不同模量鐵木辛柯梁的自由振動(dòng)特性分析

楊 洋,姚文娟

(上海大學(xué)土木工程系,上海200444)

土木工程中的振動(dòng)問(wèn)題是較為常見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象.振動(dòng)過(guò)程中結(jié)構(gòu)的形狀、承載力會(huì)在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生急劇的變化,對(duì)其工作性能和使用壽命會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重的影響.梁是實(shí)際工程中常見(jiàn)的一種構(gòu)件,其變形在荷載作用下大多是小變形,且不管荷載是縱向或者橫向,都可使梁產(chǎn)生振動(dòng).大量試驗(yàn)和研究表明,許多材料都具有拉壓彈性模量不同的性質(zhì).工程中廣泛應(yīng)用的材料如混凝土、金屬合金、生物材料[1]、橡膠、巖石等,特別是近年發(fā)展起來(lái)的新型聚合材料和復(fù)合材料都具有明顯的這一特征,其拉壓模量之比高達(dá)4倍[2],且該性質(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為有較大的影響.但是,在工程設(shè)計(jì)中,一般對(duì)材料的不同拉壓彈性模量不予考慮,但在某些情況下會(huì)因本構(gòu)關(guān)系不符合造成較大誤差,存在安全隱患.

國(guó)內(nèi)外的眾多學(xué)者對(duì)拉壓不同模量材料的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量研究.楊海天等[3]研究了不同模量材料的本構(gòu)關(guān)系.姚文娟等[4-8]對(duì)復(fù)雜應(yīng)力狀況下不同模量彈性結(jié)構(gòu)的解析解進(jìn)行了研究,給出了不同模量橫力彎曲梁、彎壓柱、超靜定結(jié)構(gòu)、組合結(jié)構(gòu)、不同模量結(jié)構(gòu)溫度應(yīng)力問(wèn)題內(nèi)力及變形的解析解.Leal等[9]對(duì)不同模量高性能纖維的抗壓強(qiáng)度進(jìn)行了分析.何曉婷等[10-11]用有限元方法對(duì)不同模量結(jié)構(gòu)進(jìn)行收斂性分析,并應(yīng)用Kirchhoff假設(shè)對(duì)不同模量的彎曲薄板進(jìn)行了分析.黃翀等[12]和吳曉等[13-15]采用直線法假定,在分布荷載、熱應(yīng)力作用下不同模量板內(nèi)力及變形的解析解,結(jié)合大撓度理論進(jìn)行了不同模量板的彎曲分析.上述研究主要針對(duì)不同模量結(jié)構(gòu)靜力問(wèn)題,對(duì)不同模量結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題僅有少量學(xué)者進(jìn)行了研究.Iwase等[16]基于數(shù)值模擬對(duì)不同模量深梁進(jìn)行了動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析.趙榮國(guó)等[17]采用單自由度系統(tǒng)對(duì)不同拉壓特性結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)分析.劉相斌等[18]在平截面假定下求解了不同模量彎曲梁的自由振動(dòng).王銘慧等[19]研究了微幅自由振動(dòng)時(shí)不同彈性模量材料簡(jiǎn)支梁的線性振動(dòng)問(wèn)題.

以上不同模量結(jié)構(gòu)振動(dòng)問(wèn)題的研究是基于數(shù)值模擬、單自由度體系及平截面假定等簡(jiǎn)化條件.鑒于此,本工作基于彈性力學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)及不同模量理論,推導(dǎo)了不同模量材料剪切彈性模量及彎曲剛度的表達(dá)式,并建立了考慮剪切效應(yīng)的不同模量鐵木辛柯梁的振動(dòng)微分方程,得到了不同模量簡(jiǎn)支鐵木辛柯梁在任意分布荷載作用下的自由振動(dòng)頻率解析解.另外,增加梁的跨高比,解析模型可以退化為歐拉-伯努利梁的自由振動(dòng)頻率解析解.

