初中數(shù)學(xué)分類討論思想在解題中的應(yīng)用

江蘇省徐州沛縣楊屯中學(xué) 張洪雷

分類討論思想是對研究對象的數(shù)學(xué)本質(zhì)進行分析和討論，根據(jù)特征將其歸類的一種重要的數(shù)學(xué)思想，在一些題目中合理地運用數(shù)學(xué)分類討論思想可以把復(fù)雜的問題簡單化，使學(xué)生開始接觸并思考數(shù)學(xué)的內(nèi)在規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生做題的條理性和周密性，有利于培養(yǎng)學(xué)生探索規(guī)律的能力，提高學(xué)生的做題正確率，這樣不僅可以在考試中拿到更多的分?jǐn)?shù)，還可以對學(xué)生的思維進行一定的訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，培養(yǎng)學(xué)生的分類討論思想在初中教學(xué)中是十分必要的。

一、學(xué)習(xí)分類討論思想的原因

在初中學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會遇到許多需要運用分類討論思想才能方便解答的問題，所以學(xué)習(xí)在不同的情況下都可以正確運用分類討論思想是必要的。

1.蘊含分類討論思想的數(shù)學(xué)定義或定理

當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)、實數(shù)、三角形邊長問題、不等式的概念時，教師在課堂上常常采用帶領(lǐng)學(xué)生對相關(guān)概念進行分類討論的方式進行教學(xué)，因為這些概念常常受到范圍或條件的制約，不同的制約條件得出的答案也不同，因此在解題的時候就會運用分類討論思想。

2.蘊含分類討論思想的運算

在對除法、含絕對值的運算、開偶次方等問題進行解答時，應(yīng)考慮到在滿足條件的情況下題目會有不同的解，這個時候就要運用分類討論思想對題目進行正確解答。

3.蘊含分類討論思想的具體問題

初中教材里，圓、三角形、不等式和函數(shù)所占比例較大，學(xué)生若想取得高分，那么一定要掌握這幾個重要板塊，在不同的情況下對不同的研究對象進行討論，就非?？简瀸W(xué)生的綜合素養(yǎng)。

二、分類討論思想在解決不同問題時的應(yīng)用

1.在解有關(guān)圓的問題中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系”時，直線與圓的位置關(guān)系可以根據(jù)圓的半徑大小與圓心到直線的距離來判斷：若圓心到直線的距離等于圓的半徑，則直線與圓相切；若圓心到直線的距離大于圓的半徑，則直線與圓相離；反之則相交。在以此概念為背景的相關(guān)習(xí)題中，分類討論的思想會常常被應(yīng)用。

例1：在同一平面內(nèi),半徑分別為10 和6 的兩圓相切，求圓心距。

對此題,解題者便可采用分類討論思想,考慮到兩圓相切分為外切與內(nèi)切兩種情況,若兩圓為外切,則兩圓的圓心距為10;若兩圓為內(nèi)切,則圓心距為2。這樣便能夠避免解題時由于思路單一而解答出錯。

解題思路：已知兩圓相切，求其圓心距，首先要在腦海中設(shè)想兩圓的位置，不能先入為主地認(rèn)為兩圓只有外切，要在平時做題中積累經(jīng)驗，看到題目就要知道題目中的圓有外切和內(nèi)切兩種情況。若兩圓是外切，則圓心距為16；若兩圓是內(nèi)切，則圓心距為4。

解題過程：

①當(dāng)兩圓外切時，6+10=16，圓心距為16。

②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，10-6=4，圓心距為4。

2.在解有關(guān)三角形的問題中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)與三角形有關(guān)的知識時，常常會遇到已知兩邊長求第三邊，或是已知研究對象是直角等腰三角形與三角形其中一邊長時，求三角形面積。此類問題主要是考查學(xué)生對三角形相關(guān)知識的掌握程度和理解程度，在題設(shè)條件沒有明確指出所給邊長是底還是腰時，學(xué)生就要采用分類討論思想來討論問題。

例2：在平面內(nèi)有一等腰直角三角形，已知一邊長為10，求此三角形面積。

解題思路：題設(shè)條件未說明所給邊長是底邊長還是腰長，所以就應(yīng)分兩種情況對題目求解，一是三角形腰長為10；二是三角形底邊長為10。

解題過程：

②當(dāng)三角形底邊長為10 時，

3.在解有關(guān)不等式的問題中的應(yīng)用

在解不等式問題時，為了確保研究對象不遺漏、不重復(fù)，在解題過程中保持清醒的頭腦，有序地進行，因此常常使用分類討論的方法對題目進行詳細討論。

例3：解關(guān)于x 的不等式ax2-2 ≥2x-ax（a ∈R）。

解題思路：看到平方應(yīng)注意，此題應(yīng)詳細地對a 分類：a=0，a＞0，-2 ＜a ＜0，a=-2，a ＜-2。分別解不等式，求解集再取交集即可。

解題過程：

原不等式變形為ax2+（a-2）x-2 ≥0。

①a=0 時，x ≤-1。

②a ≠0 時，不等式即為（ax-2）（x+1）≥0，

當(dāng)a=-2 時，x=-1；

綜上，當(dāng)a=0 時，x ≤-1；

當(dāng)a=-2 時，x=-1；

4.在解有關(guān)函數(shù)問題中的應(yīng)用

解方程是初中學(xué)生的必備技能之一，并且在以后的學(xué)習(xí)中，解方程發(fā)揮著巨大的作用。當(dāng)所給函數(shù)有絕對值時，就應(yīng)該對題目進行分類討論。

例4：求方程|5-x|+|x+4|=7 中x 的取值范圍。

解題思路：在解此類題過程中，應(yīng)該把絕對值中的研究對象進行討論，將其劃分為大于零、小于零和等于零的情況。將其分類為x＜-4，-4 ≤x ≤5，x ＞5，再解不等式。

解題過程：

①當(dāng)x ＜-4 時，方程為：5-x-（x+4）=9，得x=-4，與x ＜-4矛盾；

②當(dāng)-4 ≤x ≤5 時，方程為：5-x+x+4=9，成立。

③當(dāng)x ＞5 時，方程為：-（5-x）+x+4=9，得x=5，與x ＞5 矛盾。

故x 的取值范圍為-4 ≤x ≤5。

綜上所述，在新課改和義務(wù)教育的背景下，教師應(yīng)越來越注重培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)與數(shù)學(xué)思維，因此不能單純地讓學(xué)生刷題，應(yīng)授人以漁，把正確的解題思想交給學(xué)生。分類討論思想作為一個基礎(chǔ)卻重要的數(shù)學(xué)思想，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)里起著重要的作用，學(xué)生對數(shù)學(xué)的全新認(rèn)識可以由學(xué)習(xí)分類討論思想開始，有利于學(xué)生提升自身的思維能力，為以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。