語言比例二元組Bonferroni平均算子的群決策方法

趙惠妍，李伯權，張 慧，李永義

1.安徽師范大學 數學與統計學院，安徽 蕪湖241003

2.南京工業大學 交通學院，南京210009

1 引言

決策信息以語言變量形式給出的決策問題廣泛應用于現實生活之中，如人事考核[1]、信息檢索[2-3]、醫療診斷[4-5]等。在決策過程中，由于人類思維的模糊性、不確定性以及決策問題本身的復雜性，往往會直接給出定性的評估信息，因此，對該類問題的研究引起了學者的高度關注，目前，許多學者提出了不同的語言信息的集成方式，如基于擴展原理的近似計算模型[6-7]：該模型首先將語言信息轉化為模糊數，再利用模糊數運算法則進行近似計算、基于符號的語言集成算子[8]、二元組語言模型[9-11]等等。其中，擴展原理和符號的兩類語言信息集成會不同程度地造成決策信息的丟失，而二元組語言模型不易丟失決策信息，但計算頗為繁瑣。如何使決策結果既精確又好算呢？

基于上述問題及研究基礎，同時考慮到三角模糊數是將模糊的不確定語言轉化為確定數值的一種方法，并且在信息集成過程中可以簡化計算，通過借鑒擴展原理和二元組語言信息集成的決策方法，本文首先給出了三角模糊數的中心有序加權平均算子的概念，其次，在文獻[12]的語言術語的數值表示（NR）的基礎下，提出了將三角模糊數的中心有序加權算子替代語言術語的數值表示（NR）的方法，它比文獻[12]中語言術語的NR更加精確，同時使語言決策計算過程更加好算，然后，考慮到語言比例二元組在集成過程中信息不易丟失，而Bonferroni平均算子能夠很好地捕獲輸入變量之間的相互關聯情況，可以將多個輸入變量集結為一個輸入變量，提出了語言比例二元組的Bonferroni平均算子的群決策方法，最后，通過球員擇優的問題說明該方法的可行性。

2 預備知識

定義1[13]基本單位區間單調（BUM）函數g：[0,1]→[0,1]滿足以下條件：

（1）g(0)=0；

（2）g(1)=1；

（3）若x ＞y，則有g(x)≥g(y)。

定義2 設A=(a,b,c)是三角模糊數[14]，由模糊集A的α -截集[15]定義可知，Aα可以寫成Aα=[a+(ba)α,c-(c-b)α]，那么Aα的中心G(α)可表示為：G(α)=

3 三角模糊數的中心有序加權平均算子

定義3 對任意的三角模糊數(a,b,c)，且x ∈[0,1]，有Ax的中心，設g(x)是任意的BUM 函數，f(x)是g(x)的導數，即f(x)=g′(x)，則三角模糊數的中心有序加權平均（TFNCOWA）算子定義為：

注1 下面來解釋一下上述定義中三角模糊數的中心有序加權平均（TFNCOWA）算子的合理性。

（1）離散情形，假設d1,d2,…,dn為區間按大小順序任取的一列點，即b ≤dn≤…≤d1≤則令權重ωi由BUM 函數g 來表示，即ωi=，由BUM函數的定義，顯然有)，且[0,1]，故ωi∈[0,1]，ωi=ω1+…+ωn=-g(0)]+…+[g(1)-g=g(1)-g(0)=1-0=0。

