變分模態分解的Volterra模型和形態學分形維數在發動機故障診斷中的應用*

周小龍，劉薇娜，姜振海，馬風雷

（1.北華大學機械工程學院，吉林 132021； 2.長春理工大學機電工程學院，長春 130022；3.長春工業大學機電工程學院，長春 130012）

前言

發動機作為汽車的關鍵部件，其性能的可靠性直接決定著車輛使用的安全性。發動機異響故障的檢查與排除是其檢修過程中的常見工作。發動機出現異響故障的主要原因是相應構件的配合間隙超過極限尺寸而產生間歇性或連續性的金屬敲擊聲。常見的發動機異響故障主要包括活塞敲缸異響、活塞銷異響、氣門異響和軸瓦異響等［1］。當發動機處于不同工況時，由于受動載荷、接觸力、間隙和剛度等非線性因素的影響，系統往往呈現出非線性特征，其實測信號是非常復雜的混合信號［2］。傳統故障診斷方法對于此類復雜性的刻畫具有一定局限性。因此，如何從實測信號中提取能有效表征發動機狀態的特征參數是發動機故障診斷的關鍵點與難點［3］。

由于實測發動機信號的不規則性和欠穩定性，使其在一定尺度范圍內具有明顯的分形特征［4］。分形幾何是一種復雜信號幾何結構分析的方法，其中，分形維數是分形復雜性的度量指標，它可有效刻畫分析對象的復雜性和非線性程度。分形維數種類眾多，目前，以Maragos等［5］提出的基于數學形態學的分形維數估計方法最為有效且應用最為廣泛。對于發動機信號而言，其工作狀態的變化必然會改變其幾何形態［6］，因此，可通過基于發動機實測信號的數學形態學分形維數的估計對發動機的工作狀態進行判別。然而，對于發動機異響故障診斷，多以其缸蓋振動信號作為研究對象，但測點位置不同，所采集振動信號的特征會表現出較大差異，且測量方法相對復雜，診斷的準確性難以保證［7］；同時，工程實際所檢測到的發動機信號中含有大量背景信號和環境噪聲，分形維數對于信號的信噪比十分敏感，若想準確獲取信號的分形維數必須對其進行降噪提純；另外，當原始信號數據量過大時，直接對其分形維數進行估計往往計算量巨大，所以在計算分形維數前有必要對原始信號進行處理。

針對發動機信號的非線性特征，王鳳利等［4］采用總體經驗模態分解（ensemble empirical mode decomposition，EEMD）方法對發動機信號進行降噪處理，并選取第1階固有模態函數（intrinsic mode function，IMF）分量對信號重構，以此提高分形維數計算的準確性。為提高分形維數的計算效率，王冰等［8］將原始數據均分，分別計算其數學形態學分形維數，并以其均值作為分析數據的分形維數估計結果。然而，受限于白噪聲的添加次數，EEMD分解中所添加的噪聲難以完全消除，這在一定程度上影響了模態混疊問題的處理效果；同時，僅以第1階IMF分量作為重構信號，易將淹沒在背景信號和環境噪聲中的部分表征發動機狀態特征的信息丟失，降低其數學形態學分形維數求解的準確性。此外，分段求解信號的分形維數雖能提高計算效率，但由于缺少分段依據，計算結果的穩定性難以保證。

變分模態分解（variational mode decomposition，VMD）方法［9］是一種非遞歸式自適應信號處理方法，它可將復雜的非線性信號自適應地分解成若干個具有調幅 調頻特性的IMF分量，有效避免了EEMD分解過程中的模態混疊問題，并具有良好的噪聲魯棒性。Volterra模型是一種非線性預測模型，其模型參數凝聚了系統狀態的重要信息，在實際非線性系統建模問題中應用廣泛［10］。相較于自回歸（auto regressive，AR）模型，Volterra模型可有效解決信號的非平穩問題，并降低計算難度。鑒于上述分析，筆者將基于VMD的Volterra模型和形態學分形維數相結合，應用于發動機異響故障診斷。首先，以發動機異響聲振信號為研究對象，采用VMD方法對發動機聲振信號進行分解，并通過基于互信息熵 能量熵增量的虛假IMF分量剔除算法，濾除信號內的背景成分和噪聲分量，對包含故障信息的敏感IMF分量進行信號重構，然后對其進行相空間重構，建立Volterra自適應預測模型，獲取模型參數向量W（n），最后計算模型參數向量W（n）的形態學分形維數，從而準確量化發動機工作狀態特征，提高計算效率和故障診斷準確性。通過發動機實測信號的分析，證明了所提方法的有效性。

