具有捕獲和時滯的浮游動植物相互作用模型研究

李曉娜

(1.伊犁師范大學數學與統計學院,新疆 伊寧 835000;2.伊犁師范大學應用數學研究所,新疆 伊寧 835000)

0 引言

浮游生物系統是海洋生態學的一個重要研究領域.作為海洋食物鏈中的第一營養級,浮游植物通過吸收周圍環境中的二氧化碳,將能量、無機化學物質轉化為碳水化合物,浮游動物則以浮游植物為食.由于浮游生物數量很難被監測,所以對其建立數學模型就是一個很好的研究方法.

近幾年,許多學者對浮游生物系統進行了研究.浮游植物生長的主要特點是,細胞快速的增殖使其數量快速增長的速率幾乎等于其數量快速減少的速率.這種浮游植物種群密度的快速變化稱為“水華”[1].由于高生物量的積累和毒素的存在,有些水華稱為“有害海藻水華族”[2].眾所周知,有害海藻水華族會造成大量的水生生物死亡或中毒,這不僅會影響人類身體健康,還會造成巨大的社會危害.毒素在浮游動植物數量的增長過程中扮演著重要角色. JANGA等[3]建立了有毒浮游植物與浮游動物相互作用的模型.研究表明,毒素既可以抑制浮游植物與浮游動物數量的增長,還可以抑制它們的營養水平.但浮游植物釋放毒素不是一個瞬時過程,需要考慮浮游植物的成熟時間,因此有必要研究帶有時滯的浮游動植物相互作用模型的動力學行為.REHIM[4]和MEHBUBA[5]研究了具有時滯的產毒浮游植物與浮游動物相互作用的模型,分析了其動力學行為.

但是很少有人關注捕獲對浮游動植物種群的影響.隨著社會的發展,一方面人類對食物和能源有了更多的需求,導致人類對幾種生物資源的開發力度增大,特別是高價值漁業,在過去的半個世紀,魚類數量已經大大減少;另一方面,保護生態系統又是全球關注的問題.面對兩者的矛盾,近年來,與可持續發展有直接關系的可再生資源受到越來越多的重視[6-7].Lü等[8]建立了具有捕獲的浮游生物系統,研究了捕獲因素對系統穩定性的影響,結論表明,過度的開采會導致物種的滅絕,而適度的放養策略會確保物種的可持續性,所以捕獲因素對于浮游動植物的研究也非常重要.

SAHA[1]建立有毒浮游植物與浮游動物相互作用的模型:

(1)

基于以上模型,本文建立了具有捕獲的一種產毒浮游植物與兩種浮游動物相互作用的模型:

(2)

其中,常數c,c1,c2表示三種物種的可捕獲率,E表示對物種的捕獲.此模型還考慮了浮游動物為了生存而相互競爭因素,g1,g2表示兩種浮游動物的競爭系數.

1 系統平衡點的存在性

下面給出系統(2)平衡點的存在性.

定理1 (i)系統(2)存在滅絕平衡點E0(0,0,0);

且

2 系統平衡點的穩定性分析

下面分析系統(2)當τ≠0時共存平衡點的全局穩定性和Hopf分支存在的條件.

引理2.1[9]考慮如下的指數多項式:

當(τ1,τ2,…,τm)變化時, 若有一個零根出現或穿過虛軸,則在開的右半平面上,指數多項式p(λ,e-λτ1,…,e-λτm)的零根的順序也發生變化.

(3)

系統(3)的特征方程為:

G(λ,τ)=λ3+Aλ2+Bλ+C+e-λτ(Dλ+E)=0,

其中,A=-(a11+a23+a33),B=a11a23+a33(a11+a23)-a12a21-a13a31,C=a33(a12a21-a11a23)+a13a23a31,D=-(a13a32+a12a22),E=a31a32a23+a12a22a33.

當τ≠0時,設λ=iω(ω>0)是方程G(λ,τ)=0的一個根,則

-iω3-Aω2+Biω+C+(cos(ωτ)-isin(ωτ))(iDω+E)=0.

分離實部和虛部得到:

(4)

對方程兩邊先同時平方,再求和得到:

ω6+(A2-2B)ω4+(B2-2AC-D2)ω2+C2-E2=0.

(5)

令R=ω2,則(5)式變為:

R3+b1R2+b2R+b3=0,

(6)

其中,b1=A2-2B,b2=B2-2AC-D2,b3=C2-E2>0.

令

g(R)=R3+b1R2+b2R+b3.

(7)

下面討論方程(6)零點的分布.由g(0)=b3=C2-E2>0,可得下面的引理.

引理2.2 方程(6)至少有一個根.

引理2.3 假設Δ=b1-3b2≤0,則方程(6)沒有正根.

3R2+2b1R+b2=0,

(8)

則方程(8)的根為:

(9)

引理2.4 方程(6)有正根當且僅當R1>0且g(R1)≤0.

令

其中,k=1,2;j=0,1,2,….

證明 方程G(λ,τ)=0的兩端同時對τ求導:

則

由(4)可得:

因此,

3 結語

本文研究了具有捕獲的一種產毒浮游植物和兩種浮游動物相互作用的模型.由于浮游植物產生毒素不是瞬時的,而需要一個成熟的過程,所以在捕獲因素的基礎上還考慮了時滯因素的影響,討論了模型的平衡點的存在性, 得出模型可能存在五個平衡點,并討論了模型的共存平衡點的穩定性.研究結果表明,時滯會影響系統的穩定性,當時滯經過臨界值時,系統由穩定狀態轉化為不穩定狀態,且在這個過程中會出現Hopf分支.除了本文所考慮的影響浮游動植物系統的因素外,可能還存在其他影響因素,這將是今后的研究方向.