布魯氏菌病傳播的微分方程模型及其動(dòng)力學(xué)研究

董文文，周林華，王帥，呂堂紅，葛加偉

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

布魯氏菌病（Brucellosis）簡(jiǎn)稱布病，又稱為波狀熱、地中海熱、馬耳他熱。布魯氏菌病是一種由布魯氏菌引起的動(dòng)物源性細(xì)菌人畜共患病，廣泛分布全球各個(gè)國(guó)家和多種類型動(dòng)物中。布魯氏菌是最常見(jiàn)的實(shí)驗(yàn)室源性病原體，世界動(dòng)物衛(wèi)生組織（OIE）將其劃分為B類動(dòng)物傳染病［1］。全球范圍內(nèi)的布魯氏菌病病勢(shì)處于歷史最高點(diǎn)是在20世紀(jì)80年代中期。動(dòng)物感染后的特征主要表現(xiàn)為生殖系統(tǒng)受到嚴(yán)重侵害。對(duì)于人類患者而言，會(huì)喪失勞動(dòng)能力和生育能力。因此，研究布魯氏菌病的傳染規(guī)律、發(fā)展趨勢(shì)和防控策略的重要性日益突出。用動(dòng)力學(xué)模型來(lái)研究疾病的傳播規(guī)律一直是數(shù)學(xué)家們常用的方法，它不僅能對(duì)傳染病進(jìn)行理論性分析和定量研究，還能清晰地描述疾病的流行規(guī)律［2］。同時(shí)結(jié)合觀測(cè)數(shù)據(jù)，在理論上探討不同控制措施的效果。因此，建立和分析相應(yīng)的布魯氏菌病動(dòng)力學(xué)模型具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

1994年Jorge和 Raul［3］利用奇異攝動(dòng)理論建立了包括易感者類、流產(chǎn)具有傳染性類、染病者類、疫苗接種者類四個(gè)類型的牛布魯氏菌病的動(dòng)力學(xué)模型，并給出了布病的爆發(fā)閾值。2014年Li Mingtao等［4］建立了包括易感者、潛伏者、感染者、疫苗接種、環(huán)境中布魯氏菌的牛羊混合交叉?zhèn)鞑サ膭?dòng)力學(xué)模型。最后通過(guò)對(duì)參數(shù)的敏感性分析得出牛羊之間存在交叉?zhèn)鞑ィ词筊0＜1時(shí)布魯氏菌病也會(huì)存在，所以應(yīng)該禁止混合飼養(yǎng)。2007年牡丹江醫(yī)學(xué)院的李秋麗、夏蔚［5］根據(jù)某地區(qū)人發(fā)病率和牛羊布病發(fā)病率的數(shù)據(jù)，利用回歸分析統(tǒng)計(jì)方法，在5種模型中進(jìn)行模擬和分析，發(fā)現(xiàn)人布魯氏菌病的發(fā)病率與牛羊布魯氏菌病發(fā)病率的關(guān)系是正相關(guān)的，即牛羊布魯氏菌病發(fā)病率增大時(shí)人類布魯氏菌病的發(fā)病率也增大。2010年A?nseba B等［6］建立了包含易感者、染病者的羊布魯氏菌病動(dòng)力學(xué)模型，模型中體現(xiàn)了直接傳播與間接傳播，求出基本再生數(shù)（R0=R0direcct+R0indirect），分析系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，最后通過(guò)數(shù)值模擬給出不同情況下的屠宰策略對(duì)比結(jié)果。環(huán)境污染在疾病的持續(xù)存在（即當(dāng)R0indirect＜1時(shí)）中發(fā)揮重要作用，但也可以控制流行病。聶靜［1］研究了中國(guó)吉林省奶牛的布魯氏菌病，依據(jù)布魯氏菌病的傳播機(jī)理，考慮環(huán)境當(dāng)中病菌的傳播，結(jié)合吉林省奶牛布病的現(xiàn)有防控措施，包括外界引入、因病淘汰、殺菌消毒等，建立吉林省奶牛布病的SEIV動(dòng)力學(xué)模型。通過(guò)動(dòng)力學(xué)分析，證明了各個(gè)平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。侯強(qiáng)等［7］建立了羊—人動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)對(duì)內(nèi)蒙古布魯氏菌病數(shù)據(jù)參數(shù)的擬合和敏感性分析，得出在消毒和免疫這兩個(gè)策略相結(jié)合的控制措施對(duì)疾病控制更加有效。

