節(jié)點本振誤差對分布式發(fā)射波束形成性能的影響

袁 丁， 孫慧賢， 閆云斌， 全厚德

（陸軍工程大學a.電子與光學工程系；b.無人機工程系，石家莊050003）

分布式發(fā)射波束形成（DTBF）利用多個分布式單天線節(jié)點，形成“虛擬天線陣”.各節(jié)點以不同的權值發(fā)射同一信息，形成定向波束指向接收端，所獲得的定向功率增益可增強系統通信效能，包括擴展通信范圍、提高通信速率、提升系統抗干擾能力等[1－2].DTBF在移動通信、無線傳感器網絡、電臺應急通信等領域都有研究與應用.

DTBF要求各分布式節(jié)點精確同步載波信號[3].不同于集中式波束形成節(jié)點共用一個本振，每個DTBF發(fā)射節(jié)點配置有獨立的本地振蕩器產生載波信號.即使節(jié)點配置相同類型的本振，但由于制造工藝和外界環(huán)境溫度等因素影響，節(jié)點本振輸出會存在誤差，進而影響DTBF合成性能.從本振輸出的準確度和穩(wěn)定度來看，本振誤差包括載波初始相位偏移（IPO）、載波頻率偏移（CFO）、相位噪聲（PN）等3個偏差項.三者相互獨立，且具有不同特性.因此，有必要分析不同本振誤差偏差項對DTBF性能的影響.

已有研究多數采用接收端指標分析某一本振偏差項的影響.文獻[4]分析了IPO對接收端誤碼率（BER）的影響，文獻[5]選用接收信號強度（RSS）作為指標分析CFO影響，文獻[6]則分析了PN對接收天線誤差向量幅度（EVM）的影響.由于這些接收端性能指標存在陣列形式、信道條件、調制方式等適用場景限制，而且無法反映DTBF整體波束特征，文獻[7]推導給出了任意陣平均波束圖等指標，對DTBF性能進行了統計分析.而后，文獻[8]基于平均波束圖，分析了IPO對DTBF性能的影響.

目前，還少有文獻分析同時存在以上3個本振偏差項時的DTBF性能.因此，本文建立了包含這3個偏差項的節(jié)點本振輸出相位差模型，推導了存在本振誤差時的任意陣平均波束圖和互補累積分布函數的表達式，選用波束圖參數指標，用以分析IPO、CFO、PN對DTBF性能的影響.

1 系統模型

1.1 DTBF系統

分布式發(fā)射波束形成系統如圖1所示，N個發(fā)射節(jié)點任意分布在平面O－xy半徑為R的區(qū)域，將發(fā)射節(jié)點i位置標記為（xi，yi），對應的極坐標為＝arctan（yi／xi）），i＝1，2，…，N.接收節(jié)點位于遠場區(qū)，其位置坐標為（A，φ0，θ0），且有A?ri.

為便于分析，進行系統假設[2]如下：

（1）假設節(jié)點位置固定，配置有單個全向天線，發(fā)射節(jié)點間隔足夠遠，可忽略節(jié)點天線耦合影響；

圖1 DTBF系統示意圖Fig.1 Diagram of DTBF system

（2）收發(fā)節(jié)點、發(fā)射節(jié)點間均為理想信道條件，不考慮信道存在散射、多徑等情形；

（3）收發(fā)節(jié)點位置信息已知，已實現時鐘同步和發(fā)射節(jié)點間發(fā)射信息共享.

為使DTBF合成波束指向目標方位（A，φ0，θ0），需合理設置各節(jié)點發(fā)射信號權重，調整節(jié)點發(fā)射功率和發(fā)射信號相位.為便于分析，設置發(fā)射節(jié)點輻射單位功率，且節(jié)點i發(fā)射信號相位為

1.2 節(jié)點本振誤差模型

從本振輸出的準確度和穩(wěn)定度來看，本振誤差包含載波初始相位偏移、頻率偏移和相位噪聲等3個偏差項.在影響分析時，考慮3個偏差項引起的本振輸出相位差，建立如圖2所示的節(jié)點本振輸出相位差模型.

