中英兩國高中數(shù)學課程標準中空間向量與代數(shù)內(nèi)容的比較研究

(蘇州大學 數(shù)學科學學院，江蘇 蘇州 215000)

一、問題的提出

高中空間向量和代數(shù)課程的開放和定位一直是國內(nèi)外教育研究的重點。各國高中空間矢量與代數(shù)內(nèi)容差異很大：有些只涉及空間矢量代數(shù)和矢量群的線性運算；有些擴展到等距轉(zhuǎn)換；有些還包括轉(zhuǎn)換矩陣和轉(zhuǎn)換組。同時，理論深度也存在很大差異：有些純粹是工具性的，學生只要用公式來解決問題；有的則利用描述和幾何可視化的結(jié)合來解釋空間向量和代數(shù)的基本原理，使學生能夠理解空間向量和代數(shù)的基本思想和方法；有些人采用理論上強有力的定量分析開展教學。自2003年以來，中國的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》以逾越線性空間和線性變換的形式來進行空間向量與代數(shù)教學，引入了空間向量和代數(shù)內(nèi)容(選修)。然而，中國高中的空間向量和代數(shù)教學仍然面臨著許多問題。

2014年9月，英國教育部發(fā)布了英國國家課程NCE2014，旨在制定三個核心科目：英語、數(shù)學和科學。每年，Cambridge International Examinations(簡稱CIE)都會公布當年AS and A Level數(shù)學課程標準。空間向量與代數(shù)新課程標準內(nèi)容翔實、全面，評價方法多樣。而我國于2016年8月頒布了《普通高中數(shù)學課程標準(修訂)》(以下簡稱中國標準)進一步豐富和深化了空間向量和代數(shù)的內(nèi)容[1]。課程標準在指導課程設計、教材編寫和教學實施等方面發(fā)揮著重要作用。基于以上情況，本文選擇了中英兩國的高中數(shù)學課程標準作為基礎材料，對空間向量和代數(shù)的內(nèi)容進行了比較。通過比較，進一步闡明其特點和差異，從而得出結(jié)論，希望對我國高中空間向量與代數(shù)教學有所啟發(fā)。

二、研究設計

(一)研究對象的選取

本文以中英兩國高中數(shù)學課程標準中的空間向量和代數(shù)內(nèi)容為研究對象。

一方面，從區(qū)域背景來看，英國位于歐洲大陸，是世界第六大經(jīng)濟體系，也是世界上最富有、最發(fā)達和生活水平最高的國家之一。中國位于亞洲大陸，是中等收入發(fā)展中國家，亞洲最具影響力的國家和亞洲最大經(jīng)濟體。選擇這兩個國家進行比較，有利于研究結(jié)果在兩大洲的發(fā)展和推廣。

另一方面，在文化教育領域，1982年1月，英國發(fā)布了《科克羅夫特報告》，全面總結(jié)了近20年來中小學數(shù)學教育的經(jīng)驗教訓。1989年頒布了全國第一部統(tǒng)一的數(shù)學課程標準，1991年、1995年、1999年、2014年進行數(shù)次修訂。同時，每年都會重新修改和確定AS and A Level數(shù)學課程標準；中國2003年頒布了《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》，2016年頒布了基于“核心素養(yǎng)”的《普通高中數(shù)學課程標準(修訂)》。這表明兩國都一直在探索和改革高中數(shù)學課程標準。通過比較研究，可以為兩國教材中空間向量和代數(shù)內(nèi)容的表述和教學策略提供一些建議。

其中，兩國的課程標準如下：中國，2016年教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準(修訂)》；英國，2018年CIE制訂的“AS and A Level Mathematics課程標準”。

(二)研究思路與方法

本文以A Level 2018級為依據(jù)，分析了空間向量和代數(shù)的內(nèi)容，并與我國現(xiàn)行課程標準中空間向量和代數(shù)的內(nèi)容進行了比較。本文主要采用了文獻綜述、比較研究等教育研究策略。

三、A Level中空間向量與代數(shù)內(nèi)容介紹

在英國的高中數(shù)學教學中，空間向量和代數(shù)的內(nèi)容主要出現(xiàn)在基礎數(shù)學和進階數(shù)學兩門獨立的課程中[2]。學生可以選擇一門課程學習。在A Level中關于代數(shù)學的內(nèi)容說明如表1所示。

表1 代數(shù)學的內(nèi)容說明

由表1可知，在代數(shù)教學內(nèi)容中，就已開始滲透線性空間思想，這樣有利于高年級的學生從直觀上理解空間概念。基于1982年1月《科克羅夫特報告》的研究建議，NCE2014將評價的任務按照認知水平分成了6類，表2給出了在對學生進行評價時，每種層次的任務水平及其在空間向量與代數(shù)教學中的例子。

