基于交織映射的16-QAM周期/非周期互補碼集構造研究

劉 凱，孫向羽，張曉玲

(1.燕山大學 信息科學與工程學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省信息傳輸與信號處理重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

0 引言

非周期互補碼也稱Golay互補碼，是Golay互補對的擴展形式，它由兩個以上的序列組成[1]。非周期互補碼也是一類周期互補碼，但周期互補碼不一定滿足非周期互補性質[2]。多個互補碼中若任意兩碼的互相關函數和為零，那么就組成了相互正交的互補碼集，簡稱為互補碼集?；パa碼集應用于多載波通信系統時，每個用戶分配一個互補碼作為地址碼，互補碼的各序列調制到不同的載波上進行發送，因此互補碼的數量決定了用戶的數量，互補碼的序列數代表著載波數。在接收端，同一用戶信息在不同載波上的序列自相關函數之和為沖激函數，不同用戶信息在不同載波上接收序列的互相關函數之和為零，以此消除了用戶之間的干擾。若增大互補碼中序列數量，則用戶信息就可以調制到更多的載波上，因此在單位時間內傳輸的信息量增多，從而提高傳輸速率。近年來，正交幅度調制(QAM)序列設計得到了廣泛關注，在通信系統中使用QAM序列作為地址碼不僅可以提升系統的傳輸速率[3-4]，還可以降低系統的峰值與均值能量比(峰均比，PMEPR)[5-8]。為了增加具有最優相關特性的QAM序列的數量，學者們相繼提出了16-QAM Golay互補對和互補碼[9-12]，16-QAM周期/非周期互補碼集及零相關區互補碼[13-14]等。盡管這些構造結果擴大了具有良好自相關特性的16-QAM地址序列的范圍，但目前構造16-QAM周期/非周期互補碼集的方法和構造結果數量還不夠豐富，因此本文為了擴展16-QAM周期/非周期互補碼集的存在范圍，構造了與以往文獻不同的互補碼集，從而擴大實際應用中地址碼的選擇空間。

本文提出了三種適應于周期/非周期序列的交織映射方法，得到大量新的16-QAM周期/非周期互補碼集，互補碼中序列的數目可以靈活選擇，同時在多載波系統中提高了單位時間內的信息傳輸速率。

1 基本概念

定義1 設a=(a(0),a(1),…,a(L-1))和b=(b(0),b(1),…,b(L-1))是長度為L的復序列，a與b的周期和非周期相關函數分別表示為

(1)

(2)

若a=b，式(1)和(2)分別稱為序列a的周期和非周期自相關函數，記為Ra(τ)和Ca(τ)，其中b*是b的復共軛形式。

(3)

(4)

那么集合S分別稱為周期互補碼集和非周期互補碼集(即Golay互補碼集)，表示為PCCS(M,N,L)和ACCS(M,N,L)，Sm稱周期/非周期互補碼，表示為PCC(N,L)和ACC(N,L)，其中M表示集合S包含Sm的數量，N表示Sm包含序列的數量，L表示序列長度。

定義3 16-QAM星座由如下字母集表示，

(5)

其中j表示復數單元，j2=-1。

引理1[1,7,12]四元坐標a,b∈{1,2,3,4}到16-QAM星座坐標映射方法有如下四種：

(6)

其中，σ1由文獻[7]提出，σ2由文獻[1]提出，σ3和σ4由文獻[12]提出。

引理2[14]基于四元周期/非周期互補碼集S，參數為PCCS(M,N,L)或ACCS(M,N,L)，若周期/非周期互補碼Sm的序列數量N為偶數，即N=2N′，通過以下方法可以得到參數為PCCS(M,N,L)或ACCS(M,N,L)的16-QAM的周期/非周期互補碼集G，

(7)

2 16-QAM序列集的三種交織映射構造方法

基于四元周期/非周期序列集S以及引理1，提出以下3種交織映射方法，將S中的元素映射到16-QAM星座上。

方法1：

(8)

(9)

(10)

方法2：

將引理2推廣至σ3,σ4的映射中，若Sm包含序列數量N為偶數，即N=2N′，可得到序列長度為N的16-QAM序列集T，

(11)

方法3：

結合引理2及方法2，構造集合W。若Sm包含序列數量N為偶數，即N=2N′，通過如下操作可得到2N長16-QAM序列集W，

3 16-QAM周期/非周期互補碼集

定理1 若S是參數為PCCS(M,N,L)/ACCS(M,N,L)的四元周期/非周期互補碼集，則集合P、Q、R、T、W是參數分別為PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)、PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)、PCCS(M,4N,L)/ACCS(M,4N,L)、PCCS(M,N,L)/ACCS(M,N,L)、PCCS(M,2N,L)/ACCS(M,2N,L)的16-QAM周期/非周期互補碼集。