1 基本方程及中性軸位置

均勻簡(jiǎn)支梁如圖1所示.假設(shè)均勻簡(jiǎn)支梁的位移分量為

圖1 簡(jiǎn)支梁的彎曲變形Fig.1 Bending deflecting of simply supported beam

由彈性力學(xué)理論可知,均勻簡(jiǎn)支梁的幾何方程和物理方程分別為

式中:E1,μ1為拉伸時(shí)材料的彈性模量和泊松比;E2,μ2為壓縮時(shí)材料的彈性模量和泊松比.

將式(1)和(2)代入式(3),可得

由于土木工程中μ為高階微量,故可略去,整理得

由圖1可知,梁在荷載p(x,t)作用下同一截面上有拉有壓.由式(5)得到的正應(yīng)力,為受拉時(shí)的正應(yīng)力公式,而當(dāng)截面受壓時(shí),同理可得受壓時(shí)的正應(yīng)力為

不同模量連續(xù)梁在外荷載作用下會(huì)形成拉壓彈性模量不同的拉伸區(qū)和壓縮區(qū),因此研究不同模量梁的變形首先需要確定在外荷載作用下的中性層位置,其在受拉和受壓區(qū)的應(yīng)力分別為

假設(shè)梁高為h,截面受拉區(qū)高度為h1,受壓區(qū)高度為h2,取微元體為隔離體,由平衡條件和圣維南原理可得

將式(7)代入式(8),可得

以上推導(dǎo)的不同模量梁的中性軸位置與文獻(xiàn)[4]的結(jié)果一致,由此可知不同橫向荷載對(duì)不同模量梁的中性軸位置無(wú)影響,即剪應(yīng)力對(duì)中性軸的位置無(wú)影響.

2 剪切彈性模量及彎曲剛度

不同模量材料的單元體純受剪示意圖,如圖2所示.當(dāng)單元體為純剪切受力時(shí),應(yīng)變能密度為

當(dāng)材料為純剪受力狀態(tài)時(shí),由材料力學(xué)理論可得

將式(3)和式(11)代入式(12),可得

根據(jù)式(10)與式(13)相等,故可求得不同模量材料剪切彈性模量

由材料力學(xué)理論公式,可得

將式(5)和(6)分別代入式(15),可得

對(duì)比式(15)和(16)可求得,不同模量彎曲梁的彎曲剛度為

另外,可求得剪應(yīng)力為

圖2 純受剪示意圖Fig.2 Sketch of pure shear state

3 振動(dòng)微分方程

不同模量梁的中性軸不與梁縱向?qū)ΨQ軸重合,故使橫坐標(biāo)軸與初始狀態(tài)時(shí)的中性軸重合.由彈性力學(xué)理論可知,空間平衡微分方程為

式中:ρ是密度,μ是阻尼系數(shù);ui,tt,ui,t分別是ui對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù)和一階導(dǎo)數(shù),即加速度和速度;?ρui,tt,?μui,t分別表示慣性力和阻尼力,作為體積力的一部分出現(xiàn)在平衡方程中.若忽略阻尼,式(8)可寫為

略去空間平衡微分方程中的體力,并對(duì)式(19)第一式各項(xiàng)乘以Z并對(duì)A進(jìn)行積分,可得

式(20)中的第一項(xiàng)積分可化為

式(20)中的第二項(xiàng)積分可化為

用高斯(格林)定理,把積分變?yōu)檠剡吔绲姆e分,再運(yùn)用邊界條件簡(jiǎn)化,可得

則式(20)中的第二項(xiàng)積分可化簡(jiǎn)為

對(duì)于等截面直梁,則有l(wèi)=0.

將式(25)代入式(24),可得

式(20)右邊簡(jiǎn)化,可得

同理,將空間平衡微分方程中第三式略去體力,其他各項(xiàng)對(duì)A進(jìn)行積分,可得

式(29)第一項(xiàng)可化為

第二項(xiàng)應(yīng)用高斯定理,可化為

對(duì)式(29)右邊簡(jiǎn)化,可得

將式(30)和式(31)代入式(29),可得

將M,FS代入式(28)和式(33),可得

在實(shí)際計(jì)算中,一般引入剪切系數(shù)κ(表示截面上平均剪應(yīng)變與截面形心處剪應(yīng)變之比)簡(jiǎn)化模型,使理論更接近于三維彈性精確理論.

