自主招生考查物理力與運(yùn)動(dòng)部分試題賞析

■本刊編輯部

考向一：平動(dòng)平衡和轉(zhuǎn)動(dòng)平衡的綜合應(yīng)用

例1(北約)車(chē)輪是人類(lèi)在搬運(yùn)東西的勞動(dòng)中逐漸發(fā)明的，其作用是使人們能用較小的力量搬運(yùn)很重的物體。假設(shè)勻質(zhì)圓盤(pán)代表車(chē)輪，其他物體取一正方形形狀。我們現(xiàn)在就比較在平面和斜面兩種情形下，為使它們運(yùn)動(dòng)(平動(dòng)、滾動(dòng)等)所需要的最小作用力。假設(shè)圓盤(pán)半徑為b，正方形物體的邊長(zhǎng)也為b，它們的質(zhì)量都是m，它們與水平地面或斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)都是μ，給定傾角為θ的斜面。

(1)使圓盤(pán)在平面上運(yùn)動(dòng)幾乎不需要作用力。使正方形物體在平面上運(yùn)動(dòng)，需要的最小作用力F1是多少?

(2)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動(dòng)所需的最小作用力F2是多少?

(3)在斜面上使圓盤(pán)向上運(yùn)動(dòng)所需要的最小作用力F3是多少?限定力F3沿斜面方向。

圖1

解析：(1)設(shè)使正方形物體在平面上運(yùn)動(dòng)所需的最小作用力F1的方向與水平面間的夾角為α，如圖1所示，則F1cosα=f，N+F1sinα=mg，f=μN(yùn)，解得設(shè)sinφ=，代入上式得F1=當(dāng)α+φ=90°時(shí)，F(xiàn)1取最小值。

圖2

(2)設(shè)在斜面上使正方形物體向上運(yùn)動(dòng)所需的最小作用力F2的方向與斜面間的夾角為β，如圖2所示，則F2cosβ=f+mgsinθ，N+F2sinβ=mgcosθ，f=μN(yùn)，解得

圖3

(3)如圖3所示，圓盤(pán)沿斜面向上滾動(dòng)，斜面提供沿斜面向上的摩擦力f，相對(duì)于圓盤(pán)與斜面的接觸點(diǎn)，力F3的最大力臂為2b，則2F3b=mgbsinθ，F(xiàn)3+f=mgsinθ，N=mgcosθ，f=μN(yùn)，解得。若若則F3=mg(sinθ-μcosθ)。

點(diǎn)評(píng)：本題以車(chē)輪為切入點(diǎn)，意在考查共點(diǎn)力平衡條件、力矩平衡條件、力的分解、摩擦力等知識(shí)。選題貼近生活實(shí)際，主要考查考生綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)的力學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的能力。難度略高于高考難度。

考向二：牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用

圖4

例2(卓越)如圖4所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的兩物塊A、B，質(zhì)量分別為m、2m，物塊A放在一傾角θ=30°并固定在水平面上的光滑斜面上，一不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩跨過(guò)光滑輕質(zhì)定滑輪，兩端分別與物塊A、B相連接。托住物塊B使兩物塊處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)物塊B距地面的高度為h，輕繩剛好拉緊，物塊A和滑輪間的輕繩與斜面平行?，F(xiàn)將物塊B從靜止釋放，斜面足夠長(zhǎng)。重力加速度為g。求：

(1)物塊B落地前，輕繩中的張力T。

(2)整個(gè)過(guò)程中，物塊A沿斜面向上運(yùn)動(dòng)的最大距離L。

解析：(1)設(shè)物塊B落地前兩物塊加速度的大小為a，對(duì)于物塊A取沿斜面向上為正方向，對(duì)于物塊B取豎直向下為正方向，由牛頓第二定律得T-mgsinθ=ma，2mg-T=2ma，解得。

點(diǎn)評(píng)：本題以連接體問(wèn)題為背景，意在考查受力分析、力的分解、牛頓第二定律等知識(shí)。本題主要考查考生綜合應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律解決連接體問(wèn)題和多過(guò)程問(wèn)題的能力。難度非常接近高考難度。

考向三：運(yùn)動(dòng)的合成與分解

圖5

例3(華約)如圖5所示，小球從臺(tái)階上以一定初速度水平拋出，恰落到第一級(jí)臺(tái)階邊緣，反彈后再次落下，經(jīng)0.3s恰落至第3級(jí)臺(tái)階邊界。已知每級(jí)臺(tái)階寬度及高度均為18cm，取g=10m/s2，且小球反彈時(shí)水平速度不變，豎直速度反向，但變?yōu)樵俣鹊摹?/p>

(1)求小球拋出時(shí)的高度及距第一級(jí)臺(tái)階邊緣的水平距離。

(2)小球是否會(huì)落到第5級(jí)臺(tái)階上?請(qǐng)說(shuō)明理由。

解析：(1)設(shè)臺(tái)階的寬度和高度為a，小球拋出時(shí)的水平初速度為v0，第一次與臺(tái)階碰撞前、后的速度的豎直分量(取豎直向上為正方向)的大小分別為vy1和vy1'，小球兩次與臺(tái)階碰撞的時(shí)間間隔為t0，則a=18cm=0.18m，t0=解得vy1=v0=1.2m/s。設(shè)小球從第一次拋出到第一次落到臺(tái)階上的時(shí)間為t1，落點(diǎn)與拋出點(diǎn)之間的水平距離和豎直距離分別為x1和y1，則，解得y1=0.072m，x1=0.144m。