表2 評價的認知水平劃分

表3把A Level2018中空間向量與代數(shù)部分內(nèi)容列了出來。其中第一欄是課程說明，包括基本概念、性質(zhì)、定理和教學目標；第二欄是以例子的形式加以注釋或補充說明具體內(nèi)容所處的認知水平，給教師提供教學建議。

表3 A Level中空間向量與代數(shù)內(nèi)容

四、中、英標準中空間向量與代數(shù)內(nèi)容的比較(見表4)

(一)相同點

1.立足于學生

英國標準中提出：學校以一種鼓勵自信的方式發(fā)展學生的數(shù)學知識和技能，并提供滿足和享受。中國標準中明確提出：學生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)。高中數(shù)學課程以學生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng)[3]。

2.有相同的知識點

(1)對向量的嚴格定義：英國標準中定義n個有順序的數(shù)a1,a2，…，an所組成的有序數(shù)組(a1,a2,…,an)稱為一個n維向量，記作a=(a1,a2,…,an)。中國必修4中定義既有大小又有方向的量叫做向量，隨后給出其坐標表示。

表4 中英兩國向量定義的比較

(2)向量的加減法和純量乘法：英國要求執(zhí)行向量的加法和減法以及用標量乘以向量，并用幾何術語解釋這些運算。中國選修2-1要求經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運算及其坐標表示(圖1)。

(3)向量的標量積：英國要求計算向量的大小和兩個向量的標量乘積使用標量積來確定兩個方向之間的角度，并解決有關矢量垂直度的問題。中國必修4要求掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示。

(4)空間向量確定直線與平面的位置關系：英國要求使用直線和平面的方程來解決有關距離、角度和交叉點的問題，特別是給定直線和平面的方程；給定足夠的信息確定線是否位于平面中；是平行于一個平面，或與一個平面相交，并找到一條線與一個平面相交的點；當兩個非平行平面有交線時，從平面內(nèi)一個點到另一個面的垂直距離，從平面內(nèi)一個點到另一個平面內(nèi)直線的垂直距離，以及直線和平面之間的角度等問題。中國標準要求能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量[4]；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關系；能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關直線、平面位置關系的判定定理[5]；能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題。

3.體現(xiàn)了對分層教學的重視

英國的數(shù)學學科直接分為基礎數(shù)學與進階數(shù)學兩門獨立數(shù)學，教學內(nèi)容有所差異，難度不同，滿足不同層次的教學需求。

中國則是采用選修和必修的方式，對于理科學生來說，通過選修課的學習，掌握更深層次的內(nèi)容。

(二)不同點

1.含有一些不同的知識點

中國內(nèi)容比英國要多，主要體現(xiàn)在選修2-1上；中國標準除了掌握向量的定義與基本運算外，還需要掌握常見平面等距變換及其矩陣表示。了解空間變換的含義，理解空間的等距變換，特別是三種常見等距變換：平面反射、平移、旋轉(zhuǎn)。了解空間對稱圖形及變換群。對學生的代數(shù)提出了更高層次的要求。

2.對某些相同知識點的要求程度不同(圖2)

對于向量模的定義與應用，英國要求理解|x|的含義，并在求解方程和不等式的過程中使用諸如|a|=|b|?a2=b2，|x-a|

中國必修4則更注重要求會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數(shù)學和實際問題中的作用，借助向量的運算，探索三角形邊長與角度的關系，掌握余弦定理、正弦定理。

3.結(jié)構(gòu)編排不同

英國是在一開始通過有序數(shù)組定義向量，再通過坐標系上的點引入向量的直觀表示，接著還原數(shù)組本身的性質(zhì)，對向量的夾角、模等概念進行介紹。如此編排有利于學生在以后學習無限維線性空間時，理解向量的含義。

而中國必修4部分則是先通過二維坐標系中點的移動定義向量，再在選修4-1中將向量提升到三維，先產(chǎn)生直觀上的理解，再推廣至n維，更利于學生理解。

4.數(shù)學文化的重視程度

中國必修4要求收集有關空間向量與代數(shù)創(chuàng)立和發(fā)展起重大作用的有關資料，包括一些重要的歷史人物和事件(克拉默、笛卡爾等)，個人撰寫或者小組合作，形成一篇關于空間向量與代數(shù)創(chuàng)立與發(fā)展的研究報告，在班級中進行交流。英國沒有相關內(nèi)容。

