全國(guó)一卷理科數(shù)學(xué)解析幾何的命題探究

蔡明娥

一、引言

近幾年來(lái)，關(guān)于命題方向的研究層出不窮，這種研究是以知識(shí)點(diǎn)的考查形式進(jìn)行具體方向上的研究，可以比較有效地對(duì)教學(xué)和復(fù)習(xí)進(jìn)行指導(dǎo)。解析幾何是理科數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，分?jǐn)?shù)占比也較大，通過(guò)這種題型研究的方向，來(lái)確定教學(xué)與復(fù)習(xí)的方向，可以顯著提升教學(xué)的針對(duì)性。

二、解析幾何命題結(jié)構(gòu)

從近幾年全國(guó)一卷理科考查的知識(shí)點(diǎn)情況可以看出，2015 年、2016 年、2017 年、2018 年在選擇題和解答題中，對(duì)于解析幾何均有不同程度的考查，難度為中等題和中難題。僅在2015 年有一選擇題，難度為容易。解析幾何考查的知識(shí)要點(diǎn)主要為拋物線的定義，幾何性質(zhì)，基本結(jié)論等等，例如在2016 年，理科數(shù)學(xué)選擇題的考查知識(shí)要點(diǎn)主要為直線方程三角形面積存在性問(wèn)題。在2017 年，選擇題的解析幾何考查的主要內(nèi)容為圓的一般方程及弦長(zhǎng)計(jì)算、幾何性質(zhì)與解析、幾何與解三角形的交匯問(wèn)題。在2018 年選擇題的解析幾何考查的主要內(nèi)容為弦長(zhǎng)公式、幾何性質(zhì)，橢圓的定義坐標(biāo)關(guān)系。2019 年選擇題的解析幾何考查的主要問(wèn)題為直線與圓的位置關(guān)系、數(shù)形結(jié)合思想、四邊形面積問(wèn)題。從命題趨勢(shì)上可以看出，選擇題考查的解析幾何范圍較大。

解答題考查的難度相對(duì)于選擇題來(lái)說(shuō)有顯著的提升，例如在2016 年，解答題考查的內(nèi)容主要為橢圓的幾何性質(zhì)，綜合求解能力，直線與圓的位置關(guān)系。在2017 年解答題，考查的內(nèi)容為圓的一般方程，弦長(zhǎng)計(jì)算，坐標(biāo)關(guān)系，弦長(zhǎng)公式三角形面積等知識(shí)。在2018 年考查的主要內(nèi)容為直線方程與定積分，幾何意義斜率與弦中點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，橢圓的定義幾何性質(zhì)。在2019 年考查的內(nèi)容主要為直線與橢圓的位置關(guān)系，定積分的幾何意義與計(jì)算解三角形交匯問(wèn)題，直線與圓的位置關(guān)系等等。其中解析幾何與雙曲線的結(jié)合應(yīng)用最為廣泛，相對(duì)來(lái)講計(jì)算量也更大，對(duì)于學(xué)生的綜合分析能力，邏輯推演能力考查等級(jí)更高。

從上述考查內(nèi)容可以看出，解析幾何與直線、橢圓、雙曲線和拋物線等多項(xiàng)理科數(shù)學(xué)的考查要點(diǎn)高度相關(guān)，屬于每年必考的重點(diǎn)內(nèi)容。既是學(xué)生復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也是學(xué)生復(fù)習(xí)的難點(diǎn)，考查的形式比較多樣，包含選擇題，也有解答題填空題。且在填空題和解答題當(dāng)中位于后半部分位置，重點(diǎn)考查學(xué)生的綜合分析能力，數(shù)形結(jié)合能力，位置判斷能力，邏輯推導(dǎo)能力。在題型類別上主要解析橢圓的離心率，雙曲線離心率，漸近線等相關(guān)的問(wèn)題，直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的，涉及位置關(guān)系判定的考查方式。在題量上一般為兩小題，即一道選擇題，一道填空題或兩道選擇題。兩小題一大題加在一起共計(jì)22 分。在整張卷面上占比超過(guò)1/6。除此之外，解析幾何問(wèn)題還會(huì)與不等式以及函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題結(jié)合在一起，通過(guò)此類問(wèn)題命題方向的研究可以更加明確備考的方向，有效地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，幫助學(xué)生建立起良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。

三、解析幾何命題的研究策略

(一)解題關(guān)鍵思想

解析幾何的解題關(guān)鍵在于應(yīng)用代數(shù)的方法來(lái)對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行解決，這本質(zhì)上也是一種數(shù)形結(jié)合的方法，幾何問(wèn)題為數(shù)學(xué)的“形”，代數(shù)問(wèn)題則為數(shù)學(xué)的“數(shù)”，其根本在于用邏輯展現(xiàn)的形式來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)結(jié)論的探討。