利用式(34),(35)及剪切系數(shù)κ,可以得到不同模量梁的振動(dòng)微分方程為

當(dāng)忽略式(19)第一式中右邊的慣性力時(shí),則可得到歐拉-伯努利梁的振動(dòng)微分方程為

4 梁的自振頻率和振型

當(dāng)外荷載p(x,t)=0時(shí),即可得到相應(yīng)的自由振動(dòng)方程為

假設(shè)橫向振動(dòng)位移表達(dá)式為

將式(39)代入式(38),簡(jiǎn)化可得

設(shè)式(41)解的形式為

將式(42)代入式(40),可得

求解式(43),可得

因此,式(41)的通解為

對(duì)于不同模量簡(jiǎn)支梁的自由振動(dòng),可知其邊界條件為

式中:M為彎矩.

把式(45)代入式(44),可以得到不同模量簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)沿x軸方向的振型函數(shù)為

其固有頻率為

對(duì)于不同模量簡(jiǎn)支梁固有振動(dòng),由于每個(gè)周期的前半波段的中性軸與x軸方向重合,所以振型函數(shù)為式(46).而每個(gè)周期的前半波段中性軸的波型與后半波段的波型相反,故后半波段中性軸的波型函數(shù)為

因此,不同模量簡(jiǎn)支梁自由振動(dòng)時(shí),n為奇數(shù)時(shí)波型表達(dá)式為式(46),n為偶數(shù)時(shí)為式(48).對(duì)于其他類型梁的自由振動(dòng),利用其邊界條件,采用上述方法同樣可以確定自由振動(dòng)的振型函數(shù)和固有頻率.

5 算例及結(jié)果分析

5.1 實(shí)例計(jì)算

簡(jiǎn)支梁b×h=0.3 m×0.6 m,梁長(zhǎng)分別取3和12 m,,ρ=2.5×103kg/m3.

情況1 取實(shí)用梁,E1=25.5 GPa,ν1=0.27,E2=57 GPa,ν2=0.34;

表1 梁長(zhǎng)為3 m的不同模量簡(jiǎn)支梁固有頻率ω(情況1)Table 1 Free frequencies of simply supported 3 m beam with different modulus(Case 1)

表2 梁長(zhǎng)為12 m的不同模量簡(jiǎn)支梁固有頻率ω(情況1)Table 2 Free frequencies of simply supported 12 m beam with different modulus(Case 1)

圖3 梁長(zhǎng)3 m按A計(jì)算所得固有頻率(情況1)Fig.3 3 m beam based on the A calculate the free frequency(Case 1)

5.2 有限元結(jié)果對(duì)比

采用ABAQUS有限元軟件對(duì)表1、表2中A,B情況進(jìn)行模態(tài)分析,并提取各階固有頻率及模態(tài)振型.不同模量實(shí)用梁固有頻率解析解與有限元軟件數(shù)值解(見(jiàn)表3)進(jìn)行比較,可以看出,兩種計(jì)算結(jié)果接近,誤差在2%以內(nèi),驗(yàn)證了解析的正確性.圖4為簡(jiǎn)支梁三階振型云圖.由圖4(a)和(b)可知,采用不同模量理論和相同模量理論分別模擬,得在兩種理論模擬計(jì)算下的鐵木辛柯梁的模態(tài)振型是相同的,但固有頻率差距較大;由圖4(c)和(d)可知,歐拉-伯努利梁也遵循相同的規(guī)律.

表3 通用有限元數(shù)值解ωTable 3 Numerical solution by FEMω

圖4 簡(jiǎn)支梁三階振型云圖Fig.4 Cloud diagram of the beam

5.3 結(jié)果分析

對(duì)比表1和表2中的數(shù)據(jù)可知,對(duì)比不同拉壓彈性模量梁與同模量梁,不論是鐵木辛柯梁還是歐拉-伯努利梁,二者的固有振動(dòng)頻率誤差均大于14%以上,最大約為25%,遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出工程允許誤差.這表明當(dāng)拉壓彈性模量相差較大時(shí),應(yīng)采用不同拉壓彈性模量理論進(jìn)行計(jì)算,可減小工程誤差,保證結(jié)構(gòu)的安全性.

