基于SPCE-HDMR的某輸彈協調機構穩健設計研究

劉太素,錢林方,陳光宋,林 通,羊 柳

(南京理工大學 機械工程學院,江蘇 南京 210094)

輸彈協調機構是中大口徑火炮自動裝填系統中的關鍵部件之一,其作用是接收取彈機構傳送的彈丸,并將彈丸協調至一定的角度位置(與身管軸線對齊)以便進行輸彈動作[1]。在工程結構設計階段,輸彈協調機構存在眾多不確定性輸入參數,這些不確定性輸入參數對協調到位精度造成了一定的影響,如何合理設計輸彈協調機構中的不確定性參數,并高效準確地分析不確定性輸入參數對協調到位精度的影響,以期提高輸彈協調機構的到位精度,是實際工程應用中的一大難題。

針對上述問題,石海軍等[2]基于區間不確定性對輸彈協調機構的不確定性輸入參數進行了保性能優化;高學星等[3]提出了一種間接提高定位精度可靠性的優化方法,具有較好的優化效果和較高的計算效率。在工程設計階段,為了提高輸彈協調機構對不確定性輸入參數的穩健性,穩健優化設計是一種較好的解決方法,然而在每次優化迭代過程中,都需要調用輸彈協調機構的動力學模型計算響應,時間成本較高。代理模型技術特點能夠很好地解決此類問題[4],例如響應面法、Kriging插值、混沌多項式展開等。然而,對于含有眾多不確定性輸入參數的輸彈協調機構,隨著不確定性參數維數的增加和非線性程度的增加,構建代理模型所需的樣本量會呈指數級增加,難以得到高效準確的解決。針對高維問題,SOBOL證明了任意可積函數在積分空間內存在唯一的、可以擴展的高維模型表達技術[5],該模型利用確定的階數精確地表達高維可積函數,并將計算時間由原來的指數級增長轉化為多項式增長。之后,RABITZ和ALIS[6]證明了只有低階項對輸出響應影響較大,由此出現了不同的HDMR模型,例如Cut-HDMR[6],RS-HDMR(random sampling-HDMR)[7],FHDMR(factorized HDMR)[8]等。針對工程實際問題的高維問題建模,出現了基于不同代理模型的高維模型表達,SHAN和WANG[9]發展了RBF-HDMR方法,湯龍等[10]基于Kriging代理模型技術研究了Kriging-HDMR方法,李偉平等[11]基于誤差反向傳播神經網絡(BPNN)提出一種BPNN-HDMR方法,并證明了各自方法的有效性和實用性。

本文針對某輸彈協調機構穩健優化設計中存在的高維建模問題,提出一種基于稀疏混沌多項式展開(sparse polynomial chaos expansions,SPCE)的高維模型表達技術(high dimensional model representation,HDMR),即SPCE-HDMR方法,用于提高輸彈協調機構的到位精度。基于Cut-HDMR思想建立輸彈協調機構的高維模型擴展結構,采用優化拉丁超立方技術對各輸入參數進行采樣,基于稀疏混沌多項式展開方法構建輸彈協調機構的分量函數,并判斷一階分量函數的線性和二階分量函數的耦合性,減少了樣本的計算費用,通過典型算例驗證了算法的有效性和正確性,最后,利用輸彈協調機構的SPCE-HDMR模型進行穩健優化設計研究,得到降低協調到位精度敏感性的最優輸入參數組合,為輸彈協調機構的工程設計和其他工程機構的設計提供了理論參考。

1 輸彈協調機構模型描述

某輸彈協調機構如圖1所示,協調臂安裝在耳軸上,在液壓缸的驅動下繞著耳軸旋轉,液壓缸一端安裝在架體上,相對架體旋轉,另一端安裝在協調臂上,相對協調臂旋轉。在一定的協調油缸壓力作用下,將協調臂旋轉到一定的角度,完成輸彈協調動作。但是由于模型中存在不確定性參數,包括協調臂的質量、慣量、協調油缸的壓力與時間的關系(如圖2)、鉸的相對位置、結構尺寸參數,環境、氣象參數等參數。這些不確定性參數使得協調臂的到位精度發生變化,為了能夠降低協調到位精度對不確定性輸入參數的敏感性,首先應明確不確定性輸入參數及其取值范圍。

圖2中,t1為壓力變化到最大的時間節點,t2為壓力從恒定不變到開始變小的時間節點,t3為壓力變為0的時間節點。

圖1 輸彈協調機構示意圖

圖2 輸彈壓力隨時間的變化

由于輸彈協調機構存在眾多不確定性輸入參數,有些參數對輸出響應的影響較小,根據模型分析和工程需要,篩選并明確不確定性輸入參數如表1所示。

表1 輸彈協調過程不確定性輸入參數

為了進行協調到位精度的穩健優化設計,需要對上述不確定性輸入參數進行分類,分為可控參數W和不可控參數P,根據工程實際中設計、加工的難易程度來區分,可控參數指的是在工程實際中通過設計、加工等手段可以改變的參數,不可控參數指的是在工程實際中不可改變或難以改變的參數。其中,可控參數又分為非隨機變化的值Wc和隨機變化的值Wv,不可控參數又分為非隨機變化的值Pc和隨機變化的值Pv。根據工程實際,協調過程的參數中,Wc=(L1L2)T,Wv=(p1t1t2t3)T,Pv=(mbIzzH1H2)T。