首先，在解題的過(guò)程當(dāng)中，要掌握解析幾何解題的核心方法，應(yīng)用坐標(biāo)法來(lái)對(duì)幾何圖形的性質(zhì)進(jìn)行解析，這樣的解析可以讓數(shù)和形實(shí)現(xiàn)一種一一對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)圖形構(gòu)造。

其次，在解答的過(guò)程當(dāng)中，要將圖形置于坐標(biāo)系當(dāng)中，通過(guò)這種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，把曲線轉(zhuǎn)化為方程，可以對(duì)題目當(dāng)中隱含的一些數(shù)字關(guān)系進(jìn)行靈活的展現(xiàn)。

最后，根據(jù)所繪制出來(lái)的數(shù)據(jù)圖形來(lái)對(duì)一切幾何特征進(jìn)行解釋，應(yīng)用數(shù)量關(guān)系來(lái)對(duì)圖形的位置關(guān)系進(jìn)行具體的表達(dá)。整個(gè)解析幾何的解題邏輯可以概括為應(yīng)用代數(shù)問(wèn)題來(lái)對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行翻譯，再對(duì)代數(shù)問(wèn)題的解進(jìn)行具體運(yùn)算，從而翻譯成幾何問(wèn)題的解。這種從幾何到代數(shù)再到代數(shù)解題，最終展現(xiàn)為代數(shù)幾何綜合題的解題方式，可以顯著提高學(xué)生解題的靈活性與針對(duì)性，幫助學(xué)生真正掌握這種數(shù)形結(jié)合的解題方法。

(二)解題步驟

在解析幾何問(wèn)題回答的過(guò)程當(dāng)中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式、坐標(biāo)曲線對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式、方程幾何特征對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，是數(shù)式和數(shù)量的關(guān)系。學(xué)生在解題的過(guò)程當(dāng)中，要將點(diǎn)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)，將曲線轉(zhuǎn)化為方程，并應(yīng)用數(shù)式和數(shù)量的關(guān)系來(lái)展現(xiàn)幾何特征，只要把握好點(diǎn)、曲線、幾何特征、這三個(gè)基本的已知條件，就可以獲得坐標(biāo)方程及豎式以及數(shù)量關(guān)系這三個(gè)最終的計(jì)算結(jié)果。以下題為例。

【案例1】在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4，0)且與OM垂直，垂足為P。

2.當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程。

本題研究的方向是P軌跡的極坐標(biāo)方程，通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換的方法可以探討M在c上運(yùn)動(dòng)，且P在線段OM上時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡。在解答過(guò)程當(dāng)中，要通過(guò)幾何特征的選擇來(lái)令其代數(shù)化，并應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算等選擇合適的幾何特征，這對(duì)后續(xù)代數(shù)運(yùn)算具有較大的影響。

從該題的解題過(guò)程當(dāng)中可以分析得出，在復(fù)習(xí)教學(xué)過(guò)程當(dāng)中，一方面要落實(shí)解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)，尤其是點(diǎn)對(duì)應(yīng)的關(guān)系問(wèn)題，直線方程問(wèn)題，斜率問(wèn)題，圓錐曲線方程性質(zhì)與直線和位置關(guān)系等問(wèn)題。另一方面，在復(fù)習(xí)教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中，還要對(duì)幾何特征進(jìn)行詳細(xì)的講解，尤其是直線垂直的定義，平行的定義，線段等分面積，特殊四邊形的性質(zhì)判斷等等。除此之外，在教學(xué)的過(guò)程當(dāng)中還要對(duì)存在性問(wèn)題，共性問(wèn)題進(jìn)行針對(duì)性的研究，概括出幾種特殊的題型，找尋對(duì)應(yīng)性的定點(diǎn)問(wèn)題解法來(lái)獲得面積的計(jì)算方法，并結(jié)合弦長(zhǎng)與線段平分公式對(duì)圓和圓錐曲線之間的位置相關(guān)關(guān)系進(jìn)行反復(fù)探討，這樣的綜合教學(xué)方式可以全面提高學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力。

(三)解題方法

解析幾何的解答一直都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。只有按照步驟來(lái)進(jìn)行解題，對(duì)相關(guān)公式步驟方法、確定推演、過(guò)程優(yōu)化進(jìn)行全面的掌握，細(xì)致的解答，掌握真正的思想方法，才能夠完善研究問(wèn)題解答的方法與程序，起到正確的教學(xué)準(zhǔn)備與復(fù)習(xí)作用。

第一，采用坐標(biāo)法解題是解析幾何解題的基本方法之一，通過(guò)坐標(biāo)法來(lái)對(duì)幾何的位置進(jìn)行判定，可以對(duì)具體問(wèn)題進(jìn)行標(biāo)注，探討相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，尤其是在直線方程解答過(guò)程當(dāng)中具有非常重要的作用。坐標(biāo)法可以與圓的方程結(jié)合在一起，通過(guò)圓的坐標(biāo)點(diǎn)標(biāo)注探討圓與直線方程的相關(guān)關(guān)系，利用圓錐曲線當(dāng)中對(duì)坐標(biāo)與方程問(wèn)題形成的綜合幾何問(wèn)題進(jìn)行解題探討。