5.學科之間的交叉與滲透

中國必修4要求了解向量概念的實際背景，知道向量是對外力的數(shù)學表達，選修2-1要求借助物理背景與幾何背景理解向量的意義，解決關于運動的物理實際問題，并以風力作為詳細案例舉例，體現(xiàn)了和物理學的交叉。英國沒有相關學科之間的交叉與滲透。

五、思考與建議

通過以上比較分析，我們發(fā)現(xiàn)兩國都非常重視高中的空間向量和代數(shù)教育。兩者都有許多共同的基礎知識點，在教學中都非常重視按認知水平分類。在內(nèi)容要求方面，中國引入了變換的矩陣表示與變換群的概念，而英國更多的是對向量的闡述與不等式的運用；在數(shù)學能力培養(yǎng)中，中國更注重從二維空間到三維空間的轉(zhuǎn)換能力，而英國通過n維向量直接定義它們，然后研究它們的一般性質(zhì)；在應用方面，中國明確提出了用向量法求解簡單平面幾何、力學等實際問題，體會向量在求解數(shù)學和實際問題中的作用，而英國則更加注重向量本身的運算。通過比較分析，提出以下兩點建議。

(一)根據(jù)中國標準中空間向量和代數(shù)的內(nèi)容，對大學數(shù)學教學內(nèi)容進行相應調(diào)整

與2003年出版的《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》相比，2016年出版的《普通高中數(shù)學課程標準(修訂)》進一步豐富和深化了空間矢量和代數(shù)內(nèi)容。以等距變換為例：前者強調(diào)對空間轉(zhuǎn)換意義的定性描述，但不要求對其有嚴格的數(shù)學定義和透徹的理解。而后者則明確要求學生掌握常見平面等距變換及其矩陣表示，這為在大學數(shù)學教學中通過運用線性變換對應的基與矩陣的方式，深入討論線性變換的各種性質(zhì)，以及講解合同變換、相似變換、正交變換等概念做好了鋪墊。此外，中國標準還增加了要求學生了解空間對稱圖形及變換群，這可以將變換提升到現(xiàn)代代數(shù)的高度。通過引入群，學生可以學習和發(fā)展代數(shù)語言和代數(shù)觀點。因此，考慮到新老課程標準在空間向量和代數(shù)內(nèi)容上發(fā)生的變化，為避免大學數(shù)學教學內(nèi)容與現(xiàn)行課程標準、中學數(shù)學教科書存在重疊或脫節(jié)現(xiàn)象，必須緊密結(jié)合中國標準，加強高校數(shù)學教材建設，優(yōu)化教材內(nèi)容、知識體系、教學形式分析和教學策略。

(二)在空間向量和代數(shù)的教學中，加強操作學習的使用

根據(jù)學習活動對象的不同形式，可以區(qū)分以下基本的學習類型或模式：符號學習、操作學習、交際學習、反思學習和觀察學習，這些類型的學習在中國標準中有詳細而具體的要求，在教學實踐中得到了很好的落實。然而，操作學習在具體教學中的應用和研究相對較少。操作學習是指學習者學習實際事物的操作或身體器官的動作。在數(shù)學課堂教學中，其主要表現(xiàn)形式是運用現(xiàn)代信息技術，在教師的指導下，通過自身的操作、觀察、思考、比較和分析，探索數(shù)學知識的變化規(guī)律，研究它的性質(zhì)。要特別重視信息技術與教學內(nèi)容的有效整合，依靠信息技術的優(yōu)勢處理傳統(tǒng)教學中難以傳授的內(nèi)容，鼓勵學生使用計算機、計算器等進行自主探索和發(fā)現(xiàn)。實施操作學習對教師、學生和教育技術平臺三者都有更高的要求。在空間向量和代數(shù)教學中，《普通高中數(shù)學課程標準(實驗)》沒有給出具體的知識點、方法和要求。因此，近十年來，在空間向量與代數(shù)教學中，關于操作學習的示范案例和教學研究很少。操作學習對學生數(shù)學思維的培養(yǎng)有諸多益處，以中國標準中向量空間和子空間的教學為例，當教師引導學生用“向量加法與純量乘法封閉”來定義子空間時，操作性學習有助于學生理解“向量加和純乘都在空間中”的過程。由于現(xiàn)行課程標準增加了大量的空間向量和代數(shù)內(nèi)容，許多老知識點在難度上也加深了。因此，加強操作學習在空間向量和代數(shù)教學中的應用，有助于減少學生的學習困難，提高學生學習的積極性。