膨脹-劈裂組合模式下薄壁圓管的吸能性能研究

吳明澤，張曉偉，張慶明

(北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081)

薄壁圓管具有高比強度、高比剛度和輕質量的特點，因此在抗沖擊結構中得到廣泛應用[1]。其中，軸向壓縮條件下薄壁圓管的膨脹變形具有變形過程穩定、載荷平滑、對載荷方向不敏感等優點[2]，且膨脹壓縮載荷可通過壓模結構參數改變實現在較大的范圍內調控，以滿足不同載荷的載荷設計要求；但是，為了讓薄壁圓管充分膨脹，膨脹結構中錐頭壓模的有效長度需得大于圓管的長度，導致膨脹機構在工作中的整體行程效率較低(<50%)。而對于薄壁圓管的軸向劈裂變形模式則具有行程效率高的優點，其行程效率能達到90%以上；但是，其平均載荷力較低，即使在75o的壓模錐角下，其平均載荷力也僅為薄壁圓管漸進壓潰模式平均載荷力的1/3[3-7]。學者們研究發現，通過一定的壓模結構設計，能讓薄壁圓管在軸向下壓的過程中發生先膨脹后劈裂的組合變形模式，結合兩種變形模式的優點，有效地提高薄壁圓管的吸能性能[8-10]。

對于薄壁圓管的膨脹-劈裂組合變形模式，其變形過程復雜，較難精確地給出結構吸能性能參數與影響因素之間的理論解析式。因此，本研究提出通過試驗設計建立響應面模型(RSM)的方法[11-12]，去研究壓模結構參數對組合變形模式下薄壁圓管吸能性能的影響。以比能量吸收率與最高峰值力為優化目標，對結構進行了優化設計。

1 吸能性能指標和模型的建立

1.1 吸能性能指標

薄壁圓管吸能性能主要通過以下指標進行衡量[11-12]：

1) 最大峰值力Fmax：薄壁圓管變形過程中沿軸向產生的最大載荷。為了減小載荷對乘員的傷害，應盡可能降低沖擊過程中的最大峰值力。

2) 平均載荷力Fm:

(1)

式中：E為薄壁結構所吸收的總能量；S為軸向下壓行程。

3) 比能量吸收率SEA:單位質量的吸能結構所吸收的能量。

(2)

式中：m為吸能結構有效變形階段的質量。為滿足結構輕量化的設計要求，薄壁結構的比能量吸收率應盡量大。

4) 吸能效率：即平均載荷力與最高峰值力的比值：

(3)

式(3)表征了結構的能量吸收平穩性，一定程度上也反映了材料的吸能利用率。

1.2 模型的建立

以內徑Do=50 mm、厚度t=1.5 mm、長度L=200 mm的薄壁圓管作為研究對象。圖1為膨脹-劈裂組合變形模式的機構示意圖，薄壁圓管在軸向受壓的過程中，壓模的下錐面使圓管發生膨脹，壓模的上錐面則使膨脹后的圓管管壁發生劈裂變形，兩錐角之間的間距h=23 mm，壓模中間部位的外徑為Dd。圓管的上端包裹住壓模，且圓管的頂端設置8個預制切口，讓劈裂變形更容易發生。圖2為機構的有限元模型，壓模和下板設置為剛體，下板固支，壓模以2 m/s的速度軸向擠壓薄壁圓管。薄壁圓管采用單元尺寸為1 mm的S4R單元劃分，厚度方向上設置5個積分點，所有部件之間采用罰函數接觸算法，摩擦因數取0.07。

圖1 膨脹-劈裂組合模式機構示意圖

圖2 有限元模型圖

薄壁圓管材料選擇為45#鋼，彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3，密度為7.8 g/cm3，其本構關系采用Johson-Cook模型，且暫不考慮應變率和溫度效應：

σ=A+Bεn,εf=D1+D2exp(-D3σ*)

(4)

式中：σ等效應力；ε表示等效塑性應變；εf為失效應變；σ*為應力三軸度，是靜水壓力與Mises等效應力的比值；A、B、n、D1-D3為材料參數，如表1所示[13]。

表1 45#鋼的力學參數

壓模的上錐角α、下錐角β和壓模外徑Dd為3個設計變量，上錐角的參數變化范圍為[45°,75°]，下錐角的參數變化范圍為[5°,35°]，壓模外徑的參數變化范圍為[56 mm,64 mm]。