此時利用有序加權平均OWAg算子來集成n 個數據d1,d2,…,dn得：

令n →∞,x=iΔx,i=0,1,…,n,x ∈[0,1]，對上式取極限，即得：

定理1 當取g(x)=xk(k ＞0)時，三角模糊數(a,b,c)的中心有序加權平均算子為：

證明對任意的x ∈[0,1],有Ax=[a+x(b-a),c-x(c-，取g(x)=xk(k ＞0)，得：

注2 當g(x)=-x2+2x 時，滿足BUM 函數的三個條件，可以得到三角模糊數(a,b,c)的中心有序加權平均算子為：

注3 當g(x)=時，滿足BUM 函數的三個條件，可以得到三角模糊數(a,b,c)的中心有序加權平均算子為：

4 基于三角模糊數的中心有序加權平均算子的語言術語的數值表示（NR）

在這一部分提出用三角模糊數的中心有序加權平均算子代替語言術語的數值表示（NR）的方法。

本文用區間[0,1]上的三角隸屬函數來定義語言術語的語義。

語言術語集S={s0,s1,…,sg} 可以是等距的，也可以是不等距的。如圖1和圖2分別展示了等距語言術語集和不等距語言術語集的例子，當語言術語集是等距的時候，可以用三角隸屬函數的核bi來表示一個語言術語si，如果語言術語集不是等距的，特別是語言術語集是不平衡的，在這種情況下，語言術語集的語言術語si主要是由核bi決定的，但是左寬li和右寬ri也會有一些影響，要解決這個問題，引入了文獻[12]中的語言術語的數值表示（NR）。

圖1 等距語言術語集S={ }s0,s1,…,s8

圖2 不等距語言術語集S={ }s0,s1,…,s4

定義4[12]設三角模糊數為Ai=(ai,bi,ci)，語言術語si∈S={s0,s1,…,sg} ，其中i=0,1,…,g,Ai是si的語義，li=bi-ai和ri=ci-bi分別稱Ai或si的左寬度和右寬度，k1=-(θ-η)≤0，k2=η ≥0，其中θ-η 和η 分別表示li和ri的重要性，0 ≤η ≤θ ≤1，那么語言術語的數值表示（NR）定義為，NR：S →[0,1]，NR(si)=bi+k1li+k2ri。

由上可知，在等距語言術語集的情況下NR(si)=bi，在不等距語言術語集的情況下，特別是語言術語集是不平衡的情況下，NR(si)=bi+k1li+k2ri。

考慮到語言術語的數值表示與三角模糊數有關，并且三角模糊數的中心有序加權算子的幾何意義和語言術語的數值表示的幾何意義非常接近，那么語言術語的數值表示能否用三角模糊數的中心有序加權算子來計算呢?下面考慮幾種情況：

（1）若g(x)=xk,則TFNCOWA((a,b,c))=·a+，假若可以得到

（2）若g(x)=-x2+2x,則：

通過這幾種情況可以知道語言術語NR是可以通過三角模糊數的中心有序加權算子代替的。

為了方便計算，此處僅討論g(x)=xk(k ≥0)的情形，可以發現利用三角模糊數的中心有序加權平均算子比文獻[12]中求語言術語的NR更加接近語言術語的NR。

例1 設S={s0,s1,s2,s3,s4} 是語言術語集，如圖2，語言術語集中的語言術語利用三角模糊數表示為：

s0=(0,0,0.5)，s1=(0,0.5,0.75)

s2=(0.5,0.75,0.875)，s3=(0.75,0.875,1)

s4=(0.875,1,1)

方法1 利用文獻[12]中的模型(M-1)求解，得到θ*=1,η*=0.185，因此，語言術語的NR是：

NR(s0)=0.093 8，NR(s1)=0.058 2，NR(s2)=0.570 3

NR(s3)=0.796 9，NR(s4)=0.898 4

方法2 若s=(a,b,c)，則可以利用本文所得到的語言術語的數值表示（NR）的計算公式：

利用方法1得到NR(s1)=0.058 2，方法2得到NR(s1)=0.458 和NR(s1)=0.498，圖2 中可以看出s1的數值表示是0.5，顯然方法2中的結果更接近0.5，并且由圖3可以發現，利用方法2（k 越大）算出的語言術語的數值表示更貼近例中的語言術語的數值表示。在此可以得到方法2比方法1好。

