基于ARMA模型的居民消費水平分析與預測
——以湖南省為例

■ 黃炳 李維（湖南人文科技學院數學與金融學院）

一、導論

國家經濟已經進入“十三五”規劃的中后期發展時期，合理統籌城鄉經濟發展的二元性問題，縮小城鄉居民消費水平差距對湖南省“三農”問題和經濟社會發展有著重要影響。湖南省位于中國內陸東南腹地的長江經濟帶國家發展戰略地帶中，同時對我國的“一帶一路”建設也發揮一定的作用，因而發展湖南省經濟顯得尤為重要。黎東升等根據湖北省的農村居民消費支出數據，建立了GM(1,1)灰色動態模型，利用精度檢驗對擬合模型修正，最終實現對數據的推算預測[2]。李群霞研究消費支出及其影響因素之間的關系，建立長期均衡計量經濟模型，通過影響因素之間的動態關系，對數據平穩性預處理從而達到協整檢驗分析非平穩經濟變量的數量關系，研究了非平穩經濟變量的數量關系[3]。本文將從湖南省居民消費水平相對差距入手，以湖南省居民消費水平的歷史數據建立平穩的時間序列，構建ARMA模型，為“十三五”目標提供理論和實證依據。

圖1 湖南省1978—2017城鄉居民相對收入差距變化趨勢

圖2 差分處理序列后的趨勢

圖3 差分序列I3的自相關圖和偏自相關圖

圖4 差分序列I3的模型

二、湖南省居民消費水平預測實證分析

（一）ARMA模型的建立

1.時間序列判斷

本文數據主要來源于2018年湖南統計年鑒、2018年中國統計年鑒和湖南省人民政府網。將湖南省城鎮居民消費水平減去湖南省農民居民消費水平，再除以湖南省城鎮居民消費水平得到相對居民消費水平差距，記為Xt（1978≤t≤2017）。圖1為湖南省城鄉居民相對居民消費水平差距趨勢圖。

由圖1觀察可知，時間序列Xt含有趨勢性，是不平穩的。同時通過 ADF 根檢驗進行單位根檢驗判斷平穩性，存在單位根，原始序列Xt不平穩。

2.數據平穩化處理

對原始數據Xt進行差分處理，圖2為序列的變化趨勢。

從圖2可以清晰的看到，經過差分處理后的序列是平穩的。差分后的t統計量值為-6582427，而顯著性水平為1%、5%和10%的臨界值分別為-2.639210、-1.951687、-1.610579，t統計量明顯小于顯著性水平為1%的臨界值，故而拒絕系數為零的原假設，即不存在單位根，序列已平穩。

3.自相關圖與偏自相關圖識別

根據圖3自相關圖和偏自相關圖，對ACF和PACF進行觀察，發現該時間序列I3的自相關和偏自相關都具有拖尾的特征，因此可建立ARMA模型。參數估計結果觀察對比可知ARMA（2,1）和ARMA(5,1)數值相近且較小，而ARMA（5,1）模型的可決系數(Adjusted R2)最大，所以ARMA（5,1）模型在這幾個模型中是比較合適的。

4.建立擬合模型

通過之前對模型的識別和選擇，擬合ARMA（5,1）模型：

根據表1可知，擬合的ARMA(5,1)模型是。

圖5 擬合模型殘差序列自相關圖與偏自相關圖

表1 ARMA(5,1)模型的估計及檢驗結果

表2 模型預測表

表3 模型差分預測值

（二）ARMA模型的檢驗與預測

1.擬合模型殘差檢驗

對擬合模型做出殘差序列得到圖4。

通過判斷殘差是否存在白噪聲檢驗擬合模型的信息提取是否完全。對圖4的擬合模型殘差序列進行Q檢驗，根據Q統計量對應的伴隨概率P值的概率大小判斷是否為白噪聲。由圖可知，擬合模型的P值要顯著大于5%，模型不拒絕殘差是白噪聲的零假設，從而說明誤差項不存在自相關，該模型不需要修改。

2.擬合模型預測

本文通過擬合的有效模型ARMA(5,1)進行預測，首先我們需要對模型的擬合值和實際值進行誤差分析，見表1。

從圖5的絕對值和均方誤差充分表明模型的誤差區間保持在較小的范圍內，ARMA(5,1)擬合的實際值與擬合值的絕對值均在0.05之中，均方誤差幾乎都低于或相近于5%的誤差度。對擬合模型2011年至2017年進行靜態預測，得到圖6，曲線均在有效區間內。對比2011年至2017年靜態預測值和差分序列得到圖7，模型預測值基本和差分序列圖擬合。對2018年、2019年和2020年進行模型預測得到表3和圖3.9：根據ARMA(5,1)模型預測2018—2020年三年的居民消費水平差距預測值為0.000410、0.006399和-0.006342。

圖6 擬合模型樣本內預測圖

圖7 擬合模型樣本內預測效果圖

三、結論

從1978—2017年的城鄉居民消費水平相對差距上看，湖南省居民消費水平呈現一定的波動性，但是總體層面上依然處于差距擴大的局面。隨著居民消費水平的繼續增長，城鄉的居民消費水平差距繼續拉大，經濟的持續增長將會加大兩極分化的速度。通過模型ARMA(5,1)的預測圖可知，在2018年、2019年和2020年三年內，湖南省居民消費水平差距仍呈擴大趨勢，沒有根本上縮小。