1 變分模態分解的Volterra模型

1.1 變分模態分解基本原理

VMD方法通過相關迭代計算以搜尋變分模態模型的最優解，由此確定每階IMF分量的中心頻率，從而實現信號頻率的自適應劃分，有效解決了模態混疊問題的產生。同時，由于采用非遞歸的分解方式，也避免了遞歸分解方式所引起的端點效應問題。

VMD方法可根據預設尺度參數K將信號分解成K個中心頻率為ωk的模態函數uk，因此，它是一種全新的自適應信號分解方法。VMD算法中，對于IMF分量進行了重新定義：

式中：uk為一調幅 調頻信號；相位φk（t）非單調遞減，即k（t）≥0；包絡線Ak（t）≥0；且Ak（t）與瞬時角頻率ωk（t）＝·φk（t）對于相位函數φk（t）而言是緩變的。

每個IMF分量頻率帶寬的估計由以下步驟完成：①采用Hilbert變換求解每個模態函數的邊際譜；②加入指數項調整各模態函數自估計的中心頻率；③通過高斯平滑（梯度的平方L2范數）對信號解調從而獲得各模態函數帶寬。

設信號經VMD分解獲得K個IMF分量，則得到變分約束問題：

式中：?t為對函數求時間t的偏導數；δ（t）為單位脈沖函數。

為求解上述約束最優化問題，引入增廣拉格朗日函數ζ：

式中：α為二次懲罰因子，保證在高斯噪聲存在情況下信號的重構精度；λ（t）為拉格朗日乘子，用于保證約束條件的嚴格性；f（t）為實測信號；＜＞表示向量內積。

利用交替方向乘子法（alternate direction method of multipliers，ADMM）求解上述拉格朗日函數的鞍點，即式（2）變分約束模型的最優解。求得的模態分量uk及中心頻率ωk分別為

VMD具體實現過程如下：

（2）執行循環n＝n＋1；

（3）根據式（4）和式（5）更新uk和ωk；

1.2 基于互信息熵-能量熵增量的虛假IMF剔除算法

信號內環境噪聲和虛假干擾成分除影響信號特性外，還會影響各IMF分量同原信號間時域互相關系數的計算精度。在信息論中，互信息熵主要用于兩事件間相關程度的度量，其受外界干擾因素影響較小［11］。而信號的能量譜能夠表征各狀態變量在整個系統中所占能量的相對關系，可有效降低信號內干擾成分的影響。由VMD算法可知，信號經VMD分解所獲得的每階IMF分量包含不同的頻率成分，具有不同的能量。表征信號自身特征信息的主模態分量應占有主要能量，而特征信息不敏感的虛假模態分量的能量所占比例較小［12］。基于上述分析，在此提出一種基于互信息熵 能量熵增量的虛假IMF分量剔除算法。

1.2.1 互信息熵

對于事件X和Y，設其表達式分別為

兩者的互信息熵可定義為

式中：H（X）和H（Y）分別為X和Y的熵；H（X，Y）為X和Y的聯合熵。各熵值表達式分別為

式中：px（xn），py（ym）和pxy（xn，ym）分別為事件X，Y和聯合事件XY的概率，且

互信息熵值越大，說明兩事件的聯系越緊密。對于IMF分量而言，其與原信號間的互信息熵越大，表明該分量包含信號的特征信息越豐富［11］。

1.2.2 能量熵增量

對于信號x（t）而言，設u1（t），u2（t），…，un（t）為其經VMD分解得到的IMF分量。基于IMF能量熵增量的虛假模態函數判別的具體過程如式（10）～式（12）所示。

