非等向固結砂土極小應變剛度的超彈性模型

張 帥，程曉輝，王天麟

(清華大學土木工程系，北京 100084)

作為典型的顆粒材料，砂土具有顯著的壓硬性，其剛度表現受到實際應力水平的影響。土體剛度的這種特性在工程應用中需要得到充分的重視，尤其是在土體應力有較大變化時的應用場景中，例如基坑的開挖/回填[1-2]、土石壩的蓄水/泄水[3]、地震波沿深度方向的傳遞[4-5]和地下結構抗震[6]等。基坑開挖相關的研究表明，如果不考慮土體剛度隨深度(即應力水平)的變化，將大幅度低估擋土墻的側向變形[1]。膨脹土地基中的樁-土共同作用研究發現，土體剛度對于樁身軸力和樁頭位移都有很大影響[7]。

室內實驗(波速法、共振柱、扭剪和三軸等)研究表明，土體在極小應變(小于10-5)條件下處于準彈性狀態，其模量為常數[8-10]。可記此時的剪切模量為極小應變剪切模量G0或最大剪切模量Gmax。土體的極小應變模量是深入研究小應變模量或者動模量的前提，具有極為重要的科研及應用價值。

土體的極小應變模量受到許多因素的影響，主要有固結應力水平、密實度、顆粒形狀、粒徑級配、微觀結構等。對于同一種砂土而言，主要是密實度和固結應力水平的影響，最常用的回歸公式是Hardin-Richart公式[11]：

式中，F(e)是孔隙率e的函數，主要反映了堆積密度對于土體剛度的影響，常取為(eg-e)2/(1+e)。A、m和eg是土體參數，綜合反映了顆粒形狀、粒徑級配、微觀結構等因素的影響。(p′)m主要反映了土體剛度隨應力水平而非線性增長的特征。理想彈性球的經典赫茲接觸給出G0～(p′)13的關系，但是天然土體顆粒之間的接觸與理想彈性球體相互間的接觸有一定區別，土力學實驗得出的m值大多分布在1/3~3/5的區間內[12-13]。

實驗室實驗中的相關研究大多是基于等向固結狀態，而實際地基大都處于非等向固結狀態。因此，基于實驗室實驗的Hardin-Richart公式直接應用于實際工程中，會帶來一定的誤差。許多實驗研究表明，非等向固結下的土體剛度并不符合Hardin-Richart公式的預測，從而需要增加一定的修正系數。

Hardin-Richart等經驗公式屬于Cauchy彈性模型，在循環荷載等復雜應力路徑下可能表現出能量非保守特性，即彈性能量是與應力路徑相關的，這在理論上不正確，同時也會引起不正確的殘余變形[14]。而彈性力學中的超彈性模型也稱為Green彈性模型，其應力-應變關系始終從一個自由能函數的微分形式給出，完全滿足熱力學基本定律的要求，在不同材料的本構關系研究中得到廣泛應用[15-16]。另外，超彈性模型在處理正剪耦合時比較方便，例如剪脹性、應力引起的各向異性、主應力旋轉等[17-18]。因此研究非等向固結，尤其是高度非等向狀態下的土體剛度，采用超彈性模型更為合適。Houlsby等研究了能反映土體剛度隨平均應力變化的超彈性模型[16]，但非等向固結狀態的影響并沒有得到討論。

本文首先對以往學者完成的非等向固結狀態下的砂土極小應變剛度實驗進行研究分析，得出有較多實驗數據支持的經驗規律；然后針對3種能夠反映土體剛度隨應力水平增大規律的超彈性模型進行研究，發現其中僅有HE1模型對砂土非等向固結狀態下的剛度規律趨勢預測正確；最后，對于HE1模型進行了參數影響分析。

1 非等向固結實驗研究分析

關于非等向固結狀態的研究，一般是考慮常規三軸固結狀態，即記此時的固結應力比非等向固結狀態下的土體極小應變剪切模量，可以由下列形式的修正Hardin-Richart公式給出：

其中：R為修正系數，取值由k13決定。實驗研究發現，土體剪切剛度主要受相應平面內的兩個主應力的影響[19]，因此Yu和Richart[20]建議采用來代替p′對剛度做歸一化：

