數形結合思想在初中數學教學中的滲透

白 輝

(徐州市銅山區伊莊鎮中心中學 江蘇徐州 221000)

形和數是數學中最基本的兩種研究對象[1]。從數學學科的具體特點來看，形與數這兩種要素可以在一定條件下實現相互轉化。所謂數形結合，主要是指把空間形式的形象直觀與數量關系的精確刻畫密切結合，并調用幾何與代數的雙面工具，揭露問題的深層結構，進而達到解決問題的目的的思維活動。從實際的教學情況來看，數形結合作為數學思想最重要的構成內容之一[2]，是貫穿于初中數學教學全過程的重要內容之一，對學生數學學習能力的提高具有十分重要的意義。因此，在組織初中數學教學活動時，教師應對數形結合思想的內涵有更準確的理解，并根據實際的教學內容、學生具體的學習特點實施更有針對性的教學策略，不斷完善和優化每一個教學環節，從而循序漸進地促進教學質量的提升。

一、以形化數

初中階段的數學知識已經具有一定的抽象性與邏輯性[3]。這種知識特點主要是通過數量關系體現出來的。因此，學生有時難以理解和把握數量關系。與之相對應，圖形的優勢在于直觀和形象。在組織初中數學教學活動時，教師可以構建形與數之間的特定結構關系，再根據這種結構關系，將數量問題轉化為圖形問題，以幾何語言的直觀形式呈現代數語言，從而避免冗長、復雜的推理或計算，幫助學生理解抽象、晦澀的代數關系。

以“不等式的解集”為例，在此前的學習中，學生已經對“不等式”的相關概念有了初步了解。比如，3x＞50這個不等式，筆者引導學生通過多次試值的方式計算出了解，讓學生初步認識到了不等式解的無限性，并借此引出了“解集”的基本概念。為了使學生對不等式的解集有更加直觀的了解，筆者將數軸融入這一節的教學中，通過數軸，讓學生直觀地了解了不等式的解有無限多個，并幫助學生了解了不等式的解集和方程的解之間的區別。而在之后“一元一次不等式組”的教學中，數軸這種幾何圖形的優勢體現得更充分。筆者帶領學生根據不等式的性質求出不等式組中兩個不等式的解集，然后，將兩個解集在同一個數軸上表示出來，數軸上兩個解集的公共部分就是不等式組的解集。之后，結合不同情況的數軸，學生可以逐漸歸納出以下規律：同大取大，同小取小，小大大小中間找，小小大大無處找(沒有解)。最終，借助數軸，學生對不等式及不等式組的解集有了比較直觀的了解。

二、以數變形

盡管圖形在表現形式上十分直觀和形象，能夠將抽象的思維有效呈現出來，但在定量時，學生依然需要借助代數進行計算。也就是說，在數學活動中，單純的圖形模式通常是不具備實際意義的，尤其是在面對一些比較簡單或相對復雜的圖形時，如果不能從觀察中得出結論或規律，那么，研究者就要挖掘圖形中的隱含條件，將幾何問題轉化為數量問題，并通過一定的邏輯推理或分析、計算去解讀圖形的深層含義。因此，在數形結合模式中，以數變形同樣是一種十分重要的形式。

在“線段、角的軸對稱性”這一節中，“角平分線的性質”是一個十分重要的知識點。在教學這一知識內容時，筆者引導學生借助平分角的儀器的基本原理(三邊對應相等的兩個三角形全等)，探索了用尺規繪制角平分線的基本方法。然后，學生動手折紙，進行實踐。在操作中，學生觀察了折痕的長度(數量)，初步了解了角平分線的性質。接著，筆者設計了這樣一個問題：在一張比例尺為1∶20 000厘米的地圖上，鐵路和公路相交成四個角。如果要在其中任意一個角的所在區域建造一個農貿市場，并使其到鐵路與公路的距離均為600米，那么，這個農貿市場應該建于何處？請在圖中標示出來。學生根據角平分性質的相關知識自主解答了這個問題。通過解決這個問題，學生熟練掌握了數量計算中角平分線(圖形)的性質。

三、形數互變

在初中數學教學中，運用數形結合方法解決一些比較復雜的數學問題時，僅靠“以形化數”或“以數變形”是比較難的。這就需要利用恰當的方式進行數與形之間的相互轉化。形數互變的方式可以使學生對相關數學問題產生更加全面的認識，促使學生加深對知識的理解。

如“函數”是初中數學一個非常重要的組成部分。需要指出的是，函數是一個純代數意義的概念。僅用解析式法或者列表法，學生很難直觀了解函數概念的變化過程。而僅用函數圖像進行理解，學生又難以深入理解函數的性質。因此，在教學函數內容時，筆者引導學生將函數中的有序實數對(x，y)在平面直角坐標系中一一標注出來，從而將函數關系及其圖像結合了起來。利用這種方法，筆者建立了平面圖形與函數之間的對應關系，也建立了平面圖形特性與函數參數之間的對應關系。以“一次函數”為例，解析式y=kx+b(k≠0)并沒有直觀體現系數k和常數b對函數變化趨勢的影響。于是，筆者引導學生在平面直角坐標系中建立了一次函數圖像。根據函數圖像經過的象限及直線的變化趨勢，學生分析了k、b等數量對函數值的影響。最終，通過形數互變的方法，學生對函數的代數關系及其幾何性質有了更加準確的理解。

總體而言，數形結合是初中數學的重要數學思想。教材中很多知識都蘊含著數形結合的方法。因此，在組織初中數學教學活動時，教師應深入挖掘教材內容，利用恰當的方式，將數形結合思想滲透于教學活動全過程中，促使學生數形結合思想不斷發展。