圖2 節(jié)點本振輸出相位差示意圖Fig.2 Diagram of node oscillator output phase error

假設各節(jié)點配置同類型獨立本振，且節(jié)點本振誤差服從獨立同分布（i.i.d），在圖2模型及下述表述中，省略下標i.記Ts為符號時隙長度，在第m個時隙時刻mTs，節(jié)點本振輸出相位差可表示為

式中：Δφp表示本振在初始時刻的隨機相位差，IPO在初始時刻產生，且不隨時間變化；Δφc（m）為CFO在mTs時間內累積的相位差，CFO反映本振輸出的頻率準確度，定義為本振實際輸出載波頻率fc與本振標稱頻率f0之間的差值Δf，其導致的相位差隨時間呈線性增加，即 Δφc（m）＝2πΔfmTs；ΔφPN（m）為PN在mTs時間內累積的相位差.相位噪聲表征本振輸出的穩(wěn)定度，假設PN在一個符號時隙內保持不變，在符號時隙與符號時隙之間發(fā)生變化，ΔφPN（m）為m個時隙累積PN之和，即ΔφPN（m）＝.第n個時隙（1≤n≤m）的PN為

式中：φ0（n）為白噪聲過程，為第n個時隙的白噪聲累積量；φ2（n）和φ3（n）分別表示功率譜密度為1／f2和1／f3的色噪聲過程[9]；φ2（1）和φ3（1）為對應的色噪聲在第1個時隙的累積量，且有φ2（1）～N（0，.第u個 時 隙 （2 ≤u≤n）的對應色噪聲累積量ζ2（u）?ζ2（uTs，Ts）和ζ3（u）?ζ3（uTs，Ts），且有

式中：ζ2（uTs，Ts）和ζ3（uTs，Ts）為零均值廣義平穩(wěn)（WSS）高斯過程.

PN多采用頻域的功率譜密度來表征，對于白噪聲和色噪聲過程，其對應的功率譜密度（PSD）為

式中：K0，K2和K3為對應的相位噪聲系數；γ為截止頻率.

進一步地，可根據給定的噪聲PSD，計算式（3）中φPN（n）的均值μφPN（n）和方差（n）為

且有

式中：Λ?Γ－3／2；Γ≈0.577 2，為Euler－Mascheroni常量[10].

1.3 存在本振誤差時的遠場波束圖

當存在本振誤差時，節(jié)點i對應的發(fā)射載波信號相位變?yōu)榇藭r，對應的“虛擬天線陣”的陣因子為

為描述“虛擬天線陣”在φ∈[－π，π）上的合成增益，定義遠場波束圖如下

2 本振誤差影響理論分析

本節(jié)基于式（14）和（15），推導對應的平均波束圖、互補累積分布函數（CCDF）表達式，對本振誤差影響進行統計分析.

2.1 基于平均波束圖的本振誤差影響分析

式（15）包含變量zi和Δφi，考慮對遠場波束性能進行統計分析.此時的平均波束圖為

為求解上式，需要位置變量zi和本振誤差變量Δφi的概率密度函數（PDF）.根據系統假設，節(jié)點服從任意分布，且節(jié)點本振誤差隨時間變化，無法事先假定其分布，此時的PDF求解問題轉變?yōu)榉菂倒烙媶栴}.借鑒文獻[7]和[11]，采用核密度估計（KDE）方法求解，可得在zi和Δφi處的核密度估計為

式中：在進行KDE時，采用了高斯核函數；h和s為核密度估計窗寬；M和K為核密度估計集的樣本數；表示M個采樣點的均值；表示K個采樣點的均值.文獻[11]討論了KDE方法的適用范圍和使用條件，證明了該方法適用于任意節(jié)點分布形式和任意節(jié)點數情形，且在足夠的樣本數下即可使核密度估計結果收斂于任意概率分布函數.核密度估計樣本集可通過實際測量或經驗模型獲得.

