粘彈塑性土工格柵加筋尾礦流變模型研究

易富，杜常博，李軍，張利陽，張晉

(1.遼寧工程技術大學 a.建筑與交通學院；b.土木工程學院, 遼寧 阜新 123000；2.沈陽建筑大學 土木工程學院, 沈陽 110000；3.西南交通大學 土木工程學院 成都 610031)

最初常用彈塑性理論研究土工合成材料的本構關系，不考慮土工合成材料變形的時間效應，如線性、雙曲線、多項式[2-5]等經驗模型；而近年來，考慮到土工合成材料的流變性能，一些學者提出了經驗模型、元件模型和內時模型等流變模型[6-9]，表征加筋材料的粘彈塑性變形特征，并把筋材和土體看成宏觀均勻的復合材料，認為筋土的相互作用表現為內力[10-11]；在此基礎上，研究土工格柵加筋土的本構模型也考慮了加筋材料的流變特性，如Sawicki等[12]、肖成志等[13]、李麗華等[14]、周志剛等[15]均采用土工格柵三參數粘彈性模型，提出了考慮筋材蠕變性能的加筋土流變模型，但現有的三參數粘彈性模型沒有考慮土工格柵的塑性特征，無法全面準確地反映加筋結構中土工格柵長期荷載作用下的力學特性。

在考慮土工格柵長期荷載作用下塑性特征的基礎上，建立了適用于加筋尾礦的流變模型，假設土工格柵是粘彈塑性體，尾礦是彈塑性體，把加筋尾礦復合體看成一個整體，整個復合體受力分為尾礦處于彈性或塑性狀態兩個階段，分別建立兩個階段的模型方程，推導出了這兩個階段加筋尾礦復合體的本構關系表達式。

1 加筋尾礦復合體流變模型推導

1.1 基本假定

假定加筋尾礦復合體是宏觀均勻各項異性的復合材料，其中，土工格柵為粘彈塑性材料，尾礦是彈塑性材料，滿足Mohr-Coulomb強度準則；假設土工格柵與尾礦之間完全粘結，沒有相對滑動，格柵只是處于受拉狀態，加筋復合體的剪應力、剪應變均由尾礦承擔；把加筋尾礦復合體變形分成兩個階段進行分析，第1階段尾礦表現為彈性，尾礦開始進入塑性狀態為第2階段；整個階段加筋尾礦復合體均為粘彈塑性。

1.2 土工格柵粘彈塑性模型

目前，許多學者在研究土工格柵元件模型時大多采用三參數粘彈性模型，該模型由彈簧和Kelvin體兩部分串聯而成，能夠反映土工格柵低應力下的蠕變規律。但是，大量土工合成材料的蠕變試驗結果顯示，三參數粘彈性模不能準確計算出土工格柵的起始蠕變點，也無法反映塑性變形規律，所以，此模型無法很好的應用于理論計算。文獻[12]提出在三參數粘彈性模型的基礎上增加一個線性塑性滑塊，改進成四參數粘彈塑性模型(如圖1a所示)，定義這個塑性元件的單位寬度拉力與塑性應變呈線性關系，且塑性變形不可恢復，這樣就能調整土工格柵蠕變的起始應變準確模擬蠕變情況，并能準確預測格柵的應力松弛變化規律。

圖1 土工格柵四參數粘彈塑性模型及其蠕變、應力松弛曲線Fig.1 Four-parameter viscoelasto plastic model of geogrids and its creep and stress relaxation

經過受力與變形分析，在加載過程中，土工格柵的微分本構關系為

(1a)

(1b)

式中：E1為彈性元件的剛度系數，kN/m；R為線性塑性元件的塑性模量，kN/m；E2為Kelvin體彈簧的剛度系數，kN/m；η為Kelvin體粘壺的粘滯系數，kN·h/m；T為筋材單位寬度上的拉力，kN/m；ε為對應應變，%；t為蠕變時間，h。

1.2.1 蠕變 令式(1)中荷載T為常數，可得到土工格柵的蠕變方程(見圖1(b))為

(2)