2 試驗設計

在建立響應面模型時，試驗點的選取應遵從一定的準則，以便只取少量的點就能使近似函數達到較高的精度。本文采用的是中心復合設計方法，同時考慮試驗點在設計參數空間中的正交性和旋轉性。它的試驗點數目N由3部分組成：

N=2p+2P+m0

(5)

其中：p為自變量的個數；2p代表的是因子設計點個數；2p代表的軸點個數；mo為中心點個數。N個試驗點分布在設計參數空間3個半徑不相等的球面上，其中因子設計點在半徑ρ=1的球面上，軸點在半徑ρ=γ的球面上，中心點在ρ=0的球面上。mo和γ的取值與設計變量個數p相關，以使得回歸系數求解矩陣不退化。

2.1 編碼轉換

壓模結構包含3個設計變量α、β、Dd，三變量對應下的γ=(2p)1/4=1.682，mo=6，即有N=20個試驗點，圖3展示了每一個試驗點對應的編碼坐標，及其在設計空間中的相對位置。將設計變量參數空間分為5個水平面，并將相關參數進行編碼轉換，如表2所示。

圖3 試驗點編碼坐標及其在參數空間中的位置分布

表2 相關變量編碼轉換

2.2 試驗設計結果

組合模式下圓管變形過程如圖4所示，管壁在壓模的擠壓下，先發生膨脹變形，緊接著膨脹和劈裂兩種變形同時發生。對應的載荷-行程曲線如圖5所示，隨著壓模行程的增大，載荷迅速上升到第一個穩定階段，這個階段是由于圓管只發生膨脹變形造成的；當行程繼續增大，管壁頂端與壓模上錐角接觸，管壁頂端也開始發生膨脹變形，此導致載荷又迅速上升；當圓管頂端膨脹到一定程度，頂端預制切口處的應變達到失效應變，管壁劈裂成八瓣，并在上錐角的約束下發生卷曲變形；此時，載荷迅速下降至第二個相對穩定的階段，并圍繞著一個穩定載荷呈周期性波動。試驗設計的結果如表3所示，同時列出了相應的參數響應值。

圖4 薄壁圓管組合模式下的變形過程

圖5 薄壁圓管載荷-行程曲線

表3 試驗點的吸能性能響應參數

續表(表3)

3 響應面模型的建立

3.1 響應面模型回歸系數的確定

由文獻[2-4]可知，當摩擦因數大于零時，下錐角β對膨脹變形的載荷響應是非線性的，因此在這里采用二次多項式作為實際函數f(x)的近似函數，三變量下的二階響應模型為：

(6)

式中，x1、x2、x3分別代表試驗點在參數空間中的編碼坐標值。

利用最小二乘法原理，使得近似函數與實際函數的誤差最小，以來確定響應面函數的回歸系數b，其計算公式為：

(7)

(8)

(9)

(10)

常數e、K、E、F、G與λ和p相關：

(11)

根據式(7)～式(11)，分別計算得到組合變形模式下平均載荷力Fm、最高峰值力Fmax和比能量吸收率SEA的二階響應模型方程為:

0.09x1x2-0.46x1x3-1.34x2x3+

(12)

0.09x1x2-0.08x1x3-0.28x2x3+

(13)

0.06x1x2-0.21x1x3-0.34x2x3+

(14)

通過式(15)將x1、x2、x3轉化成α、β、Dd，從而得到各吸能性能響應量與設計變量α、β、Dd之間的關系：

(15)

3.2 響應面模型的顯著性和精度分析

上述所求響應面模型能否真正反映設計目標y與設計參數的統計規律性，或是否可以作為有意義的二階近似模型，還需要對模型的顯著性進行F檢驗，并通過復相關系數R2和相對平均絕對誤差RAAE對響應面模性的精度進行評估：

(16)

(17)

(18)

由式(16)～式(18)對響應面模型的相關參數進行計算，如表4所示。查F臨界值表，有F0.05(9，10)=4.92，三響應面模型的吸能F值都大于4.92，說明三響應面方程都是高度顯著的。響應面模型的R2都較高，分別是0.99、0.98；且RAAE都較小，分別是0.009、 0.012和0.015，說明三響應面模型對實際函數的逼近程度很好，模型精度較高。