將式（17）和（18）代入式（16）得

對式（19）進行化簡得

對于式（20）等號右側第二項，由核函數性質可知恒等于1，故上式可化為

同理，可化簡式（19）等號右側剩余項，則可得

式中：等號右側第一項表征平均旁瓣水平，第二項表征平均主瓣水平.存在本振誤差時，主瓣表達式中增加了，平均主瓣水平發(fā)生變化.定義為衰減因子，且有即在沒有本振誤差時，誤差越大則對應的衰減因子越小.對于AΔφ，當K足夠大滿足大數定理時，有AΔφ→由此可衡量本振誤差對主瓣性能影響，當本振誤差Δφ累積到40°時，DTBF主瓣性能會衰減到無本振誤差情形的60%.由此，得到本振誤差存在時的平均波束圖的統一表達式.由于在推導過程中采用了核密度估計方法，所得表達式適用于任意節(jié)點分布和任意本振誤差分布情形.

2.2 基于CCDF的本振誤差影響分析

平均波束圖Pav（φ）反映了遠場波束圖的統計平均特性，但某一任意陣形成的合成波束存在隨機性，尤其是旁瓣水平會出現波動.定義CCDF來表征在任一角度φ的平均波束能量超過閾值P0的概率[11]，利用CCDF來分析本振誤差對旁瓣的影響.將式（14）可變換為

式中：

進而，存在本振誤差時的CCDF可表示為

式中：

此時，求解CCDF問題轉化為求解本振誤差存在時X和Y的均值和方差.以X為例，其均值μx和方差σ2x可記為

為求解式（29）和（30），需要獲得聯合概率密度fi（zi，Δφi）.由于節(jié)點位置向量和本振誤差向量相互獨立，其聯合概率密度分布函數可由KDE方法求解為

將式（31）代入式（29）和（30），可得

同理，可求得Y的均值和方差分別為

由此，即可求解某一角度φ處的CCDF，可見本振誤差的存在改變了CCDF值，即改變了合成波束圖出現閾值P0以上旁瓣的概率.

3 數值模擬

考慮發(fā)射端配置有單天線節(jié)點數N＝16，工作頻率f0＝60MHz，對應波長λ＝c／f0＝5m.符號速率設置為4.8kbit／s，Ts＝1／4 800s.

設置節(jié)點分布在半徑為R的區(qū)域，且服從Differential分布，該區(qū)域被等分為5個圓環(huán)區(qū)域，由內至外，每個圓環(huán)的節(jié)點數為總節(jié)點數N的29.55%，27.18%，22.41%，15.23%和5.63%，節(jié)點均勻分布在對應的圓環(huán)區(qū)域[7].模擬時，考察節(jié)點分布半徑R＝15和75m這2種節(jié)點分布情形.

節(jié)點本振誤差滿足i.i.d分布，3個偏差項設置如下.

（2）頻率偏移 Δf服從零均值高斯分布[12]，其標準差為σΔf＝f0×10－6，由其導致的相位偏差可根據式（2）計算得到.

（3）相位噪聲.根據文獻[13]，設置相位噪聲PSD參數為：K0＝10－10，K2＝1.6和K3＝100，截止頻率γ＝1Hz.

由于頻率偏移引入的相位偏差和相位噪聲隨時間變化，所以考察初始（記為0）、Ts、5Ts、10Ts、15Ts等時刻的DTBF性能.模擬實驗運行50次.

3.1 不同時刻平均波束圖比較

圖3給出了2種節(jié)點分布下的平均波束圖，比較后可以發(fā)現：對于2種節(jié)點分布，節(jié)點分布半徑越大，所得遠場波束圖的主瓣更窄.存在本振誤差時，遠場波束圖的平均主瓣水平出現衰減，且本振誤差越大，對應的平均主瓣水平衰減越大，波束形成的性能越差.

為進一步比較不同本振偏差項影響，分別定義衰減因子：本振誤差衰減因子載波頻率偏移衰減因子相位噪聲衰減因子結果如表1所示.比較分析2種節(jié)點分布式情形結果，結論如下.

（2）對后續(xù)時刻，本振誤差包含3個偏差項.頻率偏移和相位噪聲的加入，引起DTBF性能更大的衰減，對應，且隨著時間增長，衰減因子逐漸減小.

