高考中數學的內綜與外聯

蔣紅瑛

（四川職業技術學院 應用數學與經濟系，四川 遂寧 629000）

基礎教育課程改革近十年，在數學教學中，要求教師以課標為綱，創造性地使用教材，即用教材教而不是教教材.而新教材更注重數學知識的綜合性和適用性的學習，這就要求第一，數學教育者認真研究數學各分支之間的相互作用，優化數學問題的求解；第二，認真研究數學與自然科學和社會科學，如物理、地理、化學、生物等學科的相互聯系和作用；第三，認真研究生產、生活實際中出現的問題，將它們用數學建模的方式轉化為數學問題，再用數學的方法使其得以解決.

那么，數學教師在教學過程中就應將這三個方面的知識方法充分展示給學生，讓他們養成自覺聯系的習慣.有了教師的用心引導，在師生合作、共建下，學生在學習過程中必然會主動建構知識，從而達到培養學生的創新精神，提高學生的創新能力的教育目的.

1 加強數學各分支之間的綜合運用，優化數學問題的求解

盡管新教材將傳統的數學學習內容進行了充實、調整、更新和重組，注重了基礎性、層次性和發展性，但課后的習題基本上是用剛學的知識和分支內的知識來解決，很少用其它分支的知識來解決數學問題.數學報刊雜志和課外參考資料在綜合運用各分支的知識來解決數學問題時，研究的方法很多很多，可學生沒機會，也沒太多的時間去看這些資料，這就需要我們教師多學習、多研究、多總結，在教學中多滲透應用，充分展示數學各分支的相容性、互補性、和諧性，培養學生靈活運用各分支的知識來解決數學問題的習慣，擴展學生的思維，增強解題的敏捷性和準確性，讓數學在學生心目中生動、形象而高大起來.用以下兩道今年的高考題來說明這個問題.

例1（19福建理第16題）己知等比數列{an}的公比q=3，前三項和S3=，

（1）求數列{}an的通項公式；

（2）若函數f(x)=Asin(2x+φ)(A＞0,0＜φ＜π)在x=處取得最大值為a3，求函數f(x)的解析式.

解析：該題屬于數列問題，但它綜合考查等比數列、三角函數、方程思想，因此，我們必須熟練掌握這幾方面知識之間的相互關系，靈活求解答案.

解：（1）由q=3,S3=得=,解得a1=，所以an=3n-2.

（2）由（1）知a3=3，因為函數最大值為3，所以A=3，

又因當x=時f(x)取得最大值，所以

又 0＜φ＜π,故φ=，所以

例2（19年全國卷Ⅰ理第19題）已知拋物線C：y2=3x的焦點為F，斜率的直線l與C的交點為A，B，與x軸的交點為P.

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若,求||AB

解析：本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線的綜合應用問題，但還必須熟習平面向量、弦長公式的知識，綜合應用其相關知識，才能完成此題.

解：（1）設直線l方程：y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2).

由拋物線焦半徑公式可知|AF|+|BF|=x1+x2+=4,∴x1+x2=，

∴x1+x2==，解得：m=-

∴直線l的方程為：12x-8y-7=0.

（2）設P( )

t,0,則可設直線l的方程為

∴y1+y2=2,y1y2=-3t.

2 深化數學在生產、生活中的綜合運用，培養學生的創新精神和實踐能力[1]

數學中有很多知識與生產、生活實際相聯系，并需用數學知識來解決的現實問題，這就充分體現了數學的工具性、通用性的作用.近幾年高考在銀行利息、個人所得稅、商品優惠、最優化問題、彈道曲線、天體運行軌道等方面作了很好的導向，加大了數學在生產、生活中的運用的考查力度.因此，我們必須在課堂教學中加強數學知識與生活實際的緊密聯系，把枯燥無味的數學問題附以生活背景，使其具有生命力，讓學生在實踐中自主、自悟、自得，對生活中的實際應用問題能用數學化的思想去思考分析信息、處理信息，最后解決問題.從而讓學生深深感知；“數學來源于生活，數學也服務于生活”.這樣，學生在平時的學習中就會在思想上自覺注重知識積累，掌握常見數學模型的構建，抓住函數、不等式、數列等重點內容，重點突破.打破高考題高不可攀的心理障礙，相信自己的實力，能冷靜分析所給問題的條件和所求，聯系相關學科的概念和原理，抓住題干中的數與量的關系，將實際生活問題轉化為熟悉的數學問題，應用所學的數學知識和方法解決這些現實問題.

有關這方面的例子很多，如四川高考題中16年的居民用水問題、17年的超市銷售問題、18年的工廠生產效率問題、19年的藥品治療問題等等，這些都是很好的范例，下面舉17年的超市銷售一例說明這個問題.

例3（2017年全國高考文卷III第18題）某萬達超市計劃按月訂購一種可樂，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的可樂降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據歷年年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：℃）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定七月份的訂購計劃，統計了前三年七月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：

?

以最高氣溫位于各區間的頻率代替最高氣溫位于該區間的概率.

（1）七月份這種可樂一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）七份一天銷售這種可樂的利潤為Y（單位：元），當七月份這種可樂一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數學期望達到最大值？[2]

解析：此題考查離散型隨機變量的分布列及其數學期望.通過認真閱讀題意，明確題中的生活情境，確定與相應數學知識相銜接而建立數學模型，讓學生深刻體會到：“數學來源于生活，數學也服務于生活”，從而培養學生的實踐能力和創新能力.