由表1可知,考慮了不同拉壓彈性模量后,當(dāng)梁的高跨比為1/5時(shí),梁固有頻率計(jì)算誤差由第一階的6.7%上升至第十階的247.0%.由表2可知,當(dāng)梁的高跨比為1/20時(shí),梁的固有振動(dòng)頻率計(jì)算誤差呈遞增形式,分別為第一階0.4%,第二階1.7%,第三階3.9%,第四階6.7%,第十階34.5%.這表明:當(dāng)梁的高跨比較小時(shí),剪切效應(yīng)對(duì)低階固有振動(dòng)頻率的影響較小;隨著階數(shù)的增加,影響逐漸增大;當(dāng)梁的高跨比較大時(shí),剪切效應(yīng)對(duì)固有頻率的影響很大,不可忽略.

當(dāng)截面的平均彈性模量保持不變,僅改變其分配時(shí),梁各階固有振動(dòng)頻率隨E1/E2的增大而減小(見(jiàn)圖3),這說(shuō)明截面剛度的不均勻可使固有振動(dòng)頻率減小.當(dāng)E1/E2=1/4～1變化時(shí),固有振動(dòng)頻率的誤差最大可達(dá)到32%.對(duì)土木工程中廣泛使用的混凝土材料,其拉壓模量比一般為2.5.采用不同模量理論計(jì)算所得的固有頻率小于同模量理論解,且誤差隨著階數(shù)的增加而增大,平均誤差為10%.

6 結(jié)束語(yǔ)

本工作研究了不同拉壓彈性模量鐵木辛柯梁的自由振動(dòng)問(wèn)題.利用不同拉壓彈性模量材料純剪切應(yīng)力狀態(tài)單元體,推導(dǎo)了不同拉壓彈性模量剪切彈性模量表達(dá)式,建立了鐵木辛柯梁的振動(dòng)微分方程,推導(dǎo)計(jì)算了不同模量簡(jiǎn)支下的鐵木辛柯梁的自由振動(dòng)頻率.另外,增加梁的跨高比,該解析模型可以退化為歐拉—伯努利梁的自由振動(dòng)頻率解析解.所求解的不同模量理論公式可完全退化到同模量理論公式,且與ABAQUS有限元軟件模擬結(jié)果誤差在2%以內(nèi),驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性.最后,討論了不同模量理論計(jì)算結(jié)果與經(jīng)典同模量理論計(jì)算結(jié)果的差異,得到了以下結(jié)論.

(1)考慮拉壓不同模量時(shí),中性軸在振動(dòng)過(guò)程中發(fā)生跳變,使主振型函數(shù)成為分段函數(shù),分為奇數(shù)波函數(shù)和偶數(shù)波函數(shù).

(2)當(dāng)拉壓彈性模量相差較大時(shí),不同模量理論計(jì)算所得的固有振動(dòng)頻率小于與經(jīng)典模量理論解,且誤差隨著階數(shù)的增加而增大,可達(dá)25%,遠(yuǎn)超工程允許誤差范圍.采用不同拉壓彈性模量理論進(jìn)行結(jié)構(gòu)固有頻率的計(jì)算,可減小誤差,保證結(jié)構(gòu)的安全性.

(3)對(duì)土木工程中廣泛使用的混凝土材料,當(dāng)計(jì)入其拉壓不同模量后,相對(duì)于經(jīng)典模量理論,二者的固有振動(dòng)頻率誤差平均可達(dá)到10%.這對(duì)許多要避免產(chǎn)生共振的建筑結(jié)構(gòu)會(huì)有較大影響,如鐵路橋梁等.

(4)當(dāng)截面的平均彈性模量保持不變,僅改變拉壓彈性模量的大小,即結(jié)構(gòu)的拉壓模量不同,可以較大范圍內(nèi)改變梁的固有振動(dòng)頻率,同時(shí)拉壓模量的不同(即剛度的不均勻)可使結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)頻率減小.在實(shí)際工程中,對(duì)拉壓不同模量制備的結(jié)構(gòu),如應(yīng)用經(jīng)典的相同模量理論計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題,會(huì)存在安全隱患.