第二，采用函數(shù)與方程思想也可以解決解析幾何問(wèn)題，對(duì)于圓錐曲線上一些動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題進(jìn)行探討，引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，可以對(duì)長(zhǎng)度問(wèn)題進(jìn)行良好的解答。

【案例2】已知點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，動(dòng)點(diǎn)M(x，y)滿足直線AM與BM的斜率之積為，記M的軌跡為曲線C。

(1)求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線；

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G。

(ⅰ)證明：△PQG是直角三角形；

(ⅱ)求△PQG面積的最大值.

例如，在該題的解答過(guò)程當(dāng)中，就可以寫出直線的方程，并結(jié)合函數(shù)與方程思想對(duì)于ABC之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行整體反饋。從而判斷PQ兩點(diǎn)的相互位置關(guān)系，處理這類問(wèn)題時(shí)可以轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系，進(jìn)行幾何問(wèn)題的相關(guān)探討，通過(guò)相互關(guān)聯(lián)，相互獨(dú)立的未知數(shù)分析，將所研究的解析幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某一個(gè)或幾個(gè)未知數(shù)的函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，并通過(guò)函數(shù)關(guān)系的界定，探討直線的方程，反映出綜合的解析幾何關(guān)系。利用弦長(zhǎng)公式可以求得橢圓方程，聯(lián)合消去就可以獲得最終的參數(shù)、函數(shù)方程。

第三，采用分類討論思想是解決解析幾何問(wèn)題的一個(gè)關(guān)鍵思想，通常應(yīng)用分類討論思想的主要關(guān)系問(wèn)題為函數(shù)的：斜率問(wèn)題、直線斜率問(wèn)題、存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題。對(duì)于一個(gè)問(wèn)題有多個(gè)答案，多種可能性，采用分類討論進(jìn)行探討可以對(duì)某一位置關(guān)系進(jìn)行確定。這在最值問(wèn)題當(dāng)中某個(gè)參數(shù)是否為零，以及幾何背景當(dāng)中某一個(gè)位置關(guān)系的多種可能性解答當(dāng)中也具有非常重要的價(jià)值。

第四，采用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)對(duì)解析幾何問(wèn)題進(jìn)行直觀探討，可以充分利用圖形的直觀性來(lái)對(duì)函數(shù)問(wèn)題進(jìn)行整體反饋，進(jìn)一步簡(jiǎn)化解題的步驟。原有的解題過(guò)程可以得到有效的簡(jiǎn)化，從目前命題方向的研究當(dāng)中可以看出，50%以上的解析幾何問(wèn)題都要通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)化和轉(zhuǎn)化。在橢圓，雙曲線等圓錐曲線當(dāng)中圖形都具有非常明顯的對(duì)稱性，利用這一性質(zhì)可以減少變量的引入，通過(guò)對(duì)稱點(diǎn)的設(shè)計(jì)來(lái)提高計(jì)算的精確程度，進(jìn)一步提高學(xué)生的解題能力。

第五，采用參數(shù)法來(lái)進(jìn)行解題，可以對(duì)解析幾何問(wèn)題處理過(guò)程當(dāng)中因直線曲線方程點(diǎn)的不確定性引入的多個(gè)變量進(jìn)行簡(jiǎn)化，避免出現(xiàn)不確定性討論造成討論的難度增加。通過(guò)引入適當(dāng)參數(shù)的方法，可以整體反饋直線或圓錐曲線的變化狀態(tài)，從而應(yīng)用不等式的相關(guān)知識(shí)來(lái)對(duì)函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解，這種求解方式在圓錐曲線與三角形面積參數(shù)的取值范圍求解當(dāng)中具有非常廣泛的應(yīng)用。

四、結(jié)論

綜上所述，高三備考是一項(xiàng)系統(tǒng)性工作，只有對(duì)歷年高考真題進(jìn)行整合性研究，判斷重點(diǎn)難點(diǎn)的分布位置，對(duì)某一知識(shí)命題角度、設(shè)題方式、考題內(nèi)容進(jìn)行整體性解答，采用通法來(lái)進(jìn)行復(fù)習(xí)策略的準(zhǔn)備，才能夠提高教學(xué)的針對(duì)性。從本文分析可知，研究解析幾何在理科全國(guó)一卷當(dāng)中的命題規(guī)律，有利于我們從發(fā)展的角度看待目前備考準(zhǔn)備工作當(dāng)中存在的不足，從而更好地探討求解，促進(jìn)學(xué)生科學(xué)備考，提高教學(xué)的針對(duì)性。