在t=0時，土工格柵的初始蠕變為

(3)

在t→∞時，格柵的蠕變達到穩定狀態，此時

(4a)

(4b)

1.2.2 應力松弛 在t=0時，尚未發生流變變形，筋材保持彈塑性應變不變，即

ε(t=0)=ε1+ε2=常數

(5)

隨著應力松弛的開始，流變逐漸產生，因塑性應變不可恢復，那么彈性應變減少，粘性應變增加，二者之和依然為常數。

ε′(t>0)=ε1+ε3=ε-ε2=常數

(6)

式中：ε′為部分應變的組合，%。

(7a)

(7b)

在t=0時，對土工格柵應力松弛方程進行了瞬時響應計算，從公式(7)中可表示為

T(t=0)=E1ε′

(8)

由方程(7)可得出土工格柵在恒定應變下漸進行為(即t→∞)的應力松弛情況為

T(t→∞)=E12ε′

(9)

1.3 加筋尾礦復合體模型的建立

ns+nr=1

(10)

(11)

式中：nr=e/Δh，其中，e為格柵厚度，m；Δh為格柵層間距，m。

本文研究平面應變狀態下的加筋尾礦結構，假定筋材只在x方向上工作，圖2所示為加筋復合體在平面應變狀態下宏觀應力與微觀應力關系示意圖，假定格柵只處于受拉狀態，不考慮格柵在厚度方向的壓縮和彎曲變形，則式(11)可簡化為

(12)

(13)

圖2 加筋尾礦宏微觀應力的關系示意圖Fig.2 Sketch of relationship between macro- and micro stress of reinforced

1.3.1 第1階段：尾礦處于彈性狀態 當尾礦處于彈性狀態而土工格柵為粘彈塑性材料時，由平面應變條件下廣義Hooke定律得

(14)

(15)

式中：Es為尾礦變形模量，MPa；vs為泊松比。

將式(10)～式(13)代入式(14)，整理得

(16)

(17)

結合式(16)和式(17)，并考慮筋材在加筋復合體中所占的體積比很小(ns?1)，可得

(18)

將式(18)代入式(1)，得

(19a)

式中：

(19b)

假定土工格柵的初始應力為T0，求解方程式(19)可得

(20a)

(20b)。

式中：tp為塑性到達時間(加筋復合體達到第2階段所需要的時間)，h。

根據式(10)和式(17)可得尾礦水平應力為

(21)

為求得加筋尾礦復合體的塑性到達時間tp，假定尾礦為彈塑性材料，滿足Mohr-Coulomb準則，所以有[14]

(22)

(23)

(24)

(25)

1.3.2 第2階段：尾礦進入塑性狀態 當尾礦進入塑性狀態時，尾礦符合屈服條件式(23)。根據與破壞條件相關聯的流動法則，塑性應變的表達式為[14]

(26)

式中：λ為塑性階段的變形。

此時，尾礦處于塑性狀態，應滿足條件

(27)

將式(23)代入上述流動法則得

(28)

假定加筋復合體的宏觀應力不變，即dσz=dσx=dτ=0，由式(21)得

(29)

再將式(29)代入到式(28)，得

(30)

因此，當尾礦進入塑性狀態后，加筋復合體的應力保持不變，尾礦的塑性流動由加筋復合體粘彈塑性變形決定，此時土工格柵加筋尾礦的流變模型為

(31)

求解式(31)微分方程，得到尾礦塑性狀態時加筋復合體的水平變形方程為

(32)

式中：εp為加筋復合體在彈性結束時、塑性開始時的應變，%。

(33)

通過上述推導可得尾礦處于彈性和塑性狀態兩個階段的加筋尾礦復合體的本構關系：第1階段尾礦處于彈性狀態時，式(20)描述了筋材應力的降低，導致在尾礦中的微觀應力重新組合，直到尾礦達到屈服條件，方程式(18)給出了此階段加筋復合體的應變關系式，式(17)和式(21)分別給出了加筋復合體中筋材和尾礦的應力關系式；第2階段尾礦達到屈服條件進入塑性狀態時，塑性到達時間可由式(25)確定，此階段加筋復合體的應力恒定，整個加筋尾礦復合體應變由于筋材的蠕變而增大，第2階段的變形函數可由式(33)給出，再結合式(26)和式(32)可得出第2階段的水平和豎向變形方程。

