認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的教學探索*

趙慶林

雖然關(guān)于認知結(jié)構(gòu)的界定有很多，但認為個體頭腦中的認知結(jié)構(gòu)以及知識之間的聯(lián)系才是認知結(jié)構(gòu)的本質(zhì)特征已成為大家的共識。所謂認知結(jié)構(gòu)化，便是建立在這個共識基礎(chǔ)上，通過學生的認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)在有效的思維策略的支持下建立的雙向互動的學習過程。而這實際上也是數(shù)學研究者關(guān)注的認知結(jié)構(gòu)的動態(tài)性的具體體現(xiàn)。認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課，需要教師以教育學、教育生態(tài)學、教育心理學為理論依據(jù)，站在系統(tǒng)的高度、結(jié)構(gòu)的角度審視、優(yōu)化數(shù)學教學，用系統(tǒng)的觀點、結(jié)構(gòu)化的思想來設(shè)計、組織課堂教學，使學生學習后能把知識與方法串成鏈、組成塊、結(jié)成網(wǎng)。本文對數(shù)學復習課的現(xiàn)狀進行分析，并嘗試從認知結(jié)構(gòu)化的視角出發(fā)對數(shù)學復習課進行討論與構(gòu)建，以期引發(fā)研究者的進一步思考與探索。

一、當下數(shù)學復習課中常見的問題

1.重知識練習，輕知識遷移。這種現(xiàn)象比較常見，主要表現(xiàn)為教師就知識復習知識，就知識點練習知識點，對于知識內(nèi)在的邏輯與生成關(guān)注不夠，特別是對于知識本身所具有的正向遷移作用研究不夠，壓制了知識本身具有的生長力，以至于轉(zhuǎn)換情境后學生便不能有效運用知識解決類似或相關(guān)的問題。

2.重點狀突破，輕結(jié)構(gòu)生成。如教學蘇教版五上《多邊形的面積復習》一課時，有的教師引導學生就本單元學習的平行四邊形、三角形、梯形的面積計算進行復習，并有針對性地對學生進行強化練習，這些做法應該說并無不妥，但對學生數(shù)學素養(yǎng)的培育來說是不夠的。對學生結(jié)構(gòu)化思維的培養(yǎng)來說，單個知識點的突破是必要的，但在復習課中更要注重知識之間的結(jié)構(gòu)生成，如長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式的演變及其之間的關(guān)系，最終實現(xiàn)學生對數(shù)學知識、思想與方法的結(jié)構(gòu)化學習。

3.重橫向整理，輕縱向聯(lián)結(jié)。如教學蘇教版五上《解決問題的策略復習》一課時，教師最常見的回顧與整理思路是就本冊書解決問題的策略即“一一列舉”進行練習與反思，雖然通過不同情境的轉(zhuǎn)換加強了學生對“一一列舉”策略的認識與技能提升，但如果僅僅停留于此，最多算是一種橫向整理，缺乏縱向聯(lián)結(jié)。所謂縱向聯(lián)結(jié)，就是教師在引導學生復習“一一列舉”策略時，需要關(guān)注學生學過的畫圖、列表等策略，并將它們充分融入當下的復習活動中。

4.重教師引導，輕學生自主。這也是數(shù)學復習課中常見的現(xiàn)象，教師精心設(shè)計，強力引導，但對于學生學習的自主性重視不夠。其實，復習課中最大的挑戰(zhàn)是問題來源于不同基礎(chǔ)的學生，解決這些問題靠單一的、統(tǒng)一的行動步調(diào)是不現(xiàn)實的，這就需要充分調(diào)動學生的自主性。

二、認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的內(nèi)涵與特點

在認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課教學中，教師要從結(jié)構(gòu)主義的觀點出發(fā)設(shè)計數(shù)學復習課，把零散的數(shù)學知識置于整體知識結(jié)構(gòu)中，從知識產(chǎn)生、演變的順序與學生的認知發(fā)展過程出發(fā)架構(gòu)課堂，引領(lǐng)學生主動經(jīng)歷整理、練習、對比、辨析的過程，在復習過程中既注重知識練習又注重知識遷移，既注重點狀突破又注重結(jié)構(gòu)生成，既注重橫向整理又注重縱向聯(lián)結(jié)，既注重教師引導又注重學生自主，通過學生的認知結(jié)構(gòu)與知識結(jié)構(gòu)的有效聯(lián)結(jié)、互動，培養(yǎng)學生的數(shù)學結(jié)構(gòu)化思維。認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課主要有如下五個特點。