為了證明定理1需要以下3個引理。

引理3 方法1中集合P、Q、R的相關函數值滿足

(13)

(14)

(15)

證明由于非周期相關函數的計算與周期相關函數的計算相似，在以下證明中只計算周期相關函數值。取Pm1,Pm2?P,

(16)

其中，

(17)

(18)

將式(17)、(18)帶入式(16)，有

(19)

同理可證集合Q的相關函數值滿足式(14)。下面計算集合R的相關函數滿足式(15)，取Rm1,Rm2?R,

(20)

(21)

故引理3成立。

證畢

引理4 方法2構造的集合T的相關函數值滿足

(22)

證明與引理3的證明過程類似，取Tm1、Tm2?T，

(23)

由此，引理4成立。

證畢

引理5 方法3得到的集合W的相關函數值滿足

(24)

證明取Wm1、Wm2?W，

(25)

故引理5成立。

證畢

下面證明定理1，由于非周期互補都是周期互補的，相反卻不成立[2]，加之篇幅的限制，本文只證明周期互補情況。

證明由于S是參數PCCS(M,N,L)的四元周期互補碼集，所以周期相關函數滿足

(26)

將式(26)分別帶入引理3、4、5中，得到集合P、Q、R、T、W的相關函數為

(27)

(28)

(29)

由定義2可知，集合P、Q、R、T、W均是周期互補碼集，同理可證非周期互補特殊性亦成立，定理1成立。

證畢

例選取參數為ACCS(4，4，4)的四元非周期互補碼集

由定理1可得到集合P、Q、R、T、W。下面只列出集合P、Q、R、T、W的其中一個互補碼：

經計算，集合S的互補碼非周期自相關函數是(0,0,0,16,0,0,0)，集合P、Q、R、T、W的非周期自相關函數分別是(0,0,0,320,0,0,0)、(0,0,0,320,0,0,0)、(0,0,0,640,0,0,0)、(0,0,0,160,0,0,0)、(0,0,0,320,0,0,0)，其互相關函數值均為0，所以集合P、Q、R、T、W分別是參數為ACCS(4,8,4)、ACCS(4,8,4)、ACCS(4,16,4)、ACCS(4,4,4)、ACCS(4,8,4)的16-QAM非周期互補碼集。

文獻[7]中證明，若采用四元Golay序列(即Golay互補對中的組成序列之一)作為基序列，通過式(6)σ1的映射操作可得到具有低PMEPR性質的16-QAM序列。此結論可推廣到其他三種映射，因此若四元非周期互補碼集的組成序列由Golay序列構成，那么通過本文映射方法得到的16-QAM非周期互補碼集可具有低PMEPR的性質。

4 16-QAM周期/非周期互補碼集參數及性能分析

本文提出了3種獲得16-QAM周期/非周期互補碼集的交織映射方法，根據不同交織方法，利用相同四元周期/非周期互補碼集可得到5類不同構造結果、不同集合參數的16-QAM周期/非周期互補碼集。文獻[14]同樣利用了交織映射的方法構造周期/非周期互補碼集，在表1中與其進行了詳細對比。

表1 構造方法對比表Tab.1 Comparison of the construction methods

本文以四元周期/非周期互補碼集為基礎碼集，現有文獻為其提供了較豐富的構造方法和構造結果[15]，保證了本文構造方法的實現。互補碼中，碼速率計算公式為R(Sm)=log2|Sm|/L比特/符號[10]，其中|Sm|表示互補碼Sm的序列數量N，L表示序列長度，可見在L不變的情況下，增大互補碼Sm的序列數量有利于提升碼速率。由于碼速率僅與N和L有關，因此表2比較了所構造的16-QAM周期/非周期互補碼與基礎四元互補碼的碼速率提升對比值。

表2 碼速率提高比率對比表Tab.2 Comparison of the ratio of code rate increase

由表2可以看出，本文構造的周期/非周期互補碼與四元基礎序列的碼速率比值均大于1，與其他文獻相比也有提高，因此本文構造方法通過增大互補碼的序列容量提升了單位時間內信息的傳輸量。

5 結論

本文提出了3種將四元周期/非周期互補碼集交織映射為16-QAM周期/非周期互補碼集的方法，獲得了新的參數形式，成倍地提高了互補碼中序列的數量。本文提出的方法有效地增加了16-QAM周期/非周期互補碼集的存在范圍，可用以提升多載波通信系統的傳輸速率。