以上分析可知，加筋復合體的受力不僅與土工格柵和尾礦的應力有關，還與土工格柵材料特性、尾礦物理特性、加筋層間距及時間有關。

2 模型參數求解

2.1 土工格柵模型參數求解

采用欒茂田[6]的試驗，他對不同規格的單向土工格柵進行了蠕變試驗，選取型號EG65R的土工格柵的試驗數據。EG65R土工格柵的極限荷載為65 kN/m，蠕變數據選取荷載作用為31.2、33.4、35.5 kN/m，而應力松弛選取應變為4%、5%、6%，具體數據如圖3所示。

圖3 試驗數據與本文模型對比Fig.3 Comparison between experimental data and the model of this

表1 土工格柵粘彈塑性模型的四參數值Table 1 Four parameter values of viscoelasto plastic model of geogrids

2.2 加筋復合體模型參數求解

假定有一座采用本文土工格柵加筋的尾礦壩，壩體中土工格柵處于3.25 kN/m的應力狀態下(即應力水平為5%)[15]，取尾礦堆積壩深度z方向3 m的某加筋尾礦單元為研究對象，尾礦具有的物理性質指標見表2。

表2 尾礦物理參數取值Table 2 The physical parameter value of tailings

EG65R土工格柵處于5%應力水平時，塑性元件的模量為R=0.78×103kN/m，再將表1中土工格柵的彈簧的剛度系數E1、E2、粘滯系數η及格柵層間距Δh和尾礦參數代入式(25)，得到加筋尾礦復合體的塑性到達時間tp=16.8 h。第1階段加筋尾礦復合體的宏觀與微觀狀態如圖4所示。

圖4 加筋尾礦復合體第1階段宏微觀狀態(單位：kPa)Fig.4 Macro-and micro stress state of reinforced tailings complex in the first

2.2.1 第1階段 由式(20)得出尾礦中格柵處于3.25 kN/m應力狀態下的應力松弛表達式為

T=(-3.176 8e-0.026 3t-0.073 2)×103

(0

(34)

將式(34)代入式(18)得到加筋復合體的彈性應變為

εx=0.198 6×10-3×(e-0.026 3t-1)

(0

(35)

此時，當尾礦處于彈性狀態下，土工格柵和尾礦的應力分別為

(36)

(37)

如圖5所示，根據式(36)和式(37)計算可得到加筋復合體中尾礦達到塑性狀態前格柵和尾礦單元的應力隨時間變化情況。由圖5可知，當尾礦處于彈性狀態時，由于應力松弛，土工格柵和尾礦的應力都隨時間逐漸減小，當接近臨界時間tp，二者的應力開始趨于平緩。

圖5 第1階段筋材和尾礦的微觀應力變化Fig.5 Variation of micro stress of geogrids and tailings in the first

2.2.2 第2階段 將tp=16.8 h代入式(35)，得到加筋復合體第1階段結束第2階段開始時的應變εp。

εp=0.198 6×10-3×(e-0.026 3t-1)=

-0.070 9×10-3

(38)

再將εp和得到的格柵模型參數代入式(33)，得到尾礦在塑性狀態時加筋復合體水平變形方程為

εx=5.325 5×10-3e-0.02t-5.396 4×10-3

(t>16.8 h)

(39)

綜上所述，可知土工格柵處于5%應力水平時，塑性到達時間很小，即加筋尾礦復合體受力很快進入第2階段，且第1階段變形比較小，可以忽略不計，整個加筋階段復合體的應變主要由第2階段導致，故在進行變形計算時，以第2階段的變形為主。

由式(26)、式(32)和式(33)結合式(39)可得第2階段的塑性變形方程式為

(40)