圖3 語言術語的數值表示的比較

5 語言比例二元組Bonferroni平均算子的群決策方法

近年來，許多學者對語言比例二元組信息集成方式進行了研究，提出了不同的語言比例二元組信息集成算子，如比例二元組加權平均算子、比例二元組幾何算子、比例二元組混合幾何平均算子等等，這些算子在聚合過程中都是通過下標進行計算的，而語言項的語義（隸屬函數）沒有考慮，從文獻[16]的結果中可知，上述集成方式適合等距的語言術語的聚合，如果語言術語是不等距的，特別是語言術語是不平衡的，這些算子的應用可能會導致不合理的結果，為了克服語言信息以LT2T 給出的形式的局限性，提出了語言比例二元組Bonferroni 平均算子。

定義5[17]設ai是非負實數，假設p,q ≥0，則Bonferroni平均算子被定義為：

定義6[16]設是語言術語集，對α ∈[0,1]，si,si+1∈S，稱(αsi,(1-α)si+1)為語言比例二元組，記作LP2T，所有語言比例二元組構成的集合記為，即：

定義7 設S={s0,s1,…,sg} 是語言術語集，是所有語言比例二元組的集合，語言比例二元組的數值表示NR(αsi,(1-α)si+1)定義為，NR:Sˉ→[0,1]，NR(αsi,(1-α)si+1)=αNR(si)+(1-α)NR(si+1)。

因為NR(si),NR(si+1)∈[0,1]，可知：

NR(αsi,(1-α)si+1)∈[0,1]

定義8 NR的逆定義為，NR-1:[0,1]→Sˉ，NR-1(x)=(αsi,(1-α)si+1)，其中i 是由條件x ∈[NR(si),NR(si+1)]確定

定理2 LP2T的NR是單調的。

證明用LP2T 的比較規則[16]可證LP2T 的NR 是單調的。

定義9 設S={s0,s1,…,sg} 是語言術語集，Sˉ是所有語言比例二元組的集合，y1,y2,…,yn∈，語言比例二元組Bonferroni平均（LP2TBM）算子定義為：

LP2TBM(y1,y2,…,

它具有下列優良性質：

（1）（冪等性）設yi∈Sˉ是語言比例二元組，若yi=y，i=1,2,…,n，則有：

LP2TBM(y1,y2,…,=y

（2）（單調性）設xi，yi(i,=1,2,…,n)是語言比例二元組，若對任意的i，xi≥yi，則有：

LP2TBM(x1,x2,…,xn)p,q≥LP2TBM(y1,y2,…,yn)p,q

（3）（有界性）設xi(i=1,2,…,n)是語言比例二元組，若x-=min{xi}，x+=max{xi}，則：

下面介紹一種語言比例二元組Bonferroni平均算子的群決策方法，具體步驟如下：

步驟1 對于某一語言多屬性決策問題，假設A 和U 分別為方案集和屬性集，決策者給出方案集是A={A1,A2,…,Am}，屬性集是U={u1,u2,…,un}，專家集D={d1,d2,…,dt}，語言術語集S={s0,s1,…,sg}，是第k 位專家對方案ai∈A 在屬性uj∈U 下的語言比例二元組，是決策矩陣，其中i=1,2,…,m ，j=1,2,…,n,k=1,2,…,t,計算方案ai∈A 在屬性uj∈U下的語言比例二元組的NR。

步驟2 利用語言比例二元組Bonferroni 算子算出第k 位專家對方案評估的綜合屬性值其中i=

步驟3 再次利用LP2TBM 算子計算出t 位專家對方案Ai的綜合評估值zi(i=1,2,…,m)：

步驟4 計算NR(zi)，并對NR(zi)進行排序，根據排序結果對方案進行擇優。

6 案例分析

設某足球隊有4 名后備球員，由于主力球員受傷，現在想從4 名球員中選擇1 名球員參加比賽，用A={A1,A2,A3,A4}來表示4名球員，在對4名球員進行評估時，所要考慮的屬性有u1（技術），u2（經驗），u3（心理），用U={u1,u2,u3}表示，現請3位專家D={d1,d2,d3}對4位球員進行評估表示第k 位專家對方案Ai在屬性uj∈U 下的語言比例二元2組，專家對球員的評價用下面的決策矩陣Rk=表示，設語言術語集S={s0,s1,…,s8}如圖4所示。