(2)設(shè)小球第二次與臺(tái)階碰撞前速度的豎直分量大小為vy2，則vy22-vy1'2=2g·2a，解得vy2=2.7m/s，可見(jiàn)vy2＞vy1。小球反彈后再次落下到與第3級(jí)臺(tái)階相同的水平位置所用的時(shí)間將大于0.3s，水平位移將大于2a，所以小球不會(huì)落到第5級(jí)臺(tái)階上。

點(diǎn)評(píng)：本題以臺(tái)階上平拋小球?yàn)榍腥朦c(diǎn)，類(lèi)似的情境曾在平拋運(yùn)動(dòng)中見(jiàn)過(guò)，但是題設(shè)的條件和設(shè)問(wèn)方式大有不同。本題意在考查平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、豎直上拋運(yùn)動(dòng)、運(yùn)動(dòng)的合成和分解等知識(shí)的靈活運(yùn)用?？忌粲眯睊佭\(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行求解，反而會(huì)顯得復(fù)雜，可見(jiàn)本題不僅重在考查考生應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解解決問(wèn)題的能力，而且更為本質(zhì)的是考查考生靈活應(yīng)用等效法的能力，很好地體現(xiàn)了對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)要求的過(guò)程與方法目標(biāo)的考查。

考向四：萬(wàn)有引力定律的綜合應(yīng)用

圖6

例4(清華大學(xué)等五校)如圖6所示，衛(wèi)星攜帶一探測(cè)器在半徑為3R(R為地球半徑)的圓形軌道上繞地球飛行。在a點(diǎn)，衛(wèi)星上的輔助動(dòng)力裝置短暫工作，將探測(cè)器沿運(yùn)動(dòng)方向射出(設(shè)輔助動(dòng)力裝置噴出的氣體質(zhì)量可忽略)。若探測(cè)器恰能完全脫離地球的引力，而衛(wèi)星沿新的橢圓形軌道運(yùn)動(dòng)，其近地點(diǎn)b距地心的距離為n R(n略小于3)，求衛(wèi)星與探測(cè)器的質(zhì)量比。(質(zhì)量分別為M、m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)的引力勢(shì)能為，式中G為引力常量)

解析：設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，探測(cè)器質(zhì)量為m'，當(dāng)衛(wèi)星和探測(cè)器一起繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律得，解得。設(shè)分離后探測(cè)器速度為v'，探測(cè)器剛好脫離地球引力應(yīng)滿(mǎn)足，解得。設(shè)分離后衛(wèi)星速度為u，近地點(diǎn)速度為vb，則，nRvb=3Ru，解得。由分離前后動(dòng)量守恒得(m+m')v=mu+m'v'，解得。

點(diǎn)評(píng)：本題以衛(wèi)星拋射探測(cè)器為背景，意在考查萬(wàn)有引力定律、動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律等知識(shí)。試題注重對(duì)基本模型和基礎(chǔ)概念理解程度的考查，要求考生在理解的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用。難度略高于高考難度。

考向五：動(dòng)能定理

圖7

例5(北約)某車(chē)輛在平直路面上進(jìn)行行駛測(cè)試，測(cè)試過(guò)程中速度v(帶有正負(fù)號(hào))和時(shí)間t的關(guān)系如圖7所示。已知該過(guò)程中發(fā)動(dòng)機(jī)和車(chē)內(nèi)制動(dòng)裝置對(duì)車(chē)輛所做總功為零，車(chē)輛與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為常量，試求μ值。數(shù)值計(jì)算時(shí)，取重力加速度g=10m/s2。

解析：對(duì)車(chē)輛正方向運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理得W1+Wz1-μmg x1=0-，對(duì)車(chē)輛負(fù)方向運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理得W2+Wz2-μmg x2=0，二式相加得W1+Wz1-μmg x1+W2+Wz2-μmg x2=。根據(jù)題意知W1+Wz1+W2+Wz2=0，所以。由速度—時(shí)間圖像知v0=2m/s，x1=21m，x2=6m，解得。

點(diǎn)評(píng)：本題以車(chē)輛在平直路面上進(jìn)行行駛測(cè)試切入，意在考查動(dòng)能定理、速度—時(shí)間圖像等知識(shí)。解答本題時(shí)，正確應(yīng)用物理規(guī)律，規(guī)范解題過(guò)程，認(rèn)真運(yùn)算，顯得特別重要。難度與高考難度相當(dāng)。

考向六：動(dòng)量守恒定律

例6(北約)平直鐵軌上停著一節(jié)質(zhì)量M=2m的小車(chē)廂，可以忽略車(chē)廂與水平鐵軌之間的摩擦。有N名組員沿著鐵軌方向列隊(duì)前行，另有1名組長(zhǎng)在最后，每名組員的質(zhì)量同為m。

(1)當(dāng)組員和組長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)前面車(chē)廂時(shí)，都以相同速度v0跑步，每名組員在接近車(chē)廂時(shí)又以2v0速度跑著上車(chē)坐下，組長(zhǎng)卻因跑步速度沒(méi)有改變而恰好未追上車(chē)，試求N。

解析：(1)設(shè)組員全部上車(chē)后，車(chē)的速度為v，由動(dòng)量守恒定律得2Nmv0=(M+N m)v，解得。組長(zhǎng)恰好未能追上車(chē)，必有v=v0，解得N=2。

(2)設(shè)第一名組員離開(kāi)后車(chē)的速度為v1，第二名組員離開(kāi)后車(chē)的速度為v2，由動(dòng)量守恒定律得(M+2m)v0=(M+m)v1+m(v1+u)，即4v0=4v1+u，解得。同理得(M+m)v1=Mv2+m(v2+u)，即3v1=3v2+u，解得?？墒菇M長(zhǎng)也能追上車(chē)，要求v2＜，即，解得。為了計(jì)算臨界情況，取則，由能量守恒定律得。