1.整體性。認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課不只關(guān)注單個知識點的復習，更希望通過在知識點之間建立聯(lián)系來打通知識生長的路徑，進而促進學生知識、能力、素養(yǎng)等方面的整體發(fā)展。在復習課上，教師不僅要看見由零散的知識點構(gòu)成的知識網(wǎng)絡(luò)，也要看見由經(jīng)驗與知識構(gòu)成的學習過程，還要看見由已知和未知構(gòu)成的方法路徑。如此，認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的整體性是一個復合性概念，它是由具有整體性的知識網(wǎng)絡(luò)、學習過程和方法路徑等構(gòu)成的更大的教學整體。

2.關(guān)聯(lián)性。美國教育學家布魯納在《教育過程》一書中指出：“不論我們選教什么學科，務(wù)必使學生理解該學科的基本結(jié)構(gòu)。”教學其實就是教授和學習學科結(jié)構(gòu)。認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課不是單純地讓學生掌握事實和技巧，而是幫助學生學習結(jié)構(gòu)，因而它強調(diào)學習事物之間的關(guān)聯(lián)性。當學生掌握了這些知識之間的聯(lián)系，在某種程度上也就有了認識上的整體概念，這對于他們理解與掌握單個知識點來說又會起到很好的促進作用。

3.過程性。認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課追求的是知識的聯(lián)結(jié)、關(guān)系的建構(gòu)以及思維的生長。它的過程性主要體現(xiàn)在兩個方面。從教師層面來說，主動挖掘復習內(nèi)容背后的思想價值，站在更高處確立復習課的主題，厘清知識之間的關(guān)系，進一步發(fā)現(xiàn)知識產(chǎn)生、演變的順序，并遵從學生的認知發(fā)展過程組織具體的復習過程；從學生層面來說，復習就是一個主動經(jīng)歷知識整理、練習、對比、辨析、反思、領(lǐng)悟以及思維提升的過程。

4.延展性。延展性一定是從時間和空間兩個維度發(fā)生的。在時間維度，是指學習的過程不局限于課堂時間之內(nèi)；在空間維度，是指學習的場域、主題、內(nèi)容等不局限于教室、教材等。認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的延展性最終體現(xiàn)在學生的知識、能力、思維、素養(yǎng)的提升與發(fā)展方面。

5.主動性。從學習性質(zhì)來說，認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習追求的是一種深度學習。澳大利亞墨爾本大學教授約翰·哈蒂在《可見的學習：對800 多項關(guān)于學業(yè)成就的元分析的綜合報告》一書中寫道：“在深度學習中，主要關(guān)注關(guān)系加工、精細加工，使知識結(jié)構(gòu)化并嘗試超越單一的知識，形成思維框架，這需要計劃、組織、精加工和反思。與此相關(guān)的效用量高的教學策略是討論和提問、交互式教學等。”這些效用高的教學策略都需要學生主動參與而不是被動接受。深度學習強調(diào)學生內(nèi)在學習動機的激發(fā)，強調(diào)學生的深度參與。作為深度學習的一種方式，認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課在教學策略的選擇、課堂樣態(tài)的營造等方面都離不開學生的主動參與。

三、認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的教學策略

1.整體把握，由點及體。

認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課不是拋棄知識點單純追求結(jié)構(gòu)的復習，而是在整體視野下引導學生將知識點擴展到知識面，再從知識面擴展到知識體。教師的走向與學生的走向應該是相反的，教師需要從知識體剖解到知識面，再從知識面剖解到知識點，在此基礎(chǔ)上引導學生整體把握。如教學蘇教版五上《多邊形的面積復習》，教師可以從思想層面、方法層面和經(jīng)歷層面引導學生進行整體把握，學生則從具體的經(jīng)歷、方法中感悟數(shù)學思想。具體來說，知識點分為已知點和未知點，從學習方法的視角來看，從已知到未知是數(shù)學學習的基本方法；學習內(nèi)容分為單一圖形和組合圖形以及規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形，從學習經(jīng)歷的視角來看，從單一到組合、從規(guī)則到不規(guī)則是數(shù)學學習的基本路徑。無論是學習方法還是學習路徑，都體現(xiàn)了由易到難的基本思想。

由上例可以看出，認知結(jié)構(gòu)化視角下數(shù)學復習課的整體把握、由點及體是一種教師與學生雙向互動的建構(gòu)，其中的關(guān)鍵因素在于教師。