圖4 語言術語集S={ }s0,s1,…,s8

語言術語s=(a,b,c)，語言術語的NR的計算選用公式

計算出3個決策矩陣中語言比例二元組的NR：

利用LP2TBM 算子算出三位專家對4 名球員的綜合屬性值zki(i=1,2,3,4,k=1,2,3)，結果如表1所示。

表1 三位專家對4名球員的綜合屬性值

表1 三位專家對4名球員的綜合屬性值

再次利用LP2TBM 算子計算出各方案的綜合評估值zi(i=1,2,3,4)：

因此，z1=NR-1(0.425),z2=NR-1(0.415),z3=NR-1(0.458),z2=NR-1(0.426)。

因為NR(z1)=0.425,NR(z2)=0.415,NR(z3)=0.458,NR(z4)=0.426，可以得到：

NR(z3)＞NR(z4)＞NR(z1)＞NR(z2)

從而，相對于其他三名球員，第三位球員綜合素質相對較好，應該選第三位球員A3參加比賽。

因為LP2T可以轉化為L2T，而二元組OWA算子也是語言信息集成的一種算子，所以下面用二元組OWA算術平均算子的群決策方法來解決上面的案例問題。

步驟1 利用轉換函數[12]：

將LP2T 決策矩陣R1,R2,R3轉化為L2T 決策矩陣

步驟2 二元組OWA算術平均算子[9]：

其中β*j是βi中第j 大的，βi=Δ-1(si,α)=i+α，通過二元組OWA算術平均算子算出三位專家對4名球員的綜合屬性值zki(i=1,2,3,4,k=1,2,3)，結果如表2所示，設屬性權重w=(0.6,0.2,0.2)。

表2 三位專家對4名球員的綜合屬性值

表2 三位專家對4名球員的綜合屬性值

步驟3 設專家的權重ω=(0.6,0.3,0.1)，再次利用二元組OWA 算術平均算子算出各方案的綜合評估值Fi(i=1,2,3,4)：

由二元組的比較規則[9]可知，F2＜F4＜F1＜F3，應該選第三位球員A3參加比賽。

由上可知最優方案是一樣的，但排名不同，這是因為二元組OWA算術平均算子利用了L2T的下標進行運算，它沒有考慮語言術語的語義。因此，它適用于等距的語言術語集，如果語言項不是等距的，特別是不平衡的，使用二元組OWA 算術平均算子會造成信息丟失。LP2TBM 算子利用了語言術語的NR，由于語言術語的NR 既適用于平衡的語言術語，也適用于不平衡的語言術語集，因此LP2TBM 算子既適用于平衡的語言術語，也適用于不平衡的語言術語集，另外，Bonferroni平均算子具有使聚合值之間相互增強的作用。故LP2TBM 算子將二元組的應用推廣到更一般的語言術語集上。

7 結束語

在決策問題中，關于信息的集成問題，有時需要使用聚合算子來聚合信息，即聚合值在聚合過程中相互影響。本文將類似的思想應用到語言比例二元組環境中，首先定義了三角模糊數的中心有序加權平均算子。其次，利用三角模糊數的中心有序加權平均算子，對文獻[12]中的語言術語的NR 進行了改進，并且用實例說明基于三角模糊數的中心有序加權平均算子得到的語言術語的NR更貼近語言術語的核的圖像，驗證了所提方法的可行性和合理性。為了克服語言信息以LT2T給出的形式的局限性，提出了語言比例二元組Bonferroni平均算子，并探討了它的一些優良性質，進而提出了語言比例二元組Bonferroni 平均算子的群決策方法，最后通過實例驗證了該方法的有效性和可行性。