工程參數擾動性計算方法的選擇與分析

于 洋，職保平，2，秦凈凈

(1.黃河水利職業技術學院，河南開封475000；2.西藏自治區水利電力規劃勘測設計研究院，西藏拉薩850000)

工程中存在物理不確定性、統計不確定性和模型不確定性三大類，其中物理不確定性主要包含材料常數、幾何尺寸、荷載及邊界條件等；統計不確定性主要指工程中的誤差、擾動常采用統計方法進行分析，但噪聲等因素的存在，必然使統計結果存在誤差；而模型不確定性是指簡化所得的數學模型與實際結構之間差異所以引起的模型計算響應和實際結構響應的偏差[1]。

在水利工程中，特別是西藏水利工程中，由于環境特性導致多個各參數的誤差進一步放大。這些誤差是客觀存在的，已有研究表明，結構參數的擾動性可能引起結構動力特性和動力響應的大幅度變化，使力學參數的擾動性在一定條件下成為主導因素[2]。文獻[3]表明，結構最大響應的變異系數通常是結構參數變異系數的2～4倍，即擾動性引起誤差的幅值為確定參數解的2～4倍，還有文獻給出的算例高達7倍；與此同時，結構參數的隨機性對動力響應的貢獻量一般大于外激勵貢獻量[4]。顯而易見，按照確定參數分析得到的結果，并不能完全精確地描述結構的真實動態行為。目前針對結構參數擾動性問題，在計算時一般使用概率模型、模糊模型、區間模型[5- 6]三類模型進行處理，但參數擾動的研究在水利工程行業中并不深入，成果較少，多是單參數的計算分析，而采用隨機參數結構方法的研究十分匱乏。

本文團隊分別將概率攝動法[7]、二階攝動法、LR模糊數[8]以及區間參數[9-10]方法引入水電機組振動傳導問題中，推導了相關的計算過程，但最終各方法的計算特性未開展橫向對比研究，本文以水電機組振動傳導為例，分別采用概率模型中的攝動法、LR模糊數法、區間參數法進行橫向計算對比研究，分析在考慮結構參數存在擾動時，各方法的計算性能，最終為水利工程計算參數擾動問題提供方法選擇依據。

1 隨機攝動法

應用概率模型中攝動法時，要求各參數擾動量小范圍變化，一般小于15%，同時需要已知參數的概率特性，一般假定為正態分布，利用其線性變換也服從正態分布這一特性進行計算，應用隨機攝動理論，隨機變量分解為確定部分和擾動部分

(1)

式中，ε為小參數；上標d表示確定部分，在實際應用中表示多次采樣后的均值；上標p表示擾動部分，實際應用中具有零均值性質，同時要求隨機部分比確定部分小得多。

對式(1)求數學期望

(2)

式中，Ea為21×1階，EFt為1×1階。同樣，求方差，根據Kronecker代數及其相應的隨機分析理論得[11-12]

(3)

根據Taylor展式，將Ft在Ftd處一階展開得

(4)

將式(4)帶入式(1)得

(5)

從而得到傳遞力的擾動范圍。

2 LR模糊數法

(6)

圖1 LR型模糊數

(7)

(8)

圖2 LR三角型模糊數

(9)

(10)

根據模糊數運算法則得

(11)

(12)

3 算例分析

以混流式水電機組振動傳導分析為例，其振動簡化模型見圖3，各方法采用統一模型計算。由于本文是探討各方法是計算性能，模型簡化過程不作為主要問題進行闡述，詳細簡化過程見文獻[7]，不考慮蝸殼及其下部結構影響，假設激勵為單頻簡諧激勵，各參數均值由水電站施工設計圖及生產廠商提供資料計算及折算得到，其中采用比例阻尼進行分析，各參數均值如下m1=8.28×104，m2=1.042×106，m3=3.29×105，m4=9×105，m5=1.2×105，m6=1.39×105，m7=8.92×105，m8=1.15×105質量m的單位為kg；k1=7.26×1010，k3=5.72×1010，k4=2.32×1010，k51=2.20×1012，k52=9.41×109，k6=7.70×109，k7=4.26×108，k81=1.73×108，k82=1.73×1010，剛度k單位N/m；c1=5.48×106，c3=4.11×106，c4=1.02×107，c51=2.56×107，c52=7.51×104，c6=1.64×106，c7=9.74×105，c81=2.23×105，c82=9.99×104，阻尼c的單位為N·s/m。

圖3 傘式機組豎向振動簡化模型

這些參數中，油膜、水封的剛度參數非線性強，且難以測量，參數具有很強的不確定性，由此取k51，k81，c51，c81區間半徑為0.1倍的均值；頂蓋上承載的控制部件等附加部件較多且重量、剛度、阻尼的計算采用折減系數得到，因此存在不少不確定，取k82，c82區間半徑為均值的0.05，取機墩等質量單元的區間半徑為均值的0.001。

采用各方法計算傳遞率的結果如圖4～圖7所示，傳遞率為傳遞力與激振力的比值，能夠更為明確的表述各方法計算的特性。在計算中，采用攝動

圖4 攝動法計算傳遞率及傳遞率方差特性曲線

圖5 LR模糊數法計算不同截集水平下的傳遞率分布圖及局部放大示意

法計算時，由方差轉化為均值倍數關系為均值的1.7841%～12.2%；采用LR模糊數計算方法，采用三角形模糊函數時，最大邊界范圍為均值的-26.2%～26%；采用區間參數計算時，最大邊界范圍為均值的1.06%～14.11%。

圖6 各截集下不同固有頻率處的路徑傳遞率模糊度

圖7 區間參數計算各路徑傳遞率及取值上下限

4 結 論

本文參數擾動分析中，分別采用隨機攝動法、LR模糊數法、區間參數方法來描述分析中所遇到參數不確定問題，結果顯示：

(1)三類方法在計算過程中均表現出相同的變化趨勢，頂蓋路徑與軸系統路徑的比例分配大致相同，均在固有頻率處出現極值，三類方法在計算水電機組振動傳導問題時均可以得到有效解。

(2)從各方法的計算結果來看，區間參數方法計算得到的擾動范圍下限最小，上限較攝動法略有增加，其結果質量與隨機攝動法不相上下，而LR模糊數法則擾動范圍發生擴張，當結構參數進一步增加，參數擾動區間擴大時，其結果將產生更為不利擾動區間擴張。

(3)三類方法中，隨機攝動法、LR模糊數法需要一定的已知或假設條件，因此在計算水電機組振動傳導問題時，建議采用區間參數方法。

本文針對水電機組振動傳導問題展開參數擾動性的方法計算分析，但所采用的三種方法并不限定于水電機組，其方法同樣適用于水利、土木等土建結構，方法性能的選擇為分析確定結構隨機問題提供了思路以及理論支撐。