由于布病造成嚴(yán)重的損失，世界許多國(guó)家和地區(qū)制定了相應(yīng)的防控和根除計(jì)劃，在布病流行形式嚴(yán)重的地區(qū)疫苗免疫具有重要意義［8］。疫苗免疫是控制傳染病傳播的一種有效措施，在我國(guó)羊群養(yǎng)殖繁盛地區(qū)已經(jīng)開始接種布魯氏菌病疫苗，但接種的疫苗都是活疫苗，這種疫苗有一定的致病力，大量接觸可引起感染。世界上只有少數(shù)國(guó)家主張給人接種布魯氏菌病疫苗。早期人所接種的疫苗是滅活疫苗，現(xiàn)在已被免疫效果更好的凍干弱毒活菌苗代替。免疫期也由最初的6-9個(gè)月增長(zhǎng)至1年，現(xiàn)在很多國(guó)家都在努力研究滅活疫苗，希望能夠使布病疫苗廣泛應(yīng)用，從而控制布病的傳播［8］。若在今后人能夠廣泛接種布魯氏菌病疫苗，這將對(duì)控制布病起到不可忽略的作用。

本文主要根據(jù)內(nèi)蒙古布魯氏菌病傳播疫情建立了羊—人耦合的傳播動(dòng)力學(xué)模型，主要研究人接種布魯氏菌病疫苗對(duì)布病傳播的影響。

1 模型建立和分析

1.1 模型建立

本文建立一個(gè)血清反應(yīng)陽(yáng)性羊—人類布魯氏菌病傳播的動(dòng)力學(xué)模型，該模型中將羊群分為：易感羊群（SS）、感染羊群（IS）、接種疫苗的羊群（VS）和易感人群（SH）、感染人群（IH）、接種疫苗的人群（VH）。假設(shè)易感羊群接種疫苗也會(huì)有一部分羊群失去免疫成為新的易感羊群，易感羊群經(jīng)過(guò)檢測(cè)血清呈陽(yáng)性，并且血清呈陽(yáng)性的羊可以感染易感人群。布病的傳播流程圖如圖1所示。

圖1 羊—人布魯氏菌病傳播流程圖

布魯氏菌病傳播動(dòng)力學(xué)模型為：

其中，A1表示羊的輸入量；γ1表示易感羊的疫苗接種率；1/τ1表示羊的疫苗接種有效期；β1表示易感羊到血清呈陽(yáng)性羊的傳染率；μ1表示羊的死亡率；?表示羊的撲殺率；αSH表示感染羊到人的傳染率；A2表示人的輸入量；γ2表示易感人的疫苗接種率；1/τ2表示人的疫苗接種有效期；μ2表示人的死亡率。

令NH=SH+IH+VH，NS=SS+IS+VS，則系統(tǒng)（1）的正不變集為：

1.2 基本再生數(shù)和地方病平衡點(diǎn)

其中：

由文獻(xiàn)［11］可知，系統(tǒng)（1）的基本再生數(shù)為：

進(jìn)一步，當(dāng)R0＞1時(shí)系統(tǒng)（1）有唯一地方病平衡點(diǎn)。

其中：

根據(jù)文獻(xiàn)［11］中定理，有：

定理1 當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0局部漸近穩(wěn)定；R0＞1時(shí)，E0不穩(wěn)定。

1.3 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

本文在這一節(jié)將完成系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性證明。

首先考慮系統(tǒng)（1）的子系統(tǒng)

引理1：當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

證明：對(duì)系統(tǒng)（3）構(gòu)造一個(gè)Lyapunov函數(shù)：

函數(shù)L1沿系統(tǒng)（3）的全導(dǎo)數(shù)為：

當(dāng)R0≤1時(shí)，表達(dá)式。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等式。所以由LaSalle不變集原理可知，當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。

定理2 當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

證明：系統(tǒng)（1）的前三個(gè)方程獨(dú)立于后三個(gè)方程，由引理1可知系統(tǒng)（1）的前三個(gè)方程的無(wú)病平衡點(diǎn)全局穩(wěn)定。接下來(lái)考慮除（3）以外的方程:

當(dāng)R0≤1時(shí)，。系統(tǒng)（4）的極限系統(tǒng)為：

綜上，系統(tǒng)（3）和（4）的無(wú)病平衡點(diǎn)都是全局漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定。

