從高考試題看平面向量的考查類型

李開俊

摘 要：文章從高考試題出發(fā)，對平面向量的考查類型進行了詳細(xì)的分析及分類整理，對教師和學(xué)生都會有不同程度的幫助。

關(guān)鍵詞：平面向量;考查類型

平面向量是一種重要的數(shù)學(xué)工具，由于它具有雙重的身份“數(shù)”與“形”，所以在處理解析幾何、立體幾何、函數(shù)等問題時有時就顯得非常簡單，我們就得重視它，當(dāng)然在高考中也就是重要考查的內(nèi)容，具體是如何考的，我們大家一起看過來，下面就以近年來的高考試題作一分類說明。希望對教師和學(xué)生都會有所幫助。

一、考查基本概念

例1 已知點C 在AB 上且，設(shè)，則等于（）

（A） （B）3（C） （D）

解析：∵ ∴OA 與OB 垂直，故可以借助原圖建立坐標(biāo)系，把運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算，已知點C 在AB 上，且，∴可設(shè)A 點坐標(biāo)為（1，0），B 點的坐標(biāo)為（0， ），可求得C 點的坐標(biāo)為（ ， ），又，向量相等的定義，兩向量相等坐標(biāo)一定相等，則可求得m= ，n= ，=3，選B.

點評：本題是一道小型綜合題，考查到的基礎(chǔ)知識有向量垂直的充要條件、向量的坐標(biāo)表示、兩向量相等的定義，同時又考查靈活應(yīng)用知識及轉(zhuǎn)化知識的能力，由數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化為OA 與OB 垂直，又由垂直想到建立坐標(biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運算等。

二、考查向量的幾何運算

例2 如圖，已知正六邊形，下列向量的數(shù)量積中最大的是（）

（A） （B）（C） （D）

解析：如圖，已知正六邊形，設(shè)邊長，則∠ = ， ， = ，∠ = ，， = ， =0， <0，∴數(shù)量積中最大的是，故選A.

點評：本題考查向量數(shù)量積的運算，只要在圖上能得出∠= ，∠ = ， ， ，由數(shù)量積計算公式就可得出答案。

三、考查向量的坐標(biāo)運算

例3 已知向量， 是不平行于軸的單位向量，且，則=（）

（A） （B） （C） （D）

解析：∵ 是不平行于軸的單位向量，∴設(shè)，則依題意有解之得故選B.

點評：本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算，需要注意條件不然就可能得到錯誤答案D 的。

四、在向量中考查數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用

例4 與向量= 的夾角相等，且模為1 的向量是（B）

（A） （B） 或（C） （D） 或

解：設(shè)與向量的夾角相等，模為1 的向量坐標(biāo)為（x，y），由題意得，解之得或，故選B.

點評：本題知識層面上看是考查向量的夾角的運算，從數(shù)學(xué)思想角度看是考查方程的思想，它是一種重要的數(shù)學(xué)思想，可以說它貫穿于整個數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程之中，我們應(yīng)該重視它。

五、考查向量與其它知識的綜合應(yīng)用能力

例5 已知等差數(shù)列{ an } 的前n 項和為Sn ， 若，且A、B、C 三點共線（該直線不過原點O），則S200=（）

A.100B.101C.200D.201

分析：本題學(xué)生做得不理想，問題是對向量知識不夠熟悉，首先由A、B、C 三點共線（該直線不過原點O）可得到的信息是不共線，則B 點在直線AC 上的充要條件是a1+a200=1，這時已把向量知識轉(zhuǎn)化到數(shù)列， 由等差數(shù)列求和公式得=100，故選A。

點評：本題考查課本上一道題的應(yīng)用，即若A、B、C 三點共線（該直線不過原點O），且，則，而且還考查數(shù)列有關(guān)知識，考查綜合應(yīng)用知識的能力。