2.建立關(guān)系，由表及里。

如前所述，認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課倡導幫助學生建立關(guān)系、學習結(jié)構(gòu)，因而學生的學習過程就是建立關(guān)系的過程。對學生來說，從初識關(guān)系到加深關(guān)系甚至是重新發(fā)現(xiàn)與建立關(guān)系，主要依靠復習課來完成，對這個過程形象化的理解就是由表及里。以蘇教版四上《數(shù)的運算復習》的教學為例，建立關(guān)系主要從三個層面進行，首先是初步感知，呈現(xiàn)學生課前整理的相關(guān)知識網(wǎng)絡(luò)圖，讓學生初步感知和了解知識之間的關(guān)聯(lián)；其次是問題引領(lǐng)，主要圍繞核心問題進行討論，如“兩三位數(shù)除以兩位數(shù)和四則混合運算有什么關(guān)系？口算和估算、筆算、驗算之間有什么關(guān)系？你還發(fā)現(xiàn)哪些知識之間是有關(guān)系的？有什么樣的關(guān)系？”；最后是共同構(gòu)建，教師帶領(lǐng)學生共同回憶本學期學習的“數(shù)的運算”的相關(guān)知識點，形成初步的知識網(wǎng)絡(luò)圖和認知地圖。

由上可知，由表及里建立關(guān)系，其一要發(fā)現(xiàn)相互關(guān)聯(lián)的事物，發(fā)現(xiàn)的主體是學生，教師的作用在于推動；其二要通過建立具有層次性的關(guān)系將認識引向深入，而層次性正是良好數(shù)學認知結(jié)構(gòu)的特征之一，整體是由不同層次的要素組成的，這些不同要素之間的關(guān)系構(gòu)成了不同層次的認識，也構(gòu)成了由表及里的基本路徑。

3.學習運用，由靜及動。

首先要厘清練習與運用的區(qū)別，練習往往圍繞單一知識開展，運用則需要調(diào)用更多的知識與方法、策略等，主要是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題，而不是被動等待問題；其次要理解靜與動的關(guān)系，認知結(jié)構(gòu)化視角下的數(shù)學復習課追求的“動”是一種思維的生長，而“靜”則是思維的停滯。因此，學習運用，由靜及動，即在知識的運用中發(fā)展思維。以蘇教版二上《表內(nèi)乘法和表內(nèi)除法的復習》一課的教學為例，一是圍繞“平時錯題”學習、運用，讓學生收集自己容易出錯的題目，并寫出正確的做法，重點是引發(fā)全體學生對相似問題的反思和討論。二是圍繞“自主編題”學習、運用，重點是突出不同類型問題之間的關(guān)聯(lián)。三是圍繞“探究問題”學習、運用，學生探究問題與他們的學習經(jīng)歷、經(jīng)驗等緊密相關(guān)。探究問題主要有方法層面、知識層面、本源層面這三個層面，方法層面主要體現(xiàn)為學生對乘法口訣的理解與記憶；知識層面主要體現(xiàn)為學生對乘法口訣中規(guī)律的發(fā)現(xiàn)與探究；本源層面主要體現(xiàn)為學生對乘法口訣來源及命名的好奇。對這些探究問題的分析與解決能夠強有力地驅(qū)動學生數(shù)學思維的生長。

認知結(jié)構(gòu)化視角下，數(shù)學復習課的“運用”更像是一種關(guān)系的驗證、發(fā)現(xiàn)與重新構(gòu)建。這里的關(guān)系已經(jīng)不局限于學校范疇，而是在學生的學習經(jīng)驗、生活場域中不斷拓展。

4.結(jié)構(gòu)思考，由此及彼。

結(jié)構(gòu)思考主要體現(xiàn)在延伸中，會滲透一些結(jié)構(gòu)性的思想，讓學生進行結(jié)構(gòu)性思考，在數(shù)學問題解決策略方面形成一種結(jié)構(gòu)性意向。所謂由此及彼，是從碎片化思想、單一性思考不斷走向結(jié)構(gòu)性思想、結(jié)構(gòu)性思考乃至在問題解決中形成結(jié)構(gòu)性意向的過程。以上述多個復習課為例，在具體的問題解決過程中，需要引導學生從方法、策略、驗證等方面建構(gòu)起解決問題的結(jié)構(gòu)性思維。而在反思環(huán)節(jié)，需要我們改變過去單一的或固化的教學方式，借助學生自己整理的知識網(wǎng)絡(luò)圖，結(jié)合學生復習的經(jīng)歷、體會和感悟，重點引導學生圍繞知識與知識之間的關(guān)系展開討論和交流，如“在復習過程中，你覺得哪些知識之間的聯(lián)系比較重要？為什么？從知識和知識之間的關(guān)系方面出發(fā)，猜想一下，我們還將遇到什么樣的問題？”，通過結(jié)構(gòu)性思考，重要的是發(fā)現(xiàn)學生學習的薄弱關(guān)系而不是薄弱知識點，進而通過修復與強化知識之間的聯(lián)結(jié)改善學生的學習。