下面證明地方病平衡點(diǎn)E*的漸近穩(wěn)定性。

引理2：當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（3）的地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定。

證明：對(duì)系統(tǒng)（3）構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：

函數(shù)L2沿系統(tǒng)（3）的全導(dǎo)數(shù)為：

定理3當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一正平衡點(diǎn)E*，且在集合X內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。

證明：當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（4）的極限系統(tǒng)為：

綜上，系統(tǒng)（3）和（4）的地方病平衡點(diǎn)都是全局漸近穩(wěn)定的，所以系統(tǒng)（1）的地方病平衡點(diǎn)E*全局漸近穩(wěn)定。

2 控制策略的數(shù)值仿真

本節(jié)主要觀察羊的疫苗接種與人的疫苗接種情況對(duì)感染人數(shù)量的影響.選取系統(tǒng)（1）的初值如下，參數(shù)的取值如表1所示。

表1 參數(shù)以及參數(shù)值

圖2 γ1和γ2對(duì)IH的影響

在圖2中，假設(shè)羊的撲殺率?=0.3為定值，通過(guò)改變?chǔ)?和γ2的值觀察IH的變化。從圖中可以看到隨著γ1值的增大IH的曲線呈下降趨勢(shì)。這說(shuō)明加大羊群的疫苗接種率可以減少人類感染布魯氏菌病的數(shù)量。比較圖2中的三個(gè)圖不難發(fā)現(xiàn)增加γ2的值，IH的值明顯減小，這說(shuō)明加大人的疫苗接種率可以更好的減少人感染布魯氏菌病的數(shù)量。通過(guò)圖像的對(duì)比，可以知道同時(shí)增加羊和人的布病疫苗接種率，這樣能夠更好的減少人的患病數(shù)量。

接下來(lái)分析基本再生數(shù)中的參數(shù)對(duì)基本再生數(shù)的影響，基本再生數(shù)的表達(dá)式如下：

通過(guò)表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn)較為重要的參數(shù)為易感羊的疫苗接種率γ1和羊的因病撲殺率?。考慮到參數(shù)的敏感性，首先固定其它參數(shù)不變，只看這兩個(gè)變量對(duì)基本再生數(shù)的影響。從圖3中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)γ1大于A點(diǎn)的值，?大于B點(diǎn)的值時(shí)，R0＜1說(shuō)明此時(shí)疾病可以控制。同時(shí)增大γ1和?的值，R0的值越小，說(shuō)明同時(shí)采取兩個(gè)措施，布病的防控效果越好。

圖3 γ1和?對(duì)基本再生數(shù)R0的影響

3 結(jié)論

在內(nèi)蒙古地區(qū)，布魯氏菌病是威脅人畜公共健康的最嚴(yán)重的疾病之一。本文主要是以內(nèi)蒙古地區(qū)作為研究區(qū)域，建立羊—人耦合的布魯氏菌病傳播動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮人接種布病疫苗這一項(xiàng)。由1.3的結(jié)論可知當(dāng)R0≤1時(shí)，系統(tǒng)（1）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（1）存在唯一正平衡點(diǎn)E*，且在集合X內(nèi)全局漸近穩(wěn)定。根據(jù)圖2的對(duì)比結(jié)果，知道人的布病疫苗接種率越大，人的感染數(shù)量越少，這意味著人接種布病疫苗能夠有效控制布魯氏菌病的傳播。且同時(shí)增大羊和人的疫苗接種率，人的感染數(shù)量越小，這說(shuō)明同時(shí)對(duì)羊和人進(jìn)行疫苗接種，可以更好的防控布病的傳播。通過(guò)對(duì)基本再生數(shù)中參數(shù)的敏感性分析可知，羊的撲殺率?對(duì)R0的影響大于羊的疫苗接種率γ1對(duì)R0的影響，這說(shuō)明一旦發(fā)現(xiàn)感染羊應(yīng)對(duì)其進(jìn)行撲殺，這樣才能更好的控制布病的傳播。若同時(shí)采取兩種措施且增大?和γ1的值，R0的值會(huì)越小，說(shuō)明布病的防控效果會(huì)更好。所以應(yīng)該從疫苗接種和感染羊的撲殺兩方面出發(fā)實(shí)施防控措施，控制布魯氏菌病的傳播。