淺談數(shù)學(xué)思維的形式與價值

陳麗詩

【摘要】數(shù)學(xué)在全世界受到廣泛而深刻的重視，因為數(shù)學(xué)是問題解決的工具，是學(xué)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)，是思維開拓的鑰匙。數(shù)學(xué)教育最重要的價值是培養(yǎng)和鍛練人的數(shù)學(xué)思維能力。擁有數(shù)學(xué)思維可以通過觀察、分析、研究，進而解決問題。它的突出特點是抽象化、形式化和邏輯性。數(shù)學(xué)思維可以分為基于感覺、感情、感性的合情推理，還有通過理性分析總結(jié)后的合理推論。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);思維;價值;等級

從數(shù)學(xué)教育的意義開始，筆者將通過兩個簡單而熟悉的問題來說明數(shù)學(xué)思維的特征，它的優(yōu)勢。筆者更會通過一些非常簡單的小學(xué)的數(shù)學(xué)案例以及它的拓展來說明數(shù)學(xué)思維的不同形式與價值，說明數(shù)學(xué)思維可以從模糊到清晰，從未知到可能，從可能到確定，從一事一物到萬事萬物。

一、為什么數(shù)學(xué)那么重要？

我們有一些眾所周知也無可爭辯的事實，古今中外，世界各地各級學(xué)校都會開設(shè)數(shù)學(xué)課程，且數(shù)學(xué)也是世界各地不同招生考試必考的科目。在學(xué)校的各種課程中，數(shù)學(xué)課程是分量最多，難度最大，也是歷史上最長的一門課程。為什么數(shù)學(xué)如此重要？要解釋這件事情，可能需要很大篇幅的文字去解釋。在這里筆者用兩個簡單的事實來加以說明。第一個事實：一個不識字、不會讀書甚至不會說話的人可以生活，但如果他不認識數(shù)學(xué)就很難生活。我們可以這樣想：不認識字是文盲，不會說話是啞巴，但他只要有一個健全的思維，他的生活不應(yīng)該有太大的問題。但是如果他不認識數(shù)，不知道1、2、3、4、5，不知道東、西、南、北、中，那他該怎樣生活？第二個事實：一個國家的科學(xué)進步，我們可以用它消耗的數(shù)學(xué)來衡量，也就是說一個國家在多大程度上取得了進步取決于用到了多少的數(shù)學(xué)。這兩個事實前一句比較通俗易用懂，后一個比較高雅，但它們都說明了數(shù)學(xué)的重要性。我們是用數(shù)學(xué)和語言生活的，語言是交流的工具，具有替代性，一個人不會說話，你可以用肢體動作和表情來表達你的感情、愿望、思想。但是數(shù)學(xué)是思想的體操，沒有別的選擇，這就是為什么我們必須從小學(xué)到中學(xué)、大學(xué)都要持續(xù)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原因。

二、為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)？

最簡單的原因是，數(shù)學(xué)是解決問題的工具。我們在生活、生產(chǎn)、科學(xué)、技術(shù)、管理、經(jīng)濟、金融等各個領(lǐng)域都要用到數(shù)學(xué)。我們在交流、交換、分配、購物……這些時候我們都需要數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)可以幫助我們提高辦事效率、解決疑問，探索奧秘和預(yù)測未來。其次，數(shù)學(xué)是學(xué)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)，我們要認識世界、改造世界、發(fā)展科學(xué)、發(fā)展社會，我們就需要學(xué)習(xí)各種各樣的科目，而數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是最基本的，這是一個知識一點點積累的過程，要學(xué)好后面的數(shù)學(xué)，必須要先學(xué)好前面的數(shù)學(xué)，而且對于其他的課程比如，物理、化學(xué)、生物，等等，許多課程都需要以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，越是高水平的領(lǐng)域越是需要數(shù)學(xué)的支持。數(shù)學(xué)既是科學(xué)之母，也是科學(xué)之父。作為科學(xué)之母，它孕育了許多的科學(xué);數(shù)學(xué)作為科學(xué)之父，它又推動著科學(xué)的發(fā)展。它其實是科學(xué)的語言。因此，筆者認為數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育最重要的價值。

三、數(shù)學(xué)思維的形式

1.分類

數(shù)學(xué)思想是有等級的。按照功能，數(shù)學(xué)思維可以分為如何看、如何推與如何記。不同的思維，層次不同，價值不同，比如，分類是最基本的第一層次的思維，由此產(chǎn)生的類比是一種二級思維，再向外衍生則是數(shù)學(xué)家使用的一種高水平思維。分類是數(shù)學(xué)最基本的思維方式，引進了許多數(shù)學(xué)概念，得出了數(shù)學(xué)結(jié)論，并通過適當?shù)姆诸悂斫鉀Q數(shù)學(xué)問題。特別強調(diào)，分類要基于一定的標準，并且分類有其局限性。例如，人教版數(shù)學(xué)一年級下冊第3 單元《分類與整理》，同樣的一組物體或形狀，因為學(xué)生思維等級的不同會得出不同的分類標準產(chǎn)生不同的分法，然后學(xué)生又通過多次分類，慢慢摸清這一類物體的特征。這是一個從模糊到清晰的過程。

2.歸納

數(shù)學(xué)注重規(guī)律性，歸納就是從特殊情況中尋找一般規(guī)律的重要思維方法，具有創(chuàng)新性和可拓性。事物的發(fā)生、發(fā)展（變化）都是由一定因素（自變量）引起。從數(shù)學(xué)的角度看，這種關(guān)系就代表了一種規(guī)律。從個別現(xiàn)象中去發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是數(shù)學(xué)關(guān)注的一個重要目標。特別強調(diào)，歸納得到的結(jié)論未必正確，但它提供了可能正確的方向，具有創(chuàng)造性。在日常教學(xué)中，歸納是用得比較多的思維方式，教師通常會讓學(xué)生經(jīng)歷大量的觀察和動手實踐過程之后歸納出結(jié)論，比如教學(xué)三角形的內(nèi)角和通過學(xué)生動手剪下三角形的三個角進行拼一拼，最后得出三角形內(nèi)角和是180度的結(jié)論，這是一個從未知到可能再到確定的過程。

3.演繹

推理是確定數(shù)學(xué)結(jié)論的可靠反思方法。外推法允許人類從少數(shù)已知事實中輸出一個豐富的知識體系，從而大大提高人類的學(xué)習(xí)能力。在正確的條件或假設(shè)下，得出的結(jié)論必然是正確和可靠的，是得出數(shù)學(xué)結(jié)論的主要手段。推理演繹可以是正向推理或者是反向推理，例如，兩個一樣的梯形能拼成一個長方形嗎？可以用長方形能切出兩個一樣的梯形為依據(jù)，經(jīng)過反向推理出這句話是對的，這是一個從可能到確定的過程。

4.類比

數(shù)學(xué)研究模式與秩序，不同的事物、不同的背景，可能具有同一種模式。數(shù)學(xué)強調(diào)相似性，這些相似性使我們能夠發(fā)現(xiàn)不同事物的性質(zhì)和相似性。比較典型的運用到類比思維的例子是從整數(shù)的加減法引申到小數(shù)的加減法，不同的數(shù)的運算卻應(yīng)用了相同的算理，這是從一物到萬物的過程。

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