剛塑性材料第二變分原理的證明研究及應用

任 杰，孫賀磊，李加欣，郭寶峰,*

(1.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點試驗室(燕山大學)，河北 秦皇島 066004；2.上海電機學院 高職學院，上海 200240 )

0 引言

塑性力學廣泛用于金屬結構分析與金屬塑性成形的分析計算，在金屬結構的塑性力學分析中，內部應力場的分布狀況是評定結構布局好壞的重要依據，借助應力場可以確定結構的極限載荷及安全程度。金屬塑性成形是基于金屬學與塑性力學的學科，變形金屬內部應力場的計算是金屬塑性成形的基礎分析之一，利用應力場可以預測變形體內部新缺陷的產生與原有缺陷的修復，確定成形載荷的大小。

在塑性變形問題的應力場求解中[1]，出現了兩個分支，一是以滿足實際工程問題需要為目的簡化解法，如主應力法(又稱為工程法或者切塊法)[2-3]、變形功法(又稱為功平衡法)[4]、下限法[5-6]等，這些方法主要用于近似地計算塑性變形工程問題的載荷，不追求塑性變形體內部應力場分布的準確性，人們常常稱之為工程解法。二是尋求精確解的方法，有全部塑性力學方程直接聯立求解法、特定條件下專門解法(剛塑性材料平面變形的滑移線法[7]、塑性條件與平衡方程聯立求解法)、塑性力學的變分解法[8-11]等。直接聯立求解法需求解一個偏微分方程組，有著巨大的數學困難，這種求解法尚未有文獻的報道。特定條件下的專門解法因又受條件限制，僅能用于少數問題的計算。塑性力學的變分解法的優點逐漸被人們所認識，它的計算過程中的數學難度相對小，且又不失結果的準確性。

塑性力學的變分解法和有限元解法是建立在塑性力學的變分原理的基礎上發展起來的。理想剛塑性材料是塑性力學中最基本和應用最廣泛的材料模型之一，如金屬的熱塑性變形材料模型。對于理想剛塑性材料建立的第一變分原理和第二變分原理，前者用于變形分析計算，如速度場、位移場，進而求得應變速率場等。然而，由于體積不變條件的限制，不能通過本構方程，再由應變速率場計算得到應力場。求解應力場只能用第二變分原理。目前，剛塑性材料的第二變分原理的證明是利用Drucker公設和求極值的方法進行的[12]，無論是從定理證明方法的合理性，還是從應用定理求解問題的方法看，都需要進一步完善。本文給出一種新的證明方法，即利用數學的泛函變分理論進行證明，并給出定理求解實際問題應用的范例。

1 剛塑性材料的第二變分原理證明研究

1.1 剛塑性材料的第二變分原理

(1)

1.2 剛塑性材料的第二變分原理的證明

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

因為

(8)

將式(8)代入式(7)得

(9)

因此，將式(9)代入(1)得

(10)

因為

則

(11)

將式(11)代入式(10)，得

(12)

(13)

于是，式(13)化簡為

(14)

(15)

(16)

2 平面鐓粗應力場的計算

平面變形的鐓粗[14]除具有理論意義外，也是生產中常見的塑性力學問題，如板條的精壓、連桿鍛件的整形精壓等。平面變形鐓粗的力學模型如圖1所示。

圖1 平面變形鐓粗的力學模型Fig.1 Mechanical model of upsetting in plane deformation

2.1 端面摩擦的設定

τ(x)=a0+a1x+a2x2，

(17)

由力的邊界條件得

當x=0時，τx=0=0；

當x=b時，τx=b=0；

當x=x0時，τx=x0=-τk，

將以上4個條件代入式(17)得

(18)

將式(18)代入到式(17)，得

(19)

2.2 靜力學許可的應力場的設定

由于平面鐓粗的坯料的寬度b遠大于高度h，故取τxy與y為線性關系。設

τxy=Dyτ(x)，

(20)

已知，當y=h時，τxy=τ(x)，則

(21)

將式(19)和式(21)代入式(20)，得

(22)

將式(22)代入平衡微分方程

得

(23)

(24)

對式(23)和式(24)分別求積分，得

(25)

(26)

式中，M(y)、N(x)為積分的任意函數，M(y)可由力邊界條件確定如下：

當x=b時，σx=0，代入式(25)得

(27)

將式(27)代入到式(25)中，得到一個平面鐓粗矩形截面的應力場

(28)

(29)

(30)

由于任意函數N(x)滿足應力場函數的一般運算條件，可用多項式形式表示，即N(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+……+cnxn，本例中取前兩項，即取

N(x)=c0+c1x。

2.3 真實應力場的確定

平面鐓粗的真實應力場可借助剛塑性材料第二變分原理確定。為使應力場為靜力學許可的，利用Lagrange乘子法[8]求解。設定約束條件，即應力場滿足Mises屈服準則：

(31)

等效應力

對于平面應變問題，有

簡化等效應力，得

(32)

設約束條件

(33)

利用Lagrange乘子法，在此引入Lagrange乘子γ，設目標函數

(34)

將式(1)、(28)～(30)、(32)和(33)代入式(34)，得

(35)

式中，

為便于式(34)中的第二項的運算，運用布尼亞科夫斯基不等式[12]

(36)

現令

(37)

將式(37)代入式(35)中的第二項進行簡化得

(38)

將式(38)代入式(34)并進行運算，得

式中，

(39)

(40)

(41)

整理式(39)得

(42)

聯立式(40)和(41)得

(43)

將(43)式代入(42)，得

(44)

將式(43)和式(44)代入到式(30)中，得到平面變形的鐓粗的真實應力場為

(45)

(46)

(47)

2.4 計算結果的討論

2.4.1端面無接觸摩擦

當端面無接觸摩擦力，即τk=0時，代入式(45)～(47)得

當端面無接觸摩擦時，上述應力場與文獻[15]的結果一致，表明得到的應力場是正確的。

2.4.2端面存在接觸摩擦

當存在端面的接觸摩擦時，由圖2、圖3和圖4可得到各截面上的應力分布。本文克服了文獻[15]許多不足：1)端面摩擦的設定分布更符合實際的鐓粗情況，對稱面x=0和自由表x=b上的摩擦應力都為零；2)保證了在x=b整個界面上σx=0，滿足了該面上的邊界條件；3)τxy既是y的函數，也是x的函數。

圖2 xoz截面(y=0)上的應力分布Fig.2 Stress distribution on xoz section(y=0)

圖3 端面(y=h)上的應力分布Fig.3 Stress distribution on the end face(y=h)

圖4 yoz截面(x=0)上的應力分布Fig.4 Stress distribution on yoz face(x=0)

3 結論

1) 利用泛函變分給出了剛塑性材料第二變分原理證明的一種新方法，更明顯地體現了剛塑性材料第二變分原理的力學意義，也示范了利用該定理求解的過程。

2) 借助剛塑性材料的第二變分原理，計算了接觸面存在摩擦條件平面鐓粗的應力場，結果分析表明得到的應力場是正確的，進一步完善了現有文獻應力場解析結果的不足。