根據輸彈協調機構的結構和動作,基于相對坐標原理[12],經過推導可以得到輸彈協調機構的動力學方程為

(1)

2 輸彈協調過程穩健優化設計

2.1 輸彈協調機構的高維模型表達(HDMR)

輸彈協調機構存在大量不確定性輸入參數,采用常規的代理模型技術會面臨維度災難問題,難以高效準確地得到代理模型。HDMR可解決此問題,其具體描述為:對于輸彈協調機構中給定的n=10個不確定性輸入參數(如表1所示),定義參數序號1～10分別為x1～x10,記為X=(x1x2…xi…x10)T∈R10,對應的輸出為f(x1,x2,…,xi,…,x10),用HDMR結構表示輸入和輸出之間的映射關系為

(2)

式中:f0為零階項;fi(xi)為一階分量函數,即單個變量對輸出的影響;fij(xi,xj)為二階分量函數,即兩變量耦合對輸出的影響,類似地,f1,2,…,10(x1,x2,…,x10)為10階分量函數,即10個變量耦合對輸出的影響。

根據文獻[6],在輸彈協調過程的代理模型中只考慮零階項、一階分量函數和二階分量函數,代理模型為

(3)

基于Cut-HDMR理論,各分量函數為

f0=f(Xc)

(4)

fi(xi)=f(xi,Xc,i)-f0

(5)

fij(xi,xj)=f(xi,xj,Xc,ij)-fi(xi)-fj(xj)-f0

(6)

式中:f(Xc)為各輸入參數取中心點時的響應;f(xi,Xc,i)為輸入參數xi變化,其他輸入參數取中心點時的響應;f(xi,xj,Xc,ij)為輸入參數xi和xj同時變化,其他輸入參數取中心點時的響應。

2.2 基于SPCE的輸彈協調過程分量函數構建

(7)

將輸彈協調過程的分量函數(假定為y=f(X))用有限階的級數q展開成輸入參數正交多項式和的形式為

(8)

‖ue‖1≤q

(9)

計算可得PCE總項數s為

(10)

(11)

(12)

2.3 基于SPCE-HDMR的輸彈協調過程代理模型建模算法

基于Cut-HDMR思想以及SPCE的求解策略,提出一種基于SPCE-HDMR的輸彈協調過程高維代理模型建模算法,具體過程如下。

①確定中心點。確認xi(1≤i≤n)的中心位置點xc,i,記為Xc=(xc,1…xc,i…xc,n),并得到函數輸出中心點f0=f(Xc),以f0作為以下所有代理模型的中心點的理論值;

⑥重復步驟②至步驟⑤,直至所有10個自變量都建模完畢,進入步驟⑦;

⑩重復步驟⑦至步驟⑨,直到所有的兩變量組合全部構建完成。

高維模型構建時的精確度準則和收斂準則都是通過相對誤差來定義的。對于精度較高計算,ε1,ε2,ε4和ε5一般取0.001,ε3和ε6一般取0.99;對于工程問題,ε1,ε2,ε4和ε5一般取0.01,ε3和ε6一般取0.9[11]。

2.4 基于SPCE-HDMR的輸彈協調過程穩健優化設計

協調到位穩健優化設計是通過優化目標函數的方差來提高協調到位的精度和降低其對不確定性輸入參數的敏感性。基于SPCE-HDMR建立的協調過程不確定性分析模型,在可控隨機參數Wv和不可控隨機參數Pv變化的情況下,求取協調到位精度的目標函數,即協調到位角度θ的均方差σθ,得到可控參數W的最優解,以此建立協調到位精度的穩健優化設計模型為

式中:Wl和Wu分別為可控參數的下界和上界向量。

遺傳算法(GA)是一種應用廣泛的全局優化算法,具有全局尋優的特點,但尋優結果不夠精確,計算量大;序列二次規劃(SQP)算法是一種局部優化算法,將復雜的非線性約束最優化問題轉化為比較簡單的二次規劃(QP)問題求解的算法,能夠在參數空間給定的局部區域快速尋優。因此,本文結合GA和SQP的優點,采用組合優化算法求解協調到位精度的穩健結果。

3 算例分析

3.1 函數算例

算例1為高維非線性模型精度測試。

為了驗證該算法的有效性,一般取復相關系數R2、相對平均絕對誤差RAAE和相對最大絕對誤差RMAE綜合評判模型的精度[10-11],首先,取高維非線性函數進行測試。函數1、函數2和函數3分別為

