活用表征方式，助力知識“消化”

江蘇揚州市江都區仙女鎮龍川小學 周春芝

表征是知識在個體心理的反映和存在方式。按知識的種類及其提取方式，心理學家認為人類至少有四種類型的心理表征：認知地圖、心像、圖式和心理語言。而布魯納從思維發展的角度認為，數學對象的表征有三種：動作表征、表象表征和符號表征。即人類通過動作、表象及符號來認識數學對象，人類的認知發展是沿著這三種表征的順序前進的。萊什從交流、認知的作用出發，在布魯納的表征系統的基礎上增加了口語和實物情境兩種表征。

在平時的教學過程中，教師根據學生的年齡、生理、學習習慣、興趣愛好等特點，靈活選擇恰當的表征手段或方式，有助于學生知識的自我建構，深化對概念的理解，形成知識網絡化和系統化，對提升學生的數學核心素養大有裨益。筆者結合平時教學實踐，談點個人體會。

一、運用實物情境表征，激發興趣，形成表象

小學階段的學生，特別是低年段的學生對具象的實物和圖片以及教師所創設的與自身聯系緊密的教學情境特別感興趣。學生往往不由自主地徜徉其中，積極主動參與到各種數學活動中，并在不知不覺中獲得相關對象的知覺，形成初步的表象。教師作為教學活動的組織者和設計者，一定要站在兒童的立場來開發課程，基于兒童視角來創設有趣生動的同時又富有“數學味”的教學情境，來引導學生深度參與到探究活動中。例如，在教學蘇教版數學一年級上冊“認識圖形”時，教師讓學生從家里帶來各種各樣的積木、玩具等常見物品，課始教師不急于讓學生認識哪些物體是長方體，哪些是正方體，哪些是圓柱，哪些是球。首先讓學生玩2～3分鐘，可以盡情擺弄自己帶來的學具，了解不同物體的特性。然后讓學生在觀察的基礎上分一分，哪些學具的外形差不多，把差不多的學具放在一起，再在剛才分類、觀察、總結的基礎上揭示長方體、正方體、圓柱和球。如果不讓學生動手擺弄自己帶來的這些“新奇”的學具，顯然不能盡興。即使教師課件做得再精彩都不能把學生的注意力集中起來。一開始的玩學具看似浪費時間，其實學生擺弄的過程就是對各種物體外形的感知過程。也許這樣的感知結果是膚淺、零碎、模糊的，但是學生在多次接觸到有相同外形特征物體的時候，已經在初步感知的基礎上有了一定的概括和抽象。接下來，教師在學生已正確分類并充分感知的基礎上出示長方體、正方體、圓柱和球等立體圖形。這時學生的頭腦中已經形成具有“抽象因子”的表象，即使把牙膏盒從學生的眼前拿走，學生在頭腦也能想象出剛才那個長長的、方方的物體的樣子。到此，學生已經在形成的表象和生活中具體的實物之間建立起某種必然的聯系了。

二、運用動作表征，理解算理，形成算法

說到計算，立馬出來枯燥無味、晦澀難懂、索然無趣等刻板印象，課中學生也打不起精神來，盡管教師講得很辛苦，可是一到練習的時候學生的計算錯誤就會五花八門。讓兒童在“做中學”是破解計算教學的有效辦法，著名教育家蘇霍姆林斯基說：“兒童的智慧在他的手指尖上。”小學階段學生的思維以直觀形象思維為主，一、二年級的學生在學習新知識時必須借助動作思維才能完成對新知的理解和建構。所以在平時的教學中，必須遵循“感性→理性→運用”的這一辯證過程，讓學生在過程中感悟新知，建立直觀表象。例如，一年級下冊“100以內退位減法”是后續減法計算的基礎，同時也是計算教學的難點，此知識點中起到承上啟下的作用。教師在教學“50-6”時，首先讓學生先擺出5捆小棒，然后結合算式的意義從中拿走6根小棒。學生先自主操作小棒，然后同桌交流自己取小棒的過程。學生發現沒有單根的小棒，就拆開一捆小棒，然后拿走其中6根，還剩下4捆帶4根，所以50-6=44。接著又讓學生在計數器上撥珠表示50-6，學生先在十位撥5顆珠子表示50，然后從個位撥去6顆珠子。個位上沒有珠子就先在十位撥去一個珠子，退給個位，再在個位上撥出10顆珠子，最后從中去掉6顆珠子，剩下的珠子也表示44。學生在完成上述操作過程后，再結合豎式理解個位上是0不夠減6，從十位退1當10時，就想起把一捆小棒解開換成10根小棒和從計數器十位上撥去一顆珠子，再從個位上撥出10顆珠子的過程，情景及時再現。“退一當十”的算理在學生解整捆小棒和撥計數器的過程中完成理解和深化，同時學生在取小棒和撥珠子的操作中形成相同數位對齊的計算法則。有了動作思維的支撐，學生完成了對算理的感悟和算法的掌握。