圖6所示為第2階段的塑性應變發展情況，時間t是加筋復合體在第2階段開始時開始計量的，第2階段塑性應變在開始時迅速增加，在t=300 h后趨于穩定。

圖6 由筋材蠕變引起的塑性應變變化Fig.6 Variation of plastic strains due to creep of

2.2.3 空氣和尾礦中格柵應力松弛的對比情況 由式(7)可得格柵處于3.25 kN/m應力狀態下的應力松弛表達式為(此時格柵保持應變0.25%不變)

T=(1.280 3e-0.033t+1.969 7)×103

(41)

由式(34)可得尾礦中格柵處于3.25 kN/m應力狀態下的應力松弛表達式為

T=(3.176 8e-0.026 3t+0.073 2)×103

(0

(42)

圖7所示為置于空氣和尾礦中土工格柵應力松弛的對比情況。置于空氣中土工格柵應力松弛在時間為200 h左右時，應力將穩定在1.9 kN/m狀態下；而置于尾礦中的格柵應力松弛在塑性到達時間時處于2.2 kN/m狀態下，之后，尾礦進入塑性狀態，格柵應力松弛完成，應力將保持不變；同時，對比空氣和尾礦中的格柵應力松弛可知，室內條件下的應力松弛比實際條件下的要大，但實際條件下的應力松弛要比室內條件下的快。當格柵置于尾礦中，由于格柵與尾礦的相互作用，土工格柵應力松弛將快速完成，進而隨著尾礦進入塑性狀態，加筋復合體的應力保持不變。

圖7 空氣和尾礦中格柵應力松弛的對比Fig.7 Comparison of stress relaxation of geogrid in air and

2.3 流變模型參數對塑性到達時間tp的影響分析

為了探討土工格柵粘彈塑性模型參數和尾礦強度參數對加筋復合體塑性到達時間tp的影響規律，結合以上分析給定各參數基準值見表3。

表3 各參數的基準值Table 3 Baseline values of each parameter

如圖8所示，根據式(25)計算得到加筋尾礦復合體塑性到達時間tp隨土工格柵粘彈塑性模型參數E1、E2、R、η和尾礦變形模量Es及內摩擦角φ的變化規律。由圖8可知：tp與E1和tp與R都呈負指數關系減小，變化不大，在10～20 h之間變化，最后都趨于穩定；tp與E2也呈負指數關系減小，變化相對較大，在0～60 h之間變化；tp與粘滯系數η呈線性正相關，變化較大；tp與Es呈負指數關系增大，變化幅度不大，當量Es超過30 MPa，tp達到穩定狀態；tp與φ呈指數關系增大，增大幅度較大。

進一步分析可知，加筋尾礦復合體塑性到達時間tp受土工格柵粘彈塑性模型中Kelvin系數E2、η和尾礦內摩擦角φ的影響顯著，受格柵模型內彈性元件系數E1和塑性元件系數R及尾礦變形模量Es影響不明顯。

圖8 塑性到達時間tp隨不同參數的關系Fig.8 The relationship between the plastic arrival time

3 結論

1)土工格柵四參數粘彈塑性模型能夠準確反映土工格柵在低應力水平下的兩階段衰減型蠕變和應力松弛變化規律。

2)提出了粘彈塑性土工格柵加筋彈塑性尾礦的簡化模型，將加筋復合體受力分析分為兩個階段，分別對應尾礦處于彈性狀態和塑性狀態，第1階段，對于承受恒定應力的加筋尾礦復合體，筋材中的應力隨時間減小，導致尾礦中的微觀應力重新組合，直到尾礦達到屈服條件進入第2階段，筋材的應力開始保持不變，整個加筋復合體的應變會隨著筋材的蠕變而增加。

3)加筋尾礦結構中格柵處在低應水平力時，加筋尾礦復合體受力會很快進入第2階段，且第1階段變形較小，整個加筋階段復合體的應變主要由第2性階段導致。

4)加筋尾礦復合體的塑性到達時間tp，受土工格柵粘彈塑性模型中Kelvin元件系數E2、η和尾礦內摩擦角φ的影響顯著，受模型內其他參數E1、R和尾礦變形模量Es影響較小。