探究平拋運動與斜面結合問題的解題思路

■陳志宇

平拋運動是物體只在重力作用下以一定的水平速度v0拋出的曲線運動。平拋運動是水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動的合運動，運動時間t，水平方向的位移x=vxt=v0t，豎直方向的位移y=為平均速度，因為物體在豎直方向上做初速度為0的勻變速直線運動)，合位移s2=x2+y2;t時刻其水平方向的分速度vx=v0，豎直方向的分速度vy=gt，合速度。

圖1

如圖1所示，在0～t時間內的位移為s，速度的偏轉角為θ，位移的偏轉角為φ，則，因此tanθ=2tanφ。在t時刻合速度v的反向延長線與x軸的交點A是水平位移的中點，即。過O點作OC平行于AD，過A、D分別作OC的垂線，交點分別為B、C，那么線段DC的長度就是軌跡曲線與OC的最大距離h。由幾何關系得AB=CD=h，∠AOC=θ，在△AOB中。

解決平拋運動與斜面結合問題的思路主要有四種：一是利用速度的合成和分解的方法進行求解;二是利用重力加速度、初速度分解進行求解;三是利用動能定理(機械能守恒定律)，并結合運動學公式進行求解;四是利用幾何關系，以及解析幾何知識進行求解。

圖2

例題如圖2所示，在傾角為θ的斜面頂端A處以速度v0水平拋出一小球，落在斜面上的某一點B處，設空氣阻力不計，求小球從A點運動到B點所需的時間、落到B點時的速度，以及A、B兩點間的距離。若從拋出開始計時，則經過多長時間小球離斜面的距離達到最大?這個最大距離是多少?

解：利用平拋運動的基本規律。設經過t時間小球離斜面的距離達到最大，小球離斜面的最大距離為h，水平位移、豎直位移分別為x、y;t時刻水平分速度、豎直分速度分別為vx、vy;小球從A點運動到B點所用時間為T，水平位移、豎直位移分別為X、Y，A、B兩點間的距離為sA B;小球到達B點時的速度大小為vB。

小球離斜面的距離達到最大時，tanθ=(此時合速度方向與斜面平行)，vy=gt，vx=v0。小球從A點運動到B點所用時間T=2t。聯立以上各式解得。因為。小球到達B點時的速度的大小vB=。因為E、F分別是AG、AE的中點，所以由幾何關系得。

說明：在求解t、T、vB時，可以以A點為原點，以斜面所在直線為x軸，以垂直斜面為y軸，建立直角坐標系，把v0和g沿x、y軸分解;在求解h時，可以以A點為原點，以水平方向為x軸，以豎直方向為y軸，建立直角坐標系，利用平拋運動規律、動能定理和幾何關系列式求解，或者利用解析幾何知識列函數關系式求解。感興趣的同學不妨自己試試看。