在相同的計算費用的情況下,通過SPCE-HDMR算法和PCE方法得到的高維模型計算得到評價指標結果對比如表2所示。

表2 函數測試精度

由表2可以看出,基于SPCE-HDMR建立的代理模型的測試精度R2都在0.99以上,相對PCE得到的代理模型精度較高,RAAE和RMAE的值都在0.1以下,比PCE得到的結果較小,說明本方法得到的代理模型符合精度要求。

算例2為建模效率測試。

為了說明本方法的效率,取不同的維數進行測試,函數為

式中:m為函數的維數,分別取10,30,50等不同的值,假設每個分量函數的采樣點數為k=8(經過驗算,該采樣點數得到的分量函數擬合結果符合精度要求),得到不同模型的計算費用如表3所示。

表3 各階HDMR建模費用比較

3.2 工程算例

算例3為協調到位穩健優化設計結果分析。

為了進行協調到位穩健優化設計,首先明確輸入參數的取值及范圍如表4所示。

表4 不確定性輸入參數的取值范圍

根據2.3節中的算法,建立輸彈協調過程的高維代理模型,經分析,零階分量函數的值為0.872 7,參數mb、Izz和H1的一階分量函數為線性模型,二階耦合項理論組合為45項,根據算法判斷只有10項,因此大大減小了建模的工作量。

隨機取k=50組樣本作為預測參數,分別代入協調過程的SPCE-HDMR模型和原動力學模型,分別得到SPCE-HDMR模型的計算結果θ和原動力學模型的計算結果θ對比如圖3所示,根據3.1節中的評價函數得到測試結果:R2=0.989 7,RAAE=0.093 6,RMAE=0.193 5。

圖3 輸彈協調SPCE-HDMR測試結果

可見,由SPCE-HDMR得到的輸彈協調過程代理模型的R2>0.9,RAAE的值很小,RMAE的值也比較小,擬合精度相對較高,符合工程要求,可以作為代理模型進行穩健優化設計的求解。

綜合考慮計算效率和精度,設置GA優化算法參數:種群數為50,交叉系數為0.8,變異系數為0.05,進化代數為20;SQP算法參數設置為:最大迭代步數500。首先利用GA優化算法對穩健優化設計模型進行全局尋優,得到全局最優參數組合后,再利用SQP優化算法對穩健優化設計模型進行局部最優的求解,優化流程如圖4所示。

為了得到不同的優化參數組合,方便設計人員選用,進行了多次優化,如表5所示為8組優化的結果。

由表5可以看出,經過穩健優化后的可控參數組合一致性較好,初始均方差指優化設計過程中第一次尋優的參數組合,最大均方差指在優化設計過程中出現的最惡劣參數組合,優化后的均方差是指在表5所示的可控參數組合下得到的最優目標函數,經過穩健優化設計,協調到位的均方差較最大均方差相比減小了35.96%(8組平均結果),較初始均方差相比減小了22.70%(8組平均結果),降低了協調到位精度對不確定性輸入參數的敏感度,從而為設計提供了理論參考。以第8組優化結果為例,對參數進行圓整處理,圓整后的參數為9.7,0.115,0.235,0.335,187.0,182.0,以此作為名義值代替表4中的相關參數的名義值,其他參數如表4,采樣后代入原模型計算系統輸出的均方差,結果為0.045 7,與優化后的均方差相比稍微變大,滿足精度要求,因此第8組優化參數可以作為設計的參考。

圖4 輸彈協調到位穩健優化設計流程圖

表5 輸彈協調到位穩健優化設計結果

4 結束語

針對工程設計階段某輸彈協調過程穩健優化設計中存在的參數眾多,計算工作量大的問題,本文提出了一種基于SPCE-HDMR的高維代理模型建模方法,以此提高輸彈協調機構的到位精度。采用SPCE代理模型技術,結合優化拉丁超立方采樣能夠得到高精度的輸彈協調過程分量函數,基于Cut-HDMR理論建立了高效高精度的輸彈協調過程高維代理模型,可以得到如下結論:

①通過SPCE-HDMR建模算法,可以有效地判斷不確定性輸入參數相對輸出響應的線性關系以及輸入參數之間的耦合性,減少了分量函數構建的樣本點數,節約了計算成本;

②通過高維非線性函數算例分析,將建立高維代理模型的計算費用由維數的指數級增長降為多項式增長,有效地解決了高維建模的維度災難問題;

③通過輸彈協調過程的穩健優化設計分析,在保證模型精度的情況下極大地提高了穩健優化的計算效率,解決了輸彈協調過程穩健優化設計計算費用大的問題,高效準確地提高了輸彈協調機構的到位精度,說明了該方法的有效性,為輸彈協調過程的工程設計和其他工程設計提供了理論參考。