（1）計算各階IMF分量的能量

式中ui（t）為第i階IMF分量。

（2）將各階IMF分量的能量歸一化

式中N為IMF分量的總階數。

（3）計算各IMF分量的能量熵增量值

該方法對變量取對數后并不會改變數值的單調性，又能夠和事件發生概率相聯系，因此，可有效剔除信號內的虛假干擾成分。

基于互信息熵 能量熵增量的虛假IMF分量剔除算法，從信號間的相關程度和能量角度出發對虛假IMF分量進行判別，該方法受干擾因素較少，能夠更為有效地判別出同故障信息無關的噪聲成分和虛假迭代分量，強化信號的故障特征信息。

1.3 Volterra預測模型

Volterra模型是一種非線性預測模型，其模型參數凝聚了系統狀態的重要信息，在實際非線性系統建模問題中得到廣泛應用。相較于AR模型，Volterra模型可有效解決信號的非平穩問題，并有效降低計算難度。

設X（n）＝［x（1），x（2），…，x（n）］為采集到的發動機聲振信號，U（n）＝［u（1），u（2），…，u（n）］是經VMD分解所得一敏感IMF，采用延遲坐標法對其進行相空間重構［11］，則

式中m和τ分別為嵌入維數和時間延遲。

以U′（n）為輸入，輸出為y（n）＝u（n＋1），則其Volterra級數展開式為

式中：hk（i1，…，ik）為k階Volterra核；p為Volterra展開級數；m為記憶長度。Volterra級數實質為一無窮級數，因此，工程實際應用中常采用2階Volterra級數進行描述。本文中選取2階Volterra級數對敏感IMF分量構建預測模型，即

令

則式（14）可表示為

以歸一化最小均方自適應算法求解式（19）可得到時間序列的Volterra預測模型。其模型參數向量W（n）對系統變化非常敏感，可有效表征系統狀態信息。

根據Volterra模型的性質，可采用W（n）組成狀態特征向量用以表征IMF分量u（t）的特征。

2 數學形態學分形維數

分形維數能夠在不同尺度下對分形集邊界的復雜度和不規則度進行度量，它可有效實現分類集的描述和區分。但如何實現不同尺度下分類集的度量是分形維數估計的難點與關鍵。而數學形態學是一種在不同尺度下度量信號的數學方法，因此，可利用數學形態學對信號的分形維數進行估計。

2.1 數學形態學基本運算

膨脹和腐蝕是數學形態學的基本算子。設h（n）和g（m）是定義在H＝｛0，1，2，…，N-1｝和G＝｛0，1，2，…，M-1｝上的離散函數（N＞M）。其中，h（n）為輸入信號，g（m）為結構元素。則h（n）關于g（m）的腐蝕和膨脹運算的定義為

2.2 分形維數估計

假設離散時間信號h（n），n＝0，1，…，N；單位結構元素為g，則在尺度ε下所采用的結構元素可定義為

即單位結構元素g（m）膨脹ε次，從而在尺度ε下信號h（n）進行腐蝕和膨脹的結果分別為

定義尺度ε對信號的覆蓋面積：

Ag（ε）滿足如下條件

式中：DM為信號的Minkowski-Bouligand維數；c為常數；εmax為分析信號最大尺度。因此，對lg［Ag（ε）／ε2］和lg（1／ε）采用最小二乘線性擬合即可求出信號的Minkowski-Bouligand維數的估計。

由式（26）可知，單位結構元素g和最大尺度εmax為數學形態學分形維數估計過程中的兩個重要參數。根據文獻［5］中的分析，為提高計算效率，并降低信號幅值范圍對于估計結果準確性的影響，在此單位結構元素采用長度為3的扁平元素，即g（m）＝［0 0 0］。根據發動機聲振信號以一個工作循環作為其周期的特性，并參照文獻［13］，將最大尺度εmax設置為60。