解：（1）根據題意，七月份這種可樂一天的需求量X的可能值為200、300、500，

所以X的分布列為：

500 0.4 X P 200 0.2 300 0.4

（2）①當n≤200時，Y=n(6 -4)=2n，所以E(Y)=Y×1=2n≤400.

②當200＜n≤300時，若X=200，

則Y=200×(6 -4)+(n-200)(2 -4)=800-2n.

若X≥300，則Y=n(6 -4)=2n.

所以E(Y)=P(X=200)×(8 00-2n)+P(X≥300)×2n=160+1.2n.

因為200＜n≤300，所以此時E(Y)∈(4 00,520].

當300＜n≤500時與n＞500時的解答過程與②類同，此處略去.

綜上可得當時n=300，即七月份這種可樂一天的進貨量為300瓶時，Y的數學期望最大，最大值為520元.

3 強化數學與相關學科的聯系，突出數學在其它學科中的核心作用

眾所周知，數學在學校教學中是一門基礎學科，也是一門工具學科，它貫穿了所有的自然學科，任何一門自然學科的研究都不能脫離數學而自由存在.數學作為一種思維和方法的工具，它在科學研究的領域中也具有非常重要的地位.在新課標教材和近幾年的高考中，都出了數學與其它學科相關聯的題例.作為數學教師，為了進一步完善數學的教學，必須自覺學習和理解其它學科的概念和規律，必須在教學過程中靈活運用其它學科的知識來分析和解決相關的問題，這樣才能使數學的學習達到更新的境界，才能使學生適應當前的高考需要，才能更全面地提高學生的素質，達到以培養創新精神和提高實踐能力的目的，以下舉幾例加以說明這個問題.

例4（19年全國高考理卷II第4題）2019年1月3日，著名的“嫦娥四號”探測器成功實現人類歷史上首次月球背面軟著陸，從而使我國航天事業取得了又一重大成就.實現月球背面軟著路需要解決的一個關鍵而重要的技術問題就是地面與探測器的通訊聯系.我們國家為解決這個問題，發射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地球月拉格朗日L2點的軌道運行，L2點是平衡點，位于地月連線的延長線上.設地球的質量為M1，月球質量為M2，地月距離為R，L2點到月球的距離為r，根據牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程設α=，由于α的值很小，所以在近似計算中則r的近似值為（ ）

解析：此題表面上看它是一個物理問題，涉及物理上的術語，通過分析，抓住α=

這個條件，轉化為函數模型，利用函數相關知識即可求解.

解：由α=可知r=Rα，代入，即可得那么，得：故正確答案為D.

例5（19年全國卷I理4題）古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚

著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的

若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子

下端的長度為26cm，則其身高可能是[ ]

A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm

解析：這道“斷臂維納斯”考題以美學為背景設計，情境貼近實際，考查的是黃金分割的計算.題目新穎，之前沒有出過此類題目，導致考生在考試的時候一臉懵，下考場后，甚至有學生覺得“簡直噩夢”.實際上這類題目都是紙老虎，只是要學會轉化，化未知為已知，化陌生為熟悉，要知道高考試卷除了考查考生知識的掌握度，還有就是考生是否能夠將學到的知識舉一反三，和隨機應變.

將頭頂到咽喉的長度表示為a，咽喉到肚臍的長度表示為b，肚臍到足底的長度表示為c，頭頂到肚臍的長度表示為d.

大家又認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是

又d=a+b＜26+42=68，而c=

而己知c＞105，又d=c×0.618＞65，

105+65＜c+d＜110+68，即170＜c+d＜178.

故正確答案是B.

例6（18年北京高考理第4題）“十二平均律”是以前通用的音律體系，明代朱載堉是第一個用數學方法計算出半音比例，他為這個理論的發展做出了突出的貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為

解析：此題以“東方文藝復興式的圣人”朱載堉的科學藝術“十二平均律”為背景，體現了出題者向考生傳達我國古代科技成就，引導學生體會中國古代先賢在人類文明中的貢獻，有利于增強文化自信與民族自豪感.這是一道音樂、數學和物理學相結合的考題，滲透了數學史和數學文化，把數學應用于音樂藝術上，讓學生感悟數學的美感.

由等比數列的定義，不難知道每一個單音的頻率是成等比數列，因此，根據等比數列的相關性質容易得解.

由題意可知，單音的頻率構成以a1=f為首項，q=為公比的等比數列，則a8=a1q7=()7f=f，故選擇答案D.

總而言之，通過這三方面的論述，我們可以看到數學知識和方法在其他相關學科及其現實生活中的重要地位，真實反映了數學應用的廣泛領域，更充分體現了數學的應用價值.作為數學教師就必須研究數學各分支間的內存聯系和相互作用；必須關注科技和生活中的實際問題，用數學的眼光去提煉、去抽象、去探尋其內在變化關系，進而解決實際問題；必須去學習其它自然學科的知識，運用數學的觀點和方法，采用綜合的手段解決各種各樣的數學型問題；還必須將上述觀點運用到教學過程中，去激發學生學習數學的熱情，增強學生對數學價值的認識，逐步提升學生的數學素養，從而達到培養學生的創新精神和實踐能力的目的，使數學這門學科不管是在學生自身綜合發展中，還是在“3+綜合”、將來的“3+3”或“3+1+2”高考中，展現出它璀璨耀眼的一面.