并基于Ottawa砂和Toyoura砂實驗數據給出了經驗公式：

在使用p′進行歸一化時，Yu-Richart公式(式(3)和式(4))換算為式(2)后給出的修正系數R隨著固結應力比k13的增大先是略微增大，而后較大幅度下降。總的來說，當固結應力比小于某閾值時，修正系數R基本為1；當固結應力比相對較大時，修正系數R迅速降低，降低幅值可超過20%。這與Kuribayashi等關于Toyoura砂[21](圖中三角符號)、Tatsuoka等關于Toyoura砂[22](圖中未列出)以及Bellotti等關于Ticino砂[23](圖中方塊符號)的實驗研究結果相一致。另外，DEM數值模擬[24]、極小應變條件下的彈性模量的實驗研究[25]和循環荷載條件下的剪切模量的實驗研究[26]同樣得出了類似的結論。

表1 前人實驗總結Table 1 Summary of previous experiments

圖1 不同固結應力比下的土體極小應變模量修正系數Fig.1 Comparison of the relationships between shear modules ratio and stress ratio by various investigations

雖然也有實驗研究認為修正系數R隨著k13的增大而增大[27-29]，如Payan等[27]關于Blue砂的實驗 (圖中圓形符號)，但這些研究的k13值范圍普遍較小，一般小于2.5。鑒于Yu-Richart的研究系統性更強，且得到多數相關研究的重復驗證，因此我們主要采用其研究結果來作為參考。考慮到Yu-Richart建議了新的歸一化方式，因此，本文中兩種歸一化方式的結果都予以呈現。

2 超彈性模型

2.1 超彈性模型簡介

本文所有應力均指有效應力，所有應變均指彈性應變(極小應變條件下，彈性應變等于總應變)。σij為Cauchy有效應力張量，εij為彈性應變張量；δij為Kronecker delta記號，上述2階張量均遵循啞標的愛因斯坦求和約定。應力不變量有平均應力及剪應力其中為偏應力張量。同樣，應變不變量有體積應變及剪應變其中為偏應變張量。在常規三軸條件下，一般采用如下形式的簡寫；此時的應力和應變不變量有

超彈性模型是指材料具有Helmholtz自由能F(又可稱為彈性勢能)或Gibbs自由能E(又可稱為應變余能)，其應力-應變關系可以從相應的自由能函數的微分中推導得出。這兩種形式的自由能可以通過勒讓德變換來互相推導，但是對于某些函數形式的自由能，可能并不存在簡單函數形式的另一種對應的自由能函數形式。

對于Helmholtz自由能形式的超彈性模型有：

進而得出其應力-應變關系為：

對于Gibbs自由能形式的超彈性模型有：

進而得出其應力-應變關系為：

考慮Hardin-Richart公式給出的剛度隨平均應力的冪律關系，其對應的超彈性模型大致有3種[16]，如表2所示。其中應力和應變不變量的定義及其與三軸狀態下的不變量的關系參見2.1節；參數n反映了土體剛度隨應力水平的增長，與Hardin-Richart公式中的m有關，具體關系2.1.1節、2.1.2節、2.1.3節將推導給出；ξ或?與泊松比有關；B或C影響著土的剛度模量的大小。

表2 3種能反映Hardin-Richart公式的超彈性模型Table 2 Three types of hyperelastic models compatible to the Hardin-Richart formula

2.1.1 HE1模型

首先得出HE1超彈性模型的應力不變量為：

進而可以得出其切向剛度矩陣，其中：

如果考慮等向固結狀態下：

將土體剪切模量中的應變項消去，得出：

與式(2)對比，可以得出HE1模型給出的Hardin-Richart公式修正系數為：

和式(14)共同繪圖可以得出其隨固結應力比變化的規律。

2.1.2 HE2模型

對于HE2超彈性模型，其兩種自由能形式給出的結果是等價的，在此僅給出Helmholtz自由能形式的結果。首先得出其應力不變量為：

進而得出其切向剛度矩陣，其中：

在等向固結狀態下同樣可以得出與HE1類似的符合經典Hardin-Richart公式的結果，在此不再重復。

2.1.3 HE3模型

首先得出HE3超彈性模型的應變不變量為

進而得出其切向柔度矩陣，求逆可得出其切向剛度矩陣，其中

式中：-n相當于Hardin-Richart公式中的m，因此n的取值一般為-1/3~3/5，即小于0。考慮到體應變不能為負，則由式(20)可知即可以看出HE3模型對于土體能達到的最大剪切應力比也有一個限值。

