問題。本文將結合實例介紹利用導數解決幾何中的優化問題。

一、函數的單調性、最值與導數之間的關系

在區間(a，b)上，若函數y=f(x)滿足f'(x)＞0，則函數y=f(x)在(a，b)上是增函數;若函數y=f(x)滿足f'(x)＜0，則函數y=f(x)在(a，b)上是減函數。

若函數y=f(x)在(a，b]上是增函數，在(b，c)上是減函數，則函數y=f(x)在(a，c)上有最大值為f(b)。若函數y=f(x)在(a，b]上是減函數，在(b，c)上是增函數，則函數y=f(x)在(a，c)上有最小值為f(b)。

若函數y=f(x)在[a，b]上是增函數，則函數y=f(x)在[a，b]上有最小值為f(a)，最大值為f(b);若函數y=f(x)在[a，b]上是減函數，則函數y=f(x)在[a，b]上有最大值為f(a)，最小值為f(b)。

二、求解函數最值的一般步驟

眾所周知，用導數求解函數最值可以起到化繁為簡的作用，大大節省時間。熟練運用導數求解函數問題是一種非常重要的解題技能。那么，導數求解函數最值又有哪些步驟呢?

第一步：確定定義域并求導函數y=f'(x)。

第二步：求解方程f'(x)=0。

第三步：求出函數y=f(x)在閉區間端點和使得f'(x)=0的點的函數值并比較大小，這些函數值中最大的為最大值，最小的則是最小值;倘若求函數在開(或半開半閉)區間上的最值，則需先討論函數的單調性，再依據單調性求最值。

三、用導數解決幾何中的優化問題

例1一個近似球形的玉石原料，半徑為R，現要加工成內接正四棱錐形狀的成品，則正四棱錐的高為多少時，所得成品的體積最大?

圖1

解：如圖1所示，易知當A，P兩點分別位于O點兩側時，四棱錐的體積才可能達到最大。設球心到底面的距離OP=x(0≤x＜R)，則三棱錐的高AP=R+x。在Rt△OPH中，運用勾股定理可得。于是，可求出底面正方形HIJK的面積為2(R2-x2)。

設四棱錐A-HIJK的體積為V(x)，那么該四棱錐的體積函數為，求導可得V'(x)=-2x2-，令V'(x)=0，解得或x=-R(舍去)。當時，V'(x)＞0，V(x)為增函數;當時，V'(x)＜0，V(x)為減函數。故時，V(x)最大，即正四棱錐的高時，所得正四棱錐的體積最大。

評注：本題雖涉及幾何知識，但本質上仍然是一個典型的函數優化問題。主要考查作圖、幾何圖形的體積和面積公式、構建函數模型、表述函數關系式，以及運用導數處理函數最值等多個知識點和技能。類似地，也可以求解球內接正四棱柱的最大體積問題，詳見例2。

例2(2006年江蘇)請您設計一個帳篷，它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如圖2所示)。試問當帳篷的頂點O到底面中心O1的距離為多少時，帳篷的體積最大。

圖2

解：設OO1為xm(1＜x＜4)，則由題意可得底面正六邊形的半徑為。由正六邊形的性質可知，底面正六邊形的邊長為。因此，底面正六邊形的面積(單位：m2)為。顯然，帳篷的體積(單位：m3)等于上部的正六棱錐與下部的正六棱柱的體積和，因此V(x)=，求導可得令V'(x)=0，解得x=2或x=-2(舍去)。當1＜x＜2時，V'(x)＞0，V(x)為增函數;當2＜x＜4時，V'(x)＜0，V(x)為減函數。所以當x=2時，V(x)最大。故當帳篷的高OO1為2m時，帳篷的體積最大。

評注：找準幾何圖形中線段之間的數量關系是解決幾何優化問題的前提。在此前提下，再利用導數即可快速解決問題。

四、結束語

結合文中的實例及平時遇到的類似問題，我們不難發現看似復雜的幾何問題，實際上運用導數求解的過程卻并不復雜。利用導數可以有效降低難度，簡化運算，因此靈活運用導數這一有力工具處理最值、極值問題是相當高效的。