3 基于VMD的Volterra模型和形態學分形維數的故障診斷

本文中將VMD方法在信號分解方面的有效性、Volterra模型在非線性系統建模方面的優越性和形態學分形維數在故障信息提取方面的準確性相結合，提出基于VMD的Volterra模型和形態學分形維數的發動機異響故障診斷方法。該方法的流程圖如圖1所示，具體步驟如下：

（1）采用VMD方法對實測發動機故障信號進行分解，得到一系列IMF分量；

（3）對重構信號的嵌入位數m和時間延遲參數τ進行估計，并對其相空間重構，建立2階Volterra自適應預測模型，獲取模型參數向量W（n）；

（4）計算模型參數向量W（n）的形態學分形維數，并將其作為發動機故障信號的量化特征量用于識別發動機的工作狀態和故障類型。

圖1 算法流程圖

4 發動機聲振信號分析

4.1 發動機聲振信號的采集

為驗證本文中所提方法的有效性，并解決振動信號在發動機故障診斷方面的不足，以某型6缸柴油發動機運行時缸蓋表面聲振信號為研究對象。將第3缸設置為故障缸，人為模擬發動機正常、活塞銷異響、氣門異響、活塞敲缸異響和軸瓦異響等5種工作狀態。異響故障模擬時，相關參數設置如表1所示。

試驗裝置包括信號源、信號采集系統和分析系統。其中信號采集系統為B＆K LAN-XI型聲學振動分析儀，由4190型聲壓傳感器、前置放大器、4299型聲源轉換器、3050-A-060型數據采集器組成。分析系統由計算機、PLUSE 12.0和MATLAB分析軟件組成。試驗過程中，采用近聲場測量，所選測點，位于缸體上部第3缸左側，距離聲源約0.25 m。采取同步采樣，采樣精度為16 bt，發動機轉速為900 r／min，采樣頻率為6 000 Hz，采樣時間為10 s，信號分析時長選取0.5 s，分別測得發動機信號，每種狀態下各截取10組信號作為檢測樣本。不同工作狀態下獲取的1組發動機聲振信號時域波形如圖2所示。由圖2可知，不同狀態下發動機聲振信號的時域波形雖有一定差異，但信號中含有大量噪聲干擾成分，僅以時域波形為依據難以準確診斷出發動機的工作狀態和故障類型。

表1 發動機異響故障模擬的相關設置參數

4.2 發動機聲振信號的分析

為有效濾除背景干擾和環境噪聲等成分對信號特征提取準確性的影響，采用VMD方法對不同狀態下發動機聲振信號進行分解。

由VMD算法可知，使用VMD分解信號時，預設尺度參數K和二次懲罰因子α是影響分解精度的主要參數。因此，對于實測信號的VMD分解，其參數的合理選擇是該方法的難點與關鍵。信號經VMD分解所獲得各階IMF分量的中心頻率以由低頻到高頻的形式分布，若取得最優預設尺度參數K，則最后1階IMF分量的中心頻率應首次取得最大值，且隨著K值的增大，最大中心頻率值仍會保持穩定。因此，本文中以各IMF分量中心頻率首次取得最大值法確定預設尺度參數K的最佳值。通過對大量實測發動機聲振信號VMD分解結果的測試分析并參照文獻［9］，本文中選取二次懲罰因子α＝2000。

選用圖2（e）的軸瓦異響故障信號進行VMD分解，不同預設尺度參數K值下，分解得到最后1階IMF分量的中心頻率，如圖3所示。由圖3可知，當K＝6時，IMF分量中心頻率取得最大值，并隨著預設尺度參數K值的增大，IMF分量中心頻率的最大值趨于穩定，未出現明顯的數值波動，可認為此時VMD的分解效果最佳。因此，選用K＝6對發動機聲振信號進行分析。軸瓦異響故障信號的VMD分解結果及各IMF分量的頻譜如圖4所示。