2.2 模擬對比分析

式(16)、式(19)、式(21)中給出了修正Hardin-Richart公式中的修正系數R，將其隨固結應力比k13的變化繪制出來如圖2所示。圖中同時給出了經典Hardin-Richart公式以及Yu-Richart經驗公式的結果。

HE1模型給出的修正系數R隨著固結應力比k13的增大而衰減，與Yu-Richart經驗公式給出的趨勢較為一致；而HE2和HE3模型給出的R都隨著固結應力比k13的增大而持續增大，與實驗規律不一致。需要說明的是，圖示曲線具體數值仍然受到模型參數的影響，但并不改變這種明顯不同的趨勢。從模型本身角度而言，這些不同的趨勢主要受到兩個因素的影響：一個是彈性剪脹或剪縮特性，另一個是剪切剛度的影響因素。從式(10)可以看出，HE1模型具有彈性剪脹特性，即保持平均應力不變條件下剪切，能使得彈性體積應變減小；而式(11)表明其剪切剛度僅受彈性體積應變影響，因而非等向固結這種剪切能夠使得剪切剛度變小。式(17)顯示HE2模型同樣具有彈性剪脹特性，但式(18)顯示其剪切剛度同時受到彈性體積應變和彈性剪切應變的影響，非等向固結狀態下這兩者共同作用使得剪切剛度增大。而式(20)顯示HE3模型則具有彈性剪縮特性，不能反映非等向固結狀態下土體剛度的衰減規律。

圖2 不同固結應力比下的土體極小應變模量修正系數Fig.2 The relationships between shear modules ratio and stress ratio

考慮到HE2和HE3預測的趨勢與實驗結果有較大差異，因此我們僅對HE1進行定量的參數分析。在做此分析時，主要對比一下HE1的預測與Yu-Richart公式的結果，因此在繪圖時采用Yu-Richart的建議：縱坐標剛度的歸一化時采用即為式(3)中的R*；橫坐標固結應力比的歸一化時采用式(4)中的kn。HE1模型對土體能達到的最大固結應力比有一個限值，我們采用這個限值對其固結應力比進行歸一化，從而得到HE1模型中相應的kn。

HE1模型的3個參數中：B只影響土體剛度的大小，不影響該相對規律；n的具體數值可通過實驗數據很精確地標定，且對于表1所總結的砂土都大致為1；ξ的具體數值難以通過常規土力學實驗來精確標定，所以有必要進行參數分析。將Yu-Richart公式與HE1模型的結果對比，如圖3所示。HE1模型的結果受到其參數ξ的影響：ξ越大時，修正系數R*整體越小。HE1的結果與Yu-Richart公式總體比較吻合。在較低應力比時，HE1的結果要略小于Yu-Richart公式；在較高應力比時，HE1的結果要略大于(ξ=2或ξ=3)或略小于(ξ=4)Yu-Richart公式。

圖3 HE1模型不同固結應力比下的模量修正系數Fig.3 The relationships between shear modules ratio and stress ratio by HE1 model

3 結論

(1) 3種類型的超彈性模型能夠反映等向固結狀態下土體剛度隨應力水平增大而增大的冪律關系，但僅有HE1模型對土體非等向固結狀態下的剛度規律趨勢預測正確。這主要是因為其具有包括彈性剪脹在內的特殊的正剪耦合特性。

(2) HE1模型對土體非等向固結狀態下的剛度規律預測結果受到其參數ξ取值的影響，但總體而言與實驗結果總結的規律一致。

(3) 下一步工作，考慮具有非線性剛度地基與地下結構的彈性動力相互作用，以便反映在邊界條件下的地基非等向固結極小應變剛度對地下結構抗震性能的影響。