三、運用圖形表征，數形結合，形成推理

數形結合以數和形這兩類數學基礎符號為研究對象。教師在教學過程中指導學生將二者進行有機結合來尋找解題突破口。形象化理解知識，既幫助學生掌握解題方法，又在無形中啟發了學生的符號意識。因此，教師通過數形結合來滲透符號思想，將數學教材上需要學生抽象理解的數字語言、數量關系、幾何圖形與位置聯系，通過“以形助數”或“以數解形”的方式將其形象化、簡單化、具體化，以此來調動學生的解題興趣，活躍思維，加深學生對符號的理解。例如，計算“整數除以分數”，讓學生用畫圖的方式解釋得數是12。學生先畫了4個圓表示4個餅，然后把每個圓平均分成3份，每人分塊，這樣1個餅可以分給3個人，4個餅就可以有4個3，所以接著教師讓學生運用已經積累的學習經驗來自主探索……學生都能用圖形解釋分數除法和乘法之間可以相互轉化，在計算相應的分數除法的時候我們都可以把相似類型的分數除法轉化成相應的乘法來計算，把沒有學過的知識轉化成學過的知識，培養了學生推理意識的同時，再次體驗了轉化的思想在探究新知中的神奇“功效”。

四、運用符號表征，抽象概括，形成模型

語言學家皮埃爾吉羅說：“我們是生活在符號之間。” 《義務教育數學課程標準（2011年版）》也提出，培養學生符號意識，要使學生學會利用數學符號進行計算與推理，也就是說，培養學生數學符號意識的一個重要任務就是教會學生利用數學符號思考問題，即培養學生的符號思維能力。為此，教師可以在教學中訓練學生的符號思維，引導他們利用數學符號進行推理與思考，用符號表示發現的規律，概括規律并選擇適當的形式表示出來。形成數學模型，培養模型思想。

例如，在教學五年級下冊“加法交換律”時，教師先引入“朝三暮四”的故事，然后讓學生根據情境獨立列式28+17和17+28，通過計算得出“28+17=17+28”的結論，并據此觀察等式兩邊算式的特點，發現兩個加數一樣，不同之處就是交換了兩個加數的位置。接著再讓學生寫幾道類似的式子，發現都存在同樣的規律和現象。當學生找不出反例時，學生這時發現運用舉例的方式不能簡潔表達出這樣的規律和現象，這時學生想到用不同的圖形指代兩個加數，表示成“□+△=△+□”，還有學生用“甲數+乙數=乙數+甲數”的形式表達，也有學生想到用不同的字母“a+b=b+a”表示。最后學生再把符號內化成語言，用語義表征加法的交換律。學生用符號表示規律的過程，就是經歷從把一類對象里的規律，由表及里，由淺入深，由特殊到一般，由具體到抽象地表示出來的過程，學生的數學思維就能得到有效的鍛煉和提高。

同時，教師還應該意識到綜合運用多種表征方式，加強圖形、文字和符號之間的互相轉譯，使學生靈活掌握不同的表征方式，多維度實現對數學對象的充分認知。教師需要創設相應的平臺，搭建合適的“腳手架”，多渠道引導學生選用合適的表征方式來自主架構知識框，完善自己的知識體系，不斷提升自身的核心素養。