表4 響應面模型的顯著性和精度參數

4 討論

4.1 壓模結構參數對吸能性能參數的影響

圖6和圖7分別為平均載荷力和最高峰值力的響應曲面，可看出兩載荷響應量與各設計變量的關系大致相似；兩載荷響應量與上錐角和壓模外徑呈單調遞增的關系，但會隨著下錐角的增大先增大后減小。當下錐角的角度在10°～15°時，載荷會存在最小值。文獻[2-4]指出當摩擦因數大于0時，膨脹管壓縮載荷與壓模錐角之間也有類似的關系，因此組合變形模式下該現象的發生應為摩擦力的存在對膨脹階段產生影響而造成的。

圖8為比能量吸收量的響應曲面，圓管在組合變形模式下，其比能量吸收量隨著上下錐角和壓模外徑的增大而增大。結合圖1和6，可看出下錐角在小角度下，平均載荷較大，在相同的行程下吸能量較多；但其角度越小，圓管上端需要包裹壓模的部位就越多，相同的壓模行程下，薄壁圓管有效變形區域的質量就會越大，從而導致比能量吸收率與載荷在下錐角小角度下呈現較大差異的原因。結合式(3)、式(11)、式(12)可做出結構吸能效率的響應曲面(圖9所示)，可看出組合變形模式下薄壁圓管的吸能效率在0.76～0.92之間，上錐角越小，吸能效率越高。

圖6 平均載荷力響應曲面

圖7 最高峰值力響應曲面

圖8 比能量吸收率響應曲面

圖9 吸能效率響應曲面

4.2 結構優化

對于吸能結構，所希望結構的比能量吸收率要盡量大，且其最高峰值力要盡量小。對兩者同時考慮，即進行多目標優化，其數學表達式為：

(19)

為得到同時考慮兩個性能指標的優化結果，采用非域分類遺傳算法(NSGA-II)，做出兩指標之間的Pareto前沿面，如圖10所示?？煽闯?，兩者呈現正相關的聯系，即存在很強的競爭關系。因此，如果設計者更注重結構的比能量吸收率，就要考慮右上角的解，這同時意味著較高的峰值力，反之亦然。單方面側重的優化結果，如表5和表6所示。傳統上，最令人滿意的決策通常是由權重法來決定的，它將所有的目標集合成于加權平均相關的單個成本函數，以強調它們的相對重要性。然而，在實際工程應用中，很難為每個目標分配適當的權重。為了從Pareto前沿面中確定最滿意的解，可通過理想點法確定最優點，其數學表達式為：

(20)

圖10 Pareto前沿面

表5 側重比能量吸收率的優化結果

表6 側重最小峰值力的優化結果

表7 理想點法優化結果

已有文獻[8-10]指出，該組合變形模式能提高其對應單一變形模式下薄壁圓管圓管的吸能性能。但是針對薄壁圓管在該組合變形模式和漸進壓潰變形模式下的吸能性能比較，還未有文獻指出。對相同幾何尺寸的薄壁圓管進行漸進壓潰的數值計算，其有限元模型及仿真結果如圖11所示，表8列出漸進壓潰變形模式下薄壁圓管的吸能性能參數。結合表5和表7看出，相對漸進壓潰變形模式，當壓模的幾何參數為α=75°、β=35°、Dd=64 mm時，組合變形模式下的比能量吸收率提高了1.4倍，其最高峰值力減弱了21%；當壓模的幾何參數為α=74°、β=32.1°、Dd=56.1 mm時，組合變形模式下的比能量吸收率提高1.1倍，其最高峰值力減弱了45%；且在不同幾何結構的壓模下，薄壁圓管在組合變形模式下的吸能效率大于70%，而漸進壓潰變形模式下的吸能效率為46%，組合變形模式下圓管的吸能過程更加平穩。因此，可以看出該組合變形模式在一定的壓模結構設計下，其吸能性能優于漸進壓潰變形模式，且其載荷響應能通過壓模結構調節以適應不同的工作環境。

表8 薄壁圓管漸進壓潰變形模式下的吸能性能參數

圖11 有限元模型及變形結果

5 結論

1) 在組合變形模式下，薄壁圓管的載荷響應量隨著上錐角和壓模外徑的增大而增大，隨著下錐角的增大先增大后減小。吸能效率在76%～92%，隨著上錐角的增大而減小。

2) 在組合變形模式下，薄壁圓管的比能量吸收率隨著上錐角、下錐角和壓模外徑的增大而增大。

3) 相比較于漸進壓潰變形模式，當以比能量吸收率最大為優化目標時，組合變形模式下薄壁圓管的比能量吸收率提高1.4倍，最高峰值力減弱21%；當以多目標優化為目標時，組合變形模式下的比能量吸收提高1.1倍，最高峰值力減弱45%。