圖3 不同節(jié)點分布的平均波束圖Fig.3 Average beampattern under different node distributions

表1 衰減因子比較Tab.1 Degradation factor comparison

3.2 波束圖參數比較

在平均波束圖基礎上，進一步選取3個波束圖參數以考察波束性能，其定義如下[13].

（1）3dB主瓣φ3dB，定義為φ3dB處波束增益比目標方向φ0衰減了3dB.波束合成設計時期望獲得窄的主瓣，即φ3dB越趨向等于φ0，反映DTBF性能越優(yōu).

（2）3dB旁瓣區(qū)域S3dB，定 義 為S3dB?且φsidelobe處波束增益比平均旁瓣水平高出3dB.平均波束圖上會存在多個位置滿足3dB增益要求，選取最小的角度值作為φsidelobe.波束合成設計時，希望減小旁瓣區(qū)域以使更多的能量集中在主瓣方向，即φsidelobe越大，反映DTBF性能越優(yōu).

（3）平均指向性因數，定義為聚集在目標方位能量與全域φ∈[－π，π）內總能量的比值，即有

3個參數的模擬結果如表2所示.從表2可以看出，節(jié)點本振誤差也改變了波束圖特性.隨著時間的增長，本振誤差逐漸累積，對應的波束圖主瓣變寬，旁瓣區(qū)域擴展，平均指向性系數減小，波束圖參數變化反映出DTBF性能的下降.尤其在15Ts時刻，出現φsidelobe＞φ3dB，即旁瓣區(qū)域覆蓋主瓣，同時?Dav＜0.2說明此時波束合成增益很小.

表2 波束圖參數比較Tab.2 Beampattern characteristic parameters comparison

3.3 CCDF比較

CCDF反映本振誤差對旁瓣區(qū)域的影響，由上文仿真結果可知，對任意節(jié)點分布，φ＝π／8始終位于旁瓣區(qū)域，故考察φ＝π／8，N＝16時，節(jié)點服從Differential分布，且半徑分別為R＝15和75m時的CCDF，其仿真結果如圖4所示.

圖4 不同節(jié)點分布的CCDFFig.4 CCDF under different node distributions

根據CCDF考察本振誤差對旁瓣區(qū)域的改變，在進行DTBF設計時，期望獲得低旁瓣.對于N＝16的DTBF系統，由式（23）可知，其統計平均旁瓣水平均為10lg（1／N）＝－12dB.對于2種節(jié)點分布情形，由圖4結果可知，對于P0＞－12dB，所有情形對應的CCDF均小于0.2，說明系統出現對應功率值的旁瓣概率較小.但對于P0＜－12dB，存在本振誤差時的CCDF小于無本振誤差情形，說明存在本振誤差時，系統出現對應功率值的低旁瓣的概率降低，旁瓣區(qū)域分布能量增多，也就意味著系統整體合成性能下降.

4 結語

本文分析了存在IPO、CFO、PN等3個本振誤差項時的分布式發(fā)射波束形成性能，采用核密度估計方法，得到了對應的性能表達式.選用平均波束圖、衰減因子、波束圖特征參數、CCDF為指標，分析節(jié)點本振誤差對DTBF性能的影響，并進行相關模擬分析，得到如下結論：

（1）本振誤差會影響DTBF性能，其影響表現在兩方面：① 影響遠場波束圖主瓣性能，導致平均主瓣水平下降，主瓣變寬；② 影響波束圖旁瓣特性，本振誤差會擴展旁瓣區(qū)域，并導致合成波束圖出現高旁瓣.本振誤差導致的主瓣和旁瓣特性的改變，使得聚集到目標方位的能量減少，且誤差值越大，DTBF合成性能越差.

（2）這3個本振偏差項表現出不同的時間特性，其對分布式發(fā)射波束形成性能影響也是不同的.IPO初始時刻存在且不隨時間變化，故在初始時刻DTBF性能的衰減是由IPO引起.CFO導致的本振輸出相位差隨時間呈線性增長，PN其所致相位差隨時間累積，故CFO引起的性能衰減速度大于PN.時間越長，PN所致DTBF性能衰減越明顯.