圖2 不同狀態下發動機聲振信號

圖3 不同預設尺度下IMF分量中心頻率最大值

由圖4可知，VMD分解所得各IMF分量集中在各自的中心頻率附近，各模態間的頻率并未出現交疊現象，從而有效抑制了模態混疊問題的產生，并減少了各模態分量間的信息泄露。

圖4 軸瓦異響信號的VMD分解結果及頻譜

為有效剔除軸瓦異響信號中的噪聲及對故障信息不敏感的虛假干擾分量，計算圖4中經VMD分解得到各IMF分量的互信息熵和能量熵增量數值。計算結果如圖5所示。由圖5可知，IMF1～IMF3的互信息熵值和能量熵增量值較大，因此，選取上述IMF分量作為對故障敏感的模態分量進行信號重構。重構信號的時域波形如圖6所示。圖7為重構信號和未經處理的原始軸瓦異響故障信號的頻譜。通過圖7的對比可知，重構后信號頻譜更加清晰，信號內的高頻噪聲和低頻虛假干擾成分得到有效濾除。

圖5 各IMF分量的虛假模態剔除算法計算結果

圖6 軸瓦異響故障重構信號

圖7 軸瓦異響信號頻譜

按上述步驟，對圖2中正常狀態、活塞銷異響、氣門異響和活塞敲缸異響故障信號進行VMD分解，并通過互信息熵能量熵增量方法剔除噪聲和干擾成分后，所得重構信號如圖8所示，對比圖2可知，信號內大部分的高頻干擾成分已被濾除，沖擊特性明顯加強，信號的信噪比得以提升。

為對發動機的工作狀態和故障類型進行有效診斷，對不同狀態下采集的10組檢測信號進行VMD分解，通過互信息熵 能量熵增量準則對信號進行重構，并對各重構信號進行相空間重構，建立2階Volterra自適應預測模型，獲取模型參數向量，計算各重構信號模型參數向量的形態學分形維數，結果如圖9所示。

從圖9中可以看出，此時所求得的形態學分形維數能夠有效地將發動機的5種工作狀態區分開。其中，正常狀態下分形維數的數值最低，主要是由于各種異響故障導致發動機系統的非線性程度增強，使故障信號的分形維數偏離了正常狀態，從而其分形維數估計值相應增大。同時，由于活塞銷異響和活塞敲缸異響的故障特征較為接近，因此，兩者的分形維數比較接近，但總體識別結果較為理想。由此表明，基于VMD的Volterra模型和形態學分形維數相結合的方法能夠有效應用于發動機異響故障診斷。

圖8 不同狀態下重構的發動機聲振信號

圖9 基于特征分量的形態學分形維數

為便于對比，直接對上述5種狀態下所采集到的發動機聲振信號的形態學分形維數進行計算，結果如圖10所示。由圖10可知，只有發動機正常狀態得到有效區分，氣門異響與軸瓦異響、活塞銷異響與活塞敲缸異響故障間的分形維數差別很小，存在維數重疊現象，幾乎難以區分。此外，5種狀態的分形維數動態區分范圍也小于本文方法，這也為發動機工作狀態的準確診斷增加了難度。

圖10 基于原始信號的形態學分形維數

5 結論

（1）VMD方法可將復雜的非線性信號自適應地分解成若干個具有調幅 調頻特性的IMF分量，有效避免了遞歸式分解方法所產生的模態混疊問題。基于互信息熵 能量熵增量的IMF分量剔除算法，從信號間的相關程度和能量角度出發對虛假IMF分量進行剔除，能夠更為有效地判別出同故障信息無關的噪聲成分和虛假干擾分量，強化信號的故障特征信息。

（2）Volterra模型是一種非線性預測模型，其模型參數凝聚了系統狀態的重要信息。形態學分形維數能夠定量刻畫信號的幾何特征，將其同VMD方法、Volterra模型算法相結合，可有效增加分形維數估計的準確性。

（3）通過對發動機實測信號的分析，表明該方法具有較高的診斷準確性，為發動機